Háromszög, négyzet, hatszög – ezeket a figurákat szinte mindenki ismeri. De nem mindenki tudja, mi az a szabályos sokszög. De ezek mind ugyanazok a geometriai formák. Szabályos sokszög az, amelynek szögei és oldalai egyenlőek. Nagyon sok ilyen szám létezik, de mindegyiknek ugyanazok a tulajdonságai, és ugyanazok a képletek vonatkoznak rájuk.
Szabályos sokszögek tulajdonságai
Bármilyen szabályos sokszög, legyen az négyzet vagy nyolcszög, körbe írható. Ezt az alapvető tulajdonságot gyakran használják figurák készítésekor. Ezen túlmenően sokszögbe kör is írható. Ebben az esetben az érintkezési pontok száma megegyezik az oldalak számával. Fontos, hogy a szabályos sokszögbe írt körnek közös középpontja legyen vele. Ezekre a geometriai alakzatokra ugyanazok a tételek vonatkoznak. Bármelyik oldalrólEgy szabályos n-szög összefügg a köréje körülírt kör R sugarával, ezért a következő képlettel számítható ki: a=2R ∙ sin180°. A kör sugarán keresztül nem csak az oldalai, hanem a kerülete is megtalálható a sokszögnek.
Hogyan találhatjuk meg egy szabályos sokszög oldalainak számát
Bármely szabályos n-szög meghatározott számú, egymással egyenlő szakaszból áll, amelyek összekapcsolva zárt vonalat alkotnak. Ebben az esetben a kialakított figura összes sarka azonos értékű. A sokszögeket egyszerűre és összetettre osztják. Az első csoportba egy háromszög és egy négyzet tartozik. Az összetett sokszögeknek több oldala van. Vannak köztük csillag alakú figurák is. Összetett szabályos sokszögeknél az oldalakat úgy találjuk meg, hogy körbe írjuk őket. Adjunk bizonyítékot. Rajzolj egy szabályos sokszöget tetszőleges számú n oldallal. Írj le egy kört körülötte. Adja meg az R sugarat. Képzelje el, hogy adott egy n-szög. Ha szögeinek pontjai egy körön fekszenek és egyenlőek egymással, akkor az oldalak a következő képlettel kereshetők: a=2R ∙ sinα: 2.
Egy beírt szabályos háromszög oldalainak számának megkeresése
Egy egyenlő oldalú háromszög szabályos sokszög. Ugyanazok a képletek vonatkoznak rá, mint a négyzetre és az n-szögre. Egy háromszöget akkor tekintünk helyesnek, ha azonos hosszúságú oldalaik vannak. Ebben az esetben a szögek 60⁰. Szerkesszünk egy adott oldalhosszúságú háromszöget a. A medián és a magasság ismeretében,oldalainak értékét megtalálhatja. Ehhez az a \u003d x: cosα képlet segítségével keressük meg a módszert, ahol x a medián vagy magasság. Mivel a háromszög minden oldala egyenlő, kapjuk a=b=c. Ekkor igaz lesz a következő állítás a=b=c=x: cosα. Hasonlóképpen egy egyenlő szárú háromszögben is megtalálhatjuk az oldalak értékét, de x lesz a megadott magasság. Ugyanakkor szigorúan az ábra alapjára kell vetíteni. Tehát az x magasság ismeretében az a \u003d b \u003d x: cosα képlet segítségével megtaláljuk egy egyenlő szárú háromszög a oldalát. Miután megtalálta a értékét, kiszámíthatja a c alap hosszát. Alkalmazzuk a Pitagorasz-tételt. Meg fogjuk keresni a c alap felének értékét: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2)=√x^2 (1 - cos^2α): cos^2α=x ∙ tgα. Ekkor c=2xtanα. Íme egy egyszerű módja annak, hogy megtudja bármely beírt sokszög oldalainak számát.
