Ezek a geometriai formák mindenhol körülvesznek bennünket. A domború sokszögek lehetnek természetesek, például méhsejt alakúak, vagy mesterségesek (ember alkotta). Ezeket a figurákat különféle típusú bevonatok gyártásánál, festészetben, építészetben, dekorációban stb. A konvex sokszögek azzal a tulajdonsággal rendelkeznek, hogy minden pontjuk annak az egyenesnek az ugyanazon az oldalán van, amely a geometriai alakzat szomszédos csúcsain halad át. Vannak más definíciók is. Egy sokszöget konvexnek nevezünk, ha egyetlen félsíkban helyezkedik el az egyik oldalát tartalmazó egyeneshez képest.
Konvex sokszögek
Az elemi geometria során mindig csak az egyszerű sokszögeket veszik figyelembe. Hogy megértsük az ilyenek összes tulajdonságátgeometriai formák, meg kell érteni azok természetét. Először is meg kell érteni, hogy minden olyan sort zártnak nevezünk, amelynek végei egybeesnek. Sőt, az általa alkotott figura többféle konfigurációval is rendelkezhet. A sokszög egy egyszerű zárt szaggatott vonal, amelyben a szomszédos linkek nem ugyanazon az egyenesen helyezkednek el. Linkjei és csúcsai ennek a geometriai alakzatnak az oldalai, illetve csúcsai. Egy egyszerű vonallánc nem tartalmazhat önmetszéspontokat.
Egy sokszög csúcsait szomszédosnak nevezzük, ha az egyik oldalának végeit jelentik. Azt a geometriai alakzatot, amelynek n-edik számú csúcsa van, tehát az oldalai is n-edik, n-szögnek nevezzük. Magát a szaggatott vonalat e geometriai alakzat szegélyének vagy kontúrjának nevezik. Sokszögű síkot vagy lapos sokszöget bármely általa határolt sík végrészének nevezünk. Ennek a geometriai alakzatnak a szomszédos oldalait egy csúcsból kiinduló szaggatott vonal szegmenseinek nevezzük. Nem lesznek szomszédosak, ha a sokszög különböző csúcsaiból származnak.
A konvex sokszögek egyéb definíciói
Az elemi geometriában számos ekvivalens definíció létezik, amelyek jelzik, hogy melyik sokszöget nevezzük konvexnek. Mindezek az állítások egyformán igazak. Egy sokszög konvexnek számít, ha:
• minden szegmens, amely bármely két pontot összeköt benne, teljes egészében azon belül van;
• benneminden átlója fekszik;
• bármely belső szög nem haladja meg a 180°-ot.
A sokszög mindig 2 részre osztja a síkot. Az egyik korlátos (körbe zárható), a másik korlátlan. Az elsőt belső régiónak, a másodikat ennek a geometriai alakzatnak a külső tartományának nevezik. Ez a sokszög több félsík metszéspontja (más szóval közös összetevője). Sőt, minden szakasz, amelynek a sokszöghez tartozó pontokban végződik, teljesen hozzátartozik.
Konvex sokszögek változatai
A konvex sokszög definíciója nem azt jelzi, hogy sokféle létezik. És mindegyiknek vannak bizonyos kritériumai. Tehát azokat a konvex sokszögeket, amelyek belső szöge 180°, gyengén konvexnek nevezzük. A három csúcsú konvex geometriai alakzatot háromszögnek, négyből négyszögnek, ötből ötszögnek, stb. nevezzük. A konvex n-szögek mindegyike megfelel a következő alapvető követelménynek: n-nek egyenlőnek vagy nagyobbnak kell lennie 3-mal. a háromszögek domborúak. Egy ilyen típusú geometriai alakzatot, amelyben minden csúcs ugyanazon a körön található, körbe írtnak nevezzük. Egy konvex sokszöget körülírtnak nevezünk, ha a körhöz közeli összes oldala hozzáér. Két sokszöget csak akkor mondunk egyenlőnek, ha szuperpozícióval egymásra rakhatók. A sík sokszöget sokszögsíknak nevezzük.(a sík része), amelyet ez a geometriai alak korlátoz.
Szabályos konvex sokszögek
A szabályos sokszögek egyenlő szögű és oldalú geometriai alakzatok. Bennük van egy 0 pont, amely minden csúcsától azonos távolságra van. Ezt a geometriai alakzat középpontjának nevezik. A geometriai alakzat középpontját a csúcsokkal összekötő szakaszokat apotémeknek, a 0 pontot az oldalakkal összekötő szakaszokat pedig sugaraknak nevezzük.
A szabályos négyszög négyzet. Az egyenlő oldalú háromszöget egyenlő oldalú háromszögnek nevezzük. Az ilyen ábrákra a következő szabály érvényes: egy konvex sokszög minden sarka 180°(n-2)/n, ahol n ennek a konvex geometriai alakzatnak a csúcsainak száma.
Bármely szabályos sokszög területét a következő képlet határozza meg:
S=ph, ahol p az adott sokszög összes oldalának összegének fele, h pedig az apotém hossza.
