A prizma az egyik jól ismert figura, amelyet a középiskolákban a szilárd geometria során tanulmányoznak. Ahhoz, hogy az ebbe az osztályba tartozó ábrákra különféle jellemzőket tudjon kiszámítani, tudnia kell, hogy milyen típusú prizmák léteznek. Nézzük meg közelebbről ezt a kérdést.
Prizma a sztereometriában
Először is határozzuk meg az említett figurák osztályát. A prizma bármely olyan poliéder, amely két párhuzamos sokszög alapból áll, amelyeket paralelogrammák kötnek össze.
Ezt az ábrát a következő módon kaphatja meg: válasszon ki egy tetszőleges sokszöget a síkon, majd mozgassa át bármely olyan vektor hosszára, amely nem tartozik a sokszög eredeti síkjához. Egy ilyen párhuzamos mozgás során a sokszög oldalai leírják a leendő prizma oldallapjait, és a sokszög végső helyzete lesz az ábra második alapja. A leírt módon tetszőleges típusú prizma nyerhető. Az alábbi ábra egy háromszög alakú prizmát mutat.
Milyen típusú prizmák vannak?
Az alakzatok osztályozásáról van szóa kérdéses osztály. Általános esetben ezt az osztályozást a sokszög alapja és az ábra oldalai jellemzőinek figyelembevételével hajtják végre. Általában a következő három prizmatípust különböztetjük meg:
- Egyenes és ferde (ferde).
- Jó és helytelen.
- Konvex és homorú.
A nevezett osztályozási típusok bármelyikének prizmájának lehet négyszögletes, ötszögletű, …, n-szögű alapja. Ami a háromszögprizmák típusait illeti, csak az első két említett pont szerint osztályozható. A háromszög alakú prizma mindig konvex.
Az alábbiakban közelebbről megvizsgáljuk az egyes osztályozási típusokat, és adunk néhány hasznos képletet a prizma geometriai tulajdonságainak (felület, térfogat) kiszámításához.
Egyenes és ferde formák
Egy pillantással meg lehet különböztetni a közvetlen prizmát a ferde prizmától. Itt a megfelelő ábra.
Itt két prizma látható (hatszögletű a bal oldalon és ötszögletű a jobb oldalon). Mindenki magabiztosan mondja, hogy a hatszög egyenes, az ötszög pedig ferde. Milyen geometriai jellemzők különböztetik meg ezeket a prizmákat? Természetesen az oldalsó arc típusa.
Egyenes prizma, alapjától függetlenül, minden lap téglalap. Lehetnek egyenrangúak vagy különbözhetnek, csak az a fontos, hogy téglalapok legyenek, és az alapokkal bezárt diéderszögeik 90o.
A ferde alakra vonatkozóan azt kell mondani, hogy az összes vagy néhány oldallapjaparalelogrammák, amelyek az alappal közvetett kétszöget alkotnak.
Minden típusú egyenes prizma esetében a magasság az oldalél hossza, a ferde alakzatoknál a magasság mindig kisebb, mint az oldalélük. A prizma magasságának ismerete fontos a felületének és térfogatának számításakor. Például a térfogat képlete:
V=Soh
Ahol h a magasság, So egy bázis területe.
Prizmák helyesek és helytelenek
Bármely prizma hibás, ha nem egyenes, vagy az alapja nem megfelelő. Az egyenes és ferde prizmák kérdését fentebb tárgy altuk. Itt megvizsgáljuk, mit jelent a "szabályos sokszögű alap" kifejezés.
Egy sokszög szabályos, ha minden oldala egyenlő (a hosszukat jelöljük a betűvel), és minden szöge is egyenlő. Példák a szabályos sokszögekre: egyenlő oldalú háromszög, négyzet, hatszög 120o és így tovább. Bármely szabályos n-szög területét a következő képlettel számítjuk ki:
S=n/4a2ctg(pi/n)
Az alábbiakban háromszög, négyzet, …, nyolcszög alappal rendelkező szabályos prizmák sematikus ábrázolása látható.
A fenti V képlet segítségével felírhatjuk a megfelelő kifejezést a szabályos alakzatokhoz:
V=n/4a2ctg(pi/n)h
Ami a teljes felületet illeti, szabályos prizmák esetén azt két terület alkotjaazonos alapok és n azonos téglalap h és a oldalakkal. Ezek a tények lehetővé teszik, hogy egy képletet írjunk bármely szabályos prizma felületére:
S=n/2a2ctg(pi/n) + nah
Itt az első tag a két alap területének felel meg, a második tag csak az oldalfelület területét határozza meg.
A szabályos prizmatípusok közül csak a négyszög alakú prizmáknak van saját neve. Tehát egy szabályos négyszögű prizmát, amelyben a≠h, négyszögletes paralelepipedonnak nevezzük. Ha ennek az alaknak a=h, akkor kockáról beszélnek.
Homorú alakzatok
Eddig csak a konvex típusú prizmákat vettük figyelembe. A vizsgált figurák osztályának tanulmányozása során rájuk irányul a fő figyelem. Vannak azonban homorú prizmák is. Abban különböznek a konvexektől, hogy alapjaik konkáv sokszögek, amelyek négyszögből indulnak ki.
Az ábrán példaként két homorú prizma látható, amelyek papírból készültek. Az ötágú csillag formájú bal oldali egy tízszögletű prizma, a jobb oldali, amelyik hatágú csillag, kétszögletű homorú egyenes prizma.