Körbe írt négyzet oldalainak kiszámítása
Mint minden más beírt szabályos sokszögnek, a négyzetnek is egyenlő oldalai és szögei. Ugyanazok a képletek vonatkoznak rá, mint a háromszögre. A négyzet oldalait az átló értékével számíthatja ki. Tekintsük ezt a módszert részletesebben. Ismeretes, hogy az átló felezi a szöget. Kezdetben 90 fok volt az értéke. Így osztás után két derékszögű háromszög keletkezik. Alapszögük 45 fok lesz. Ennek megfelelően a négyzet mindkét oldala egyenlő lesz, azaz: a \u003d c \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, ahol e a négyzet átlója vagy alapja az osztás után kialakult derékszögű háromszög. Nem ez az egyetlen módjaegy négyzet oldalainak megtalálása. Írjuk körbe ezt az ábrát. Ennek az R körnek a sugarának ismeretében megtaláljuk a négyzet oldalát. Kiszámítjuk a következőképpen: a4=R√2. A szabályos sokszögek sugarait az R=a: 2tg (360o: 2n) képlettel számítjuk ki, ahol a az oldalhossz.
Hogyan számítsuk ki az n-szög kerületét
Egy n-szög kerülete az összes oldalának összege. Könnyű kiszámolni. Ehhez ismernie kell minden oldal értékét. Egyes sokszögtípusokhoz speciális képletek vannak. Lehetővé teszik, hogy sokkal gyorsabban megtalálja a kerületet. Ismeretes, hogy minden szabályos sokszögnek egyenlő oldalai vannak. Ezért a kerületének kiszámításához elegendő legalább egyet ismerni. A képlet az ábra oldalainak számától függ. Általában így néz ki: P \u003d an, ahol a az oldal értéke, és n a szögek száma. Például egy szabályos nyolcszög kerületének meghatározásához, amelynek oldala 3 cm, meg kell szoroznia 8-cal, azaz P=3 ∙ 8=24 cm. Egy 5 cm-es oldalú hatszögnél kiszámítjuk a következőképpen: P=5 ∙ 6=30 cm. És így minden sokszögnél.
Paralelogramma, négyzet és rombusz kerületének megkeresése
Attól függően, hogy egy szabályos sokszögnek hány oldala van, a rendszer kiszámítja a kerületét. Ez nagyban megkönnyíti a feladatot. Valóban, más figurákkal ellentétben, ebben az esetben nem kell minden oldalát megkeresni, elég egy is. Ugyanezen elv alapján megtaláljuk a kerületet atnégyszögek, azaz négyzet és rombusz. Annak ellenére, hogy ezek különböző ábrák, a képletük ugyanaz, P=4a, ahol a az oldal. Vegyünk egy példát. Ha egy rombusz vagy négyzet oldala 6 cm, akkor a kerületét a következőképpen találjuk meg: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 cm. A paralelogrammának csak ellentétes oldalai vannak. Ezért a kerületét más módszerrel találjuk meg. Tehát tudnunk kell az ábra a hosszát és b szélességét. Ekkor alkalmazzuk a P=(a + c) ∙ képletet. 2. Egy paralelogrammát, amelyben minden oldal és közöttük lévő szög egyenlő, rombusznak nevezzük.
Egy egyenlő oldalú és derékszögű háromszög kerületének megkeresése
Egy szabályos egyenlő oldalú háromszög kerülete a P=3a képlettel határozható meg, ahol a az oldal hossza. Ha ismeretlen, a mediánon keresztül megtalálható. Egy derékszögű háromszögben csak két oldal egyenlő. Az alapot a Pitagorasz-tételen keresztül találhatjuk meg. Miután mindhárom oldal értéke ismertté válik, kiszámítjuk a kerületet. Megtalálható a P \u003d a + b + c képlet alkalmazásával, ahol a és b egyenlő oldalak, és c az alap. Emlékezzünk vissza, hogy egy egyenlő szárú háromszögben a \u003d b \u003d a, tehát a + b \u003d 2a, majd P \u003d 2a + c. Például egy egyenlő szárú háromszög oldala 4 cm, keresse meg az alapját és a kerületét. A hipotenúza értékét a Pitagorasz-tétel segítségével számítjuk ki c=√a2 + v2=√16+16=√32=5,65 cm. Most kiszámítjuk a kerületet Р=2 ∙ 4 + 5, 65=13,65 cm.