Konvex sokszögek tulajdonságai
A konvex sokszögeknek vannak bizonyos tulajdonságai. Tehát egy szegmens, amely egy ilyen geometriai alakzat bármely 2 pontját összeköti, szükségszerűen benne van. Bizonyíték:
Tegyük fel, hogy P egy adott konvex sokszög. Vegyünk 2 tetszőleges pontot, például A, B, amelyek P-hez tartoznak. A konvex sokszög jelenlegi definíciója szerint ezek a pontok a P bármely oldalát tartalmazó egyenes ugyanazon az oldalán helyezkednek el. Ezért az AB is rendelkezik ezzel a tulajdonsággal, és benne van P-ben. Egy konvex sokszög mindig több háromszögre osztható az egyik csúcsából húzott abszolút összes átlóval.
Konvex geometriai alakzatok szögei
Egy konvex sokszög sarkai az oldalai által alkotott sarkok. A belső sarkok egy adott geometriai alakzat belső tartományában helyezkednek el. Azt a szöget, amelyet az egyik csúcsban összefutó oldalai alkotnak, konvex sokszög szögének nevezzük. Az adott geometriai alakzat belső szögeivel szomszédos szögeket külsőnek nevezzük. A benne található konvex sokszög minden sarka:
180° - x, ahol x a külső szög értéke. Ez az egyszerű képlet minden ilyen típusú geometriai alakzatra használható.
A külső sarkokra általában a következő szabály vonatkozik: egy konvex sokszög minden szöge egyenlő a 180° és a belső szög értéke közötti különbséggel. Értéke -180° és 180° között lehet. Ezért, ha a belső szög 120°, a külső szög 60° lesz.
Konvex sokszögek szögeinek összege
Egy konvex sokszög belső szögeinek összegét a következő képlet állítja be:
180°(n-2), ahol n az n-szög csúcsainak száma.
Egy konvex sokszög szögeinek összegét meglehetősen könnyű kiszámítani. Tekintsünk minden ilyen geometriai ábrát. Egy konvex sokszög belsejében lévő szögek összegének meghatározásához szükségesösszeköti az egyik csúcsát más csúcsokkal. Ennek eredményeként (n-2) háromszöget kapunk. Tudjuk, hogy bármely háromszög szögeinek összege mindig 180°. Mivel számuk bármely sokszögben (n-2), egy ilyen alakzat belső szögeinek összege 180° x (n-2).
Egy konvex sokszög, azaz bármely két belső és szomszédos külső szög szögeinek összege egy adott konvex geometriai alakzat esetén mindig 180° lesz. Ez alapján meghatározhatja az összes szögének összegét:
180 x n.
A belső szögek összege 180°(n-2). Ennek alapján az ábra összes külső sarkának összegét a következő képlet állítja be:
180°n-180°-(n-2)=360°.
Bármely konvex sokszög külső szögeinek összege mindig 360° lesz (függetlenül az oldalak számától).
A konvex sokszög külső szögét általában a 180° és a belső szög értéke közötti különbség képviseli.
A konvex sokszög egyéb tulajdonságai
Ezeknek a geometriai alakzatoknak az alapvető tulajdonságain kívül vannak még olyanok is, amelyek a manipuláció során merülnek fel. Tehát bármelyik sokszög felosztható több konvex n-szögre. Ehhez meg kell folytatni minden oldalát, és le kell vágni ezt a geometriai ábrát ezen egyenes vonalak mentén. Bármely sokszöget több konvex részre is fel lehet osztani úgy, hogy az egyes darabok csúcsai egybeesjenek az összes csúcsával. Egy ilyen geometriai alakzatból nagyon egyszerűen háromszögek készíthetők úgy, hogy mindent megrajzolunkátlói egy csúcsból. Így végül bármely sokszög felosztható bizonyos számú háromszögre, ami nagyon hasznosnak bizonyul az ilyen geometriai alakzatokkal kapcsolatos különféle problémák megoldásában.
Konvex sokszög kerülete
A szaggatott vonal szakaszait, amelyeket egy sokszög oldalainak nevezünk, leggyakrabban a következő betűkkel jelöljük: ab, bc, cd, de, ea. Ezek egy a, b, c, d, e csúcsú geometriai alakzat oldalai. Ennek a konvex sokszög minden oldalának hosszának összegét kerületének nevezzük.
Sokszög kerülete
A konvex sokszögek beírhatók és körülírhatók. Egy kört, amely ennek a geometriai alakzatnak minden oldalát érinti, beleírtnak nevezzük. Az ilyen sokszöget körülírtnak nevezzük. A sokszögbe írt kör középpontja egy adott geometriai alakzaton belüli összes szög felezőjének metszéspontja. Egy ilyen sokszög területe:
S=pr, ahol r a beírt kör sugara, p pedig az adott sokszög fél kerülete.
A sokszög csúcsait tartalmazó kört körülírtnak nevezzük. Sőt, ezt a konvex geometriai alakzatot beírtnak nevezik. Az ilyen sokszögre körülírt kör középpontja az összes oldal úgynevezett merőleges felezőinek metszéspontja.
