A háromszög egy sokszög, amelynek három oldala (három sarka) van. Leggyakrabban az oldalakat kis betűkkel jelölik, amelyek megfelelnek az ellentétes csúcsokat jelölő nagybetűknek. Ebben a cikkben megismerkedünk ezeknek a geometriai alakzatoknak a típusaival, azzal a tétellel, amely meghatározza, hogy mekkora a háromszög szögeinek összege.
Nézetek szög szerint
A következő típusú, három csúcsú sokszögeket különböztetjük meg:
- élesszögű, amelyben minden sarok éles;
- téglalap alakú, egy derékszögű, míg az azt alkotó oldalakat lábnak, a derékszöggel ellentétes old alt pedig befogónak nevezzük;
- tompa, ha az egyik sarok tompa;
- egyenlőszárúak, amelyeknek két oldala egyenlő, és ezeket laterálisnak nevezzük, a harmadik pedig a háromszög alapja;
- egyenlő oldalú, mindhárom egyenlő oldallal.
Tulajdonságok
Kiemeli az egyes háromszögtípusokra jellemző főbb tulajdonságokat:
- a nagyobb oldallal szemben mindig nagyobb a szög, és fordítva;
- az egyenlő méretű szemközti oldalak egyenlő szögek, és fordítva;
- minden háromszögnek két hegyesszöge van;
- egy külső sarok nagyobb, mint bármely, vele nem szomszédos belső sarok;
- bármely két szög összege mindig kisebb 180 foknál;
- külső sarok egyenlő a vele nem metsző másik két sarok összegével.
Szögösszeg háromszög tétele
A tétel kimondja, hogy ha összeadjuk egy adott geometriai alakzat összes szögét, amely az euklideszi síkon helyezkedik el, akkor ezek összege 180 fok lesz. Próbáljuk bebizonyítani ezt a tételt.
Vegyünk egy tetszőleges háromszöget a KMN csúcsaival.
Az M csúcson keresztül húzzon egy egyenest a KN egyenessel párhuzamosan (ezt az egyenest euklideszi egyenesnek is nevezik). Az A pontot úgy jelöljük ki rajta, hogy a K és A pont az MN egyenes különböző oldalán legyen. Egyenlő AMN és KNM szögeket kapunk, amelyek a belsőekhez hasonlóan keresztben fekszenek, és az MN szekáns alkotja a párhuzamos KN és MA egyenesekkel együtt. Ebből az következik, hogy az M és H csúcsokban elhelyezkedő háromszög szögeinek összege megegyezik a KMA szög nagyságával. Mindhárom szög alkotja az összeget, amely egyenlő a KMA és MKN szögek összegével. Mivel ezek a szögek belső egyoldalúakpárhuzamos egyenesek KN és MA szekáns KM, összegük 180 fok. Tétel bevált.
Következmény
A fent bizonyított tételből a következő következmény következik: minden háromszögnek két hegyesszöge van. Ennek bizonyítására tegyük fel, hogy egy adott geometriai alakzatnak csak egy hegyesszöge van. Azt is feltételezhetjük, hogy egyik szög sem hegyes. Ebben az esetben legalább két 90 fokkal egyenlő vagy annál nagyobb szögnek kell lennie. De akkor a szögek összege nagyobb lesz 180 foknál. De ez nem lehet, mert a tétel szerint egy háromszög szögeinek összege 180 ° - nem több és nem kevesebb. Ezt kellett bizonyítani.
Külső sarok ingatlan
Mekkora összege egy háromszög külső szögeinek? Ezt a kérdést kétféleképpen lehet megválaszolni. Az első az, hogy meg kell találni a szögek összegét, amelyek mindegyik csúcson egyet vesznek fel, azaz három szöget. A második azt jelenti, hogy meg kell találni mind a hat szög összegét a csúcsokban. Először is foglalkozzunk az első lehetőséggel. Tehát a háromszög hat külső sarkot tartalmaz – kettőt minden csúcsban.
Minden párnak egyenlő a szöge, mert függőlegesek:
∟1=∟4, ∟2=∟5, ∟3=∟6.
Emellett ismert, hogy egy háromszög külső szöge egyenlő két olyan belső szög összegével, amelyek nem metszik egymást. Ezért
∟1=∟A + ∟C, ∟2=∟A + ∟B, ∟3=∟B + ∟C.
Ebből kiderül, hogy a külső összeg összegesarkok, amelyeket minden csúcsnál veszünk, egyenlőek lesznek:
∟1 + ∟2 + ∟3=∟A + ∟C + ∟A + ∟B + ∟B + ∟C=2 x (∟A + ∟B + ∟C).
Tekintettel arra, hogy a szögek összege 180 fok, vitatható, hogy ∟A + ∟B + ∟C=180°. Ez pedig azt jelenti, hogy ∟1 + ∟2 + ∟3=2 x 180°=360°. Ha a második lehetőséget használjuk, akkor a hat szög összege kétszer akkora lesz. Vagyis a háromszög külső szögeinek összege:
∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6=2 x (∟1 + ∟2 + ∟2)=720°.
Derékszögű háromszög
Mekkora egy derékszögű háromszög hegyesszögeinek összege? A válasz erre a kérdésre ismét abból a tételből következik, amely szerint a háromszög szögei 180 fokot adnak össze. És a mi állításunk (tulajdonságunk) így hangzik: egy derékszögű háromszögben a hegyesszögek 90 fokot adnak össze. Bizonyítsuk be az igazságot.