Hogyan találjuk meg egy szabályos sokszög sarkait
Szabályos sokszögminden nap előfordul az életünkben, például egy közönséges négyzet, háromszög, nyolcszög. Úgy tűnik, semmi sem egyszerűbb, mint saját maga megépíteni ezt a figurát. De ez csak első pillantásra. Bármely n-szög megszerkesztéséhez ismernünk kell a szögeinek értékét. De hogyan találja meg őket? Még az ókor tudósai is megpróbáltak szabályos sokszögeket építeni. Úgy találták, hogy körökbe illesztik őket. És ekkor megjelölték rajta a szükséges pontokat, egyenes vonalakkal összekötve. Az egyszerű ábrák esetében az építési probléma megoldódott. Képleteket és tételeket kaptunk. Például Eukleidész a "Kezdet" című híres művében a 3, 4, 5, 6 és 15 gonos problémák megoldásával foglalkozott. Megtalálta a módját, hogy megkonstruálja őket, és megtalálja a szögeket. Lássuk, hogyan kell ezt megtenni egy 15 gonos esetében. Először ki kell számítania a belső szögeinek összegét. Az S=180⁰(n-2) képletet kell használni. Tehát kapunk egy 15 szöget, ami azt jelenti, hogy az n szám 15. Az általunk ismert adatokat behelyettesítjük a képletbe, és azt kapjuk, hogy S=180⁰ (15 - 2)=180⁰ x 13=2340⁰. Megtaláltuk egy 15 gon összes belső szögének összegét. Most meg kell találnunk mindegyik értékét. Összesen 15 szög van. Ez azt jelenti, hogy minden belső szög 156⁰, most egy vonalzó és egy iránytű segítségével megépíthet egy normál 15 szöget. De mi a helyzet a bonyolultabb n-szögekkel? A tudósok évszázadok óta küzdöttek a probléma megoldásáért. Csak a 18. században találta meg Carl Friedrich Gauss. Képes volt egy 65537-gonost építeni. Azóta a probléma hivatalosan teljesen megoldottnak számít.
N-szögek szögeinek kiszámításaradiánban
Természetesen többféleképpen is megkereshetjük a sokszögek sarkait. Leggyakrabban fokban számítják ki. De radiánban is kifejezheti őket. Hogyan kell csinálni? A következőképpen kell eljárni. Először megtudjuk egy szabályos sokszög oldalainak számát, majd levonunk belőle 2-t, így megkapjuk az értéket: n - 2. A talált különbséget megszorozzuk n számmal („pi”=3, 14). Most már csak el kell osztani a kapott szorzatot az n-szög szögeinek számával. Tekintsük ezeket a számításokat ugyanazon tizenöt oldalú példán keresztül. Tehát az n szám 15. Alkalmazzuk az S=p(n - 2) képletet: n=3, 14(15 - 2): 15=3, 14 ∙ 13: 15=2, 72. Ez természetesen nem az egyetlen módja a szög radiánban való kiszámításának. Egyszerűen eloszthatja a szög fokban kifejezett méretét az 57, 3 számmal. Végül is ez a sok fok egy radiánnak felel meg.
Számítsa ki a szögek értékét fokban
A fokok és radiánok mellett megpróbálhatja megtalálni egy szabályos sokszög szögeinek értékét gradokban. Ez a következő módon történik. Vonjunk ki 2-t az összes szögből, a kapott különbséget osszuk el egy szabályos sokszög oldalainak számával. A kapott eredményt megszorozzuk 200-zal. A szögek olyan mértékegységét egyébként gyakorlatilag nem használják, mint a jégeső.
N-szögek külső szögeinek kiszámítása
A belső sokszög kivételével bármely szabályos sokszög esetében kiszámíthatja a külső szöget is. Értéke ugyanúgy megtalálható, mint a többi figuránál. Tehát egy szabályos sokszög külső szögének meghatározásához szüksége vanismeri a belső jelentését. Továbbá tudjuk, hogy ennek a két szögnek az összege mindig 180 fok. Ezért a számításokat a következőképpen végezzük: 180⁰ mínusz a belső szög értéke. Megtaláljuk a különbséget. Ez egyenlő lesz a vele szomszédos szög értékével. Például egy négyzet belső sarka 90 fokos, tehát a külső szög 180⁰ - 90⁰=90⁰ lesz. Mint látjuk, nem nehéz megtalálni. A külső szög értéke +180⁰ és -180⁰ között lehet.