Konvex geometriai alakzatok átlói
A konvex sokszög átlói olyan szakaszok, amelyeknem szomszédos csúcsokat kötni. Mindegyik ebben a geometriai alakzatban található. Egy ilyen n-szög átlóinak számát a következő képlet állítja be:
N=n (n – 3)/ 2.
A konvex sokszög átlóinak száma fontos szerepet játszik az elemi geometriában. A háromszögek számát (K), amelyekre fel lehet osztani minden konvex sokszöget, a következő képlettel számítjuk ki:
K=n – 2.
Egy konvex sokszög átlóinak száma mindig a csúcsok számától függ.
Konvex sokszög bontása
Egyes esetekben a geometriai feladatok megoldásához egy konvex sokszöget több nem metsző átlójú háromszögre kell felosztani. Ezt a problémát egy adott képlet levezetésével lehet megoldani.
A feladat definíciója: nevezzük meg egy konvex n-szög megfelelő felosztását több háromszögre olyan átlókkal, amelyek csak ennek a geometriai alakzatnak a csúcsaiban metszik egymást.
Megoldás: Tegyük fel, hogy Р1, Р2, Р3 …, Pn ennek az n-szögnek a csúcsai. Az Xn szám a partícióinak száma. Vizsgáljuk meg alaposan a Pi Pn geometriai alakzat kapott átlóját. Bármely szabályos partícióban P1 Pn egy bizonyos P1 Pi Pn háromszöghez tartozik, amelynek 1<i<n. Ebből kiindulva, és feltételezve, hogy i=2, 3, 4 …, n-1, ezeknek a partícióknak (n-2) csoportját kapjuk, amelyek az összes lehetséges egyedi esetet tartalmazzák.
Legyen i=2 szabályos partíciók egy csoportja, amely mindig tartalmazza az Р2 Pn átlót. A belépő partíciók száma megegyezik a partíciók számával(n-1)-gon P2 P3 P4… Pn. Más szóval egyenlő Xn-1.
Ha i=3, akkor ez a másik partíciócsoport mindig tartalmazza az Р3 Р1 és Р3 Pn átlókat. Ebben az esetben az ebben a csoportban található szabályos partíciók száma egybeesik az (n-2)-gon P3 P4 … Pn partícióinak számával. Más szavakkal, egyenlő lesz Xn-2.
Legyen i=4, akkor a háromszögek között egy szabályos partíció biztosan tartalmaz egy P1 P4 Pn háromszöget, amelyhez a P1 P2 P3 P4, (n-3)-gon P4 P5 … Pn négyszög csatlakozik.. Egy ilyen négyszög szabályos partícióinak száma X4, egy (n-3)-szög partícióinak száma pedig Xn-3. A fentiek alapján elmondhatjuk, hogy ebben a csoportban a helyes partíciók száma Xn-3 X4. Más csoportok, ahol i=4, 5, 6, 7… Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 … normál partíciókat tartalmaznak.
Legyen i=n-2, akkor a helyes felosztások száma ebben a csoportban megegyezik a csoportban lévő felosztások számával, ahol i=2 (más szóval egyenlő Xn-1).
Mivel X1=X2=0, X3=1, X4=2…, akkor egy konvex sokszög összes partíciójának száma:
Xn=Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + … + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.
Példa:
X5=X4 + X3 + X4=5
X6=X5 + X4 + X4 + X5=14
X7=X6 + X5 + X4X4 + X5 + X6=42
X8=X7 + X6 + X5X4 + X4X5 + X6 + X7=132
A belső egy átlósan metsző helyes partíciók száma
Speciális esetek ellenőrzésekor juthatunk elaz a feltevés, hogy a konvex n-szögek átlóinak száma egyenlő ezen ábra összes partíciójának (n-3) szorzatával.
A feltevés bizonyítása: képzeljük el, hogy P1n=Xn(n-3), akkor bármely n-szög felosztható (n-2)-háromszögekre. Sőt, egy (n-3)-négyszög is összeállítható belőlük. Ezzel együtt minden négyszögnek lesz egy átlója. Mivel ebben a konvex geometriai ábrában két átló húzható, ez azt jelenti, hogy további (n-3) átló húzható bármely (n-3)-négyszögbe. Ez alapján megállapíthatjuk, hogy bármely szabályos partícióban lehetséges olyan (n-3)-átlót rajzolni, amely megfelel ennek a feladatnak a feltételeinek.
Konvex sokszögek területe
Gyakran az elemi geometria különféle problémáinak megoldása során szükségessé válik egy konvex sokszög területének meghatározása. Tegyük fel, hogy (Xi. Yi), i=1, 2, 3… n egy olyan sokszög összes szomszédos csúcsának koordinátasorozata, amelynek nincs önmetszéspontja. Ebben az esetben a területét a következő képlettel számítjuk ki:
S=½ (∑ (Xi + Xi + 1) (Yi + Yi + 1)), hol (X1, Y1)=(Xn +1, Yn + 1).
