A prizma egy meglehetősen egyszerű geometriai háromdimenziós alakzat. Ennek ellenére néhány iskolásnak problémái vannak a fő tulajdonságainak meghatározásával, amelyek oka általában a helytelenül használt terminológiához kapcsolódik. Ebben a cikkben megvizsgáljuk, hogy mik azok a prizmák, mi a neve, és részletesen leírjuk a helyes négyszögű prizmát.
Prizma a geometriában
A háromdimenziós alakzatok tanulmányozása a sztereometria feladata – a térgeometria fontos része. A sztereometriában prizmán olyan alakzatot értünk, amely egy tetszőleges sík sokszög párhuzamos fordításával jön létre bizonyos tértávolságban. A párhuzamos fordítás olyan mozgást jelent, amelyben a sokszög síkjára merőleges tengely körüli forgás teljesen kizárt.
A leírt prizmaszerzési módszer eredményeként egy alak jön létre, amelyet kettő korlátozazonos méretű, párhuzamos síkban fekvő sokszögek és bizonyos számú paralelogramma. Számuk egybeesik a sokszög oldalainak (csúcsainak) számával. Az azonos sokszögeket a prizma alapjainak nevezzük, és felületük az alapok területe. A két alapot összekötő paralelogrammok oldalfelületet alkotnak.
Prizmaelemek és Euler-tétel
Mivel a vizsgált háromdimenziós alak poliéder, vagyis egymást metsző síkok halmaza alkotja, ezért meghatározott számú csúcs, él és lap jellemzi. Ezek mind egy prizma elemei.
A 18. század közepén Leonhard Euler svájci matematikus kapcsolatot hozott létre egy poliéder alapelemeinek száma között. Ezt a kapcsolatot a következő egyszerű képlettel írjuk le:
Élek száma=csúcsok száma + lapok száma - 2
Ez az egyenlőség minden prizmára igaz. Mondjunk példát a használatára. Tegyük fel, hogy van egy szabályos négyszögű prizma. Az alábbi képen látható.
Látható, hogy a csúcsok száma hozzá 8 (négyszög alaponként 4). Az oldalak vagy lapok száma 6 (2 alap és 4 old altéglalap). Ekkor az élek száma a következő lesz:
Bordák száma=8 + 6 - 2=12
Mindegyik megszámolható, ha ugyanarra a képre hivatkozik. Nyolc él az alapoknál fekszik, négy él pedig merőleges ezekre az alapokra.
A prizmák teljes osztályozása
Fontos megérteni ezt az osztályozást, nehogy később összezavarodjon a terminológiában, és a megfelelő képletekkel számítsa ki például az ábrák felületét vagy térfogatát.
Bármely tetszőleges alakú prizmánál 4 jellemzőt lehet megkülönböztetni, amelyek jellemzik. Soroljuk fel őket:
- A sokszög sarkainak száma alapján az alapnál: háromszög, ötszög, nyolcszög stb.
- Sokszög típusa. Lehet helyes vagy helytelen. Például egy derékszögű háromszög szabálytalan, de egy egyenlő oldalú háromszög helyes.
- A sokszög konvexitás típusa szerint. Lehet homorú vagy domború. A konvex prizmák a leggyakoribbak.
- Az alapok és az oldalsó paralelogrammák közötti szögeknél. Ha ezek a szögek mindegyike egyenlő 90o, akkor derékszögű prizmáról beszélnek, ha nem mindegyik egyenes, akkor egy ilyen alakzatot ferdenek nevezünk.
Mindezek közül az utolsónál szeretnék időzni. Az egyenes prizmát téglalap alakú prizmának is nevezik. Ez annak a ténynek köszönhető, hogy számára a paralelogrammák általában téglalapok (néhány esetben négyzetek is lehetnek).
Például a fenti ábra egy ötszögletű konkáv téglalap vagy egyenes alakot mutat.
Szabályos négyszögű prizma
A prizma alapja egy szabályos négyszög, azaz egy négyzet. A fenti ábra már megmutatta, hogyan néz ki ez a prizma. Amellett, hogy a két négyzet, hogy nekifelső és alsó korlát, 4 téglalapot is tartalmaz.
Jelöljük a szabályos négyszög hasáb alapjának oldalát a betűvel, oldalélének hosszát c betűvel jelöljük. Ez a hossz egyben a figura magassága is. Ezután a prizma teljes felületének területét a következő képlet fejezi ki:
S=2a2+ 4ac=2a(a + 2c)
Itt az első tag az alapok hozzájárulását tükrözi a teljes területhez, a második tag pedig az oldalfelület területét.
A bevezetett oldalhossz-jelöléseket figyelembe véve írjuk a képletet a kérdéses ábra térfogatára:
V=a2c
Azaz a térfogat a négyzet alapterületének és az oldalél hosszának szorzataként kerül kiszámításra.
Kockaforma
Mindenki ismeri ezt az ideális háromdimenziós alakzatot, de kevesen gondolták, hogy ez egy szabályos négyszögű prizma, amelynek oldala megegyezik a négyzet alap oldalának hosszával, azaz c=a.
Egy kocka esetében a teljes felületre és térfogatra vonatkozó képletek a következő formában lesznek:
S=6a2
V=a3
Mivel a kocka 6 egyforma négyzetből álló prizma, ezek bármelyik párhuzamos párja alapnak tekinthető.
A kocka egy rendkívül szimmetrikus figura, amely a természetben számos fémes anyag és ionkristályok kristályrácsaiban valósul meg. Például arany-, ezüst-, réz- és asztalrácsoka sók köbösek.