Adjunk egy KMN háromszöget, amelyben ∟Н=90°. Be kell bizonyítani, hogy ∟K + ∟M=90°.
Tehát a szögösszegtétel szerint ∟К + ∟М + ∟Н=180°. Feltételünk szerint ∟Н=90°. Így kiderül, ∟K + ∟M + 90°=180°. Vagyis ∟K + ∟M=180° - 90°=90°. Ezt kellett bizonyítanunk.
A derékszögű háromszög fenti tulajdonságain kívül a következőket is hozzáadhatja:
- a lábakon fekvő szögek élesek;
- a hipotenusz háromszög alakú, jobban mint bármelyik láb;
- a lábak összege nagyobb, mint a hypotenusa;
- lábegy 30 fokos szöggel átellenes háromszög a befogó fele, vagyis egyenlő felével.
E geometriai alakzat másik tulajdonságaként megkülönböztethető a Pitagorasz-tétel. Azt állítja, hogy egy 90 fokos szögű (téglalap alakú) háromszögben a lábak négyzeteinek összege megegyezik a befogó négyzetével.
Egy egyenlő szárú háromszög szögeinek összege
Korábban azt mondtuk, hogy az egyenlő szárú sokszög három csúcsú, és két egyenlő oldallal rendelkezik. Egy adott geometriai alakzatnak ez a tulajdonsága ismert: az alapjában lévő szögek egyenlőek. Bizonyítsuk be.
Vegyük a KMN háromszöget, amely egyenlő szárú, KN az alapja.
Bizonyítanunk kell, hogy ∟К=∟Н. Tehát tegyük fel, hogy MA a KMN háromszögünk felezője. Az MCA háromszög, figyelembe véve az egyenlőség első jelét, egyenlő az MCA háromszöggel. Ugyanis feltétellel adott, hogy KM=NM, MA közös oldal, ∟1=∟2, mivel MA egy felezőszög. Felhasználva azt a tényt, hogy ez a két háromszög egyenlő, kijelenthetjük, hogy ∟K=∟Н. Tehát a tétel bebizonyosodott.
De minket az érdekel, hogy mennyi egy háromszög (egyenlőszárú) szögeinek összege. Mivel ebből a szempontból ennek nincsenek sajátosságai, a korábban tárgy alt tételből indulunk ki. Vagyis azt mondhatjuk, hogy ∟K + ∟M + ∟H=180°, vagy 2 x ∟K + ∟M=180° (mivel ∟K=∟H). Ezt a tulajdonságot nem fogjuk igazolni, mivel magát a háromszögösszeg-tételt korábban igazoltuk.
A megbeszéltek kivételévela háromszög szögeire vonatkozó tulajdonságok, vannak olyan fontos állítások is:
- egy egyenlő szárú háromszögben az alapra süllyesztett magasság mind a medián, mind az egyenlő oldalak közötti szög felezőpontja, valamint az alapjának szimmetriatengelye;
- egy ilyen geometriai alakzat oldalaira húzott mediánok (felezők, magasságok) egyenlőek.
Egyenlő oldalú háromszög
Jónak is nevezik, ez a háromszög, amelynek minden oldala egyenlő. Ezért a szögek is egyenlőek. Mindegyik 60 fokos. Bizonyítsuk be ezt a tulajdonságot.
Tegyük fel, hogy van egy KMN háromszögünk. Tudjuk, hogy KM=NM=KN. Ez pedig azt jelenti, hogy egy egyenlő szárú háromszög alapjában elhelyezkedő szögek tulajdonsága szerint ∟К=∟М=∟Н. Mivel a tétel szerint egy háromszög szögeinek összege ∟К + ∟М + ∟Н=180°, akkor 3 x ∟К=180° vagy ∟К=60°, ∟М=60°, ∟ Н=60°. Így az állítás bebizonyosodott.
Amint a fenti tételen alapuló bizonyításból látható, egy egyenlő oldalú háromszög szögeinek összege, akárcsak bármely más háromszög szögeinek összege, 180 fok. Ezt a tételt nem kell újra bebizonyítani.
Vannak olyan tulajdonságok is, amelyek az egyenlő oldalú háromszögre jellemzőek:
- medián, felező, magasság egy ilyen geometriai alakzatban megegyezik, és hosszukat a következőképpen számítjuk ki (a x √3): 2;
- ha leírsz egy kört egy adott sokszög körül, akkor a sugara a következő leszegyenlő (a x √3): 3;
- ha egy kört írunk egy egyenlő oldalú háromszögbe, akkor a sugara a következő lesz (a x √3): 6;
- ennek a geometriai alakzatnak a területét a következő képlettel számítjuk ki: (a2 x √3): 4.
Tökéletes szögű háromszög
A tompa háromszög definíciója szerint az egyik szöge 90 és 180 fok között van. De tekintettel arra, hogy ennek a geometriai alaknak a másik két szöge hegyes, arra a következtetésre juthatunk, hogy nem haladják meg a 90 fokot. Ezért a háromszög szögösszegének tétele működik egy tompa háromszög szögösszegének kiszámításakor. Kiderült, hogy az előbb említett tétel alapján nyugodtan kijelenthetjük, hogy egy tompa háromszög szögeinek összege 180 fok. Ismétlem, ezt a tételt nem kell újra bizonyítani.
