A sztereometria a geometriának egy olyan része, amely olyan alakzatokat vizsgál, amelyek nem fekszenek ugyanabban a síkban. A sztereometria vizsgálatának egyik tárgya a prizmák. A cikkben megadjuk a prizma definícióját geometriai szempontból, és röviden felsoroljuk a rá jellemző tulajdonságokat is.
Geometrikus alakzat
A prizma definíciója a geometriában a következő: egy térbeli alakzat, amely két azonos n-szögből áll, amelyek párhuzamos síkban helyezkednek el, és csúcsaikkal kapcsolódnak egymáshoz.
A prizma beszerzése egyszerű. Képzeljük el, hogy két egyforma n-szög van, ahol n az oldalak vagy csúcsok száma. Helyezzük el őket úgy, hogy párhuzamosak legyenek egymással. Ezt követően az egyik sokszög csúcsait össze kell kapcsolni egy másik sokszög megfelelő csúcsaival. A kialakított ábra két n-szögű oldalból, amelyeket alapoknak nevezünk, és n négyszögű oldalból fog állni, amelyek általában paralelogrammák. A paralelogrammák halmaza képezi az ábra oldalfelületét.
Van még egy módszer a kérdéses alak geometriai meghatározására. Tehát, ha veszünk egy n-szöget, és egyenlő hosszúságú párhuzamos szakaszokat használva átvisszük egy másik síkra, akkor az új síkban megkapjuk az eredeti sokszöget. Mind a sokszögek, mind a csúcsaikból rajzolt párhuzamos szakaszok egy prizmát alkotnak.
A fenti képen egy háromszög alakú prizma látható. Azért hívják így, mert alapjai háromszögek.
Az ábrát alkotó elemek
A prizma definícióját fentebb adtuk, amiből világosan látszik, hogy egy alakzat fő elemei a lapjai vagy oldalai, amelyek a prizma összes belső pontját korlátozzák a külső térből. A szóban forgó alak bármely lapja a következő két típus valamelyikébe tartozik:
- oldal;
- föld.
N darab oldaldarab van, és ezek paralelogrammák, vagy bizonyos típusai (téglalapok, négyzetek). Általában az oldalfelületek különböznek egymástól. Az alapnak csak két lapja van, ezek n-szögűek és egyenlőek egymással. Így minden prizmának n+2 oldala van.
A figurát az oldalakon kívül a csúcsai is jellemzik. Ezek olyan pontok, ahol három arc érinti egyszerre. Ezenkívül a három oldal közül kettő mindig az oldalfelülethez, egy pedig az alaphoz tartozik. Így egy prizmában nincs speciálisan kiválasztott csúcs, mivel például egy piramisban mindegyik egyenlő. Az ábra csúcsainak száma 2n (n darab mindegyikhezok).
Végül a prizma harmadik fontos eleme az élei. Ezek bizonyos hosszúságú szegmensek, amelyek az ábra oldalainak metszéspontja következtében jönnek létre. Az élekhez hasonlóan az éleknek is két különböző típusa van:
- vagy csak az oldalak alkotják;
- vagy a paralelogramma és az n-szögű alap oldalának találkozásánál jelennek meg.
Az élek száma így 3n, és ebből 2n a második típusú.
Prizmatípusok
Számos módja van a prizmák osztályozásának. Mindazonáltal mindegyik az ábra két jellemzőjén alapul:
- az n-szénbázis típusáról;
- oldalsó típuson.
Először is térjünk át a második jellemzőre, és határozzunk meg egy egyenes és ferde prizmát. Ha legalább az egyik oldal általános típusú paralelogramma, akkor az ábrát ferdének vagy ferdenek nevezzük. Ha minden paralelogramma téglalap vagy négyzet, akkor a prizma egyenes lesz.
Az egyenes prizma definíciója kicsit másképp is megadható: az egyenes alakzat olyan prizma, amelynek oldalélei és lapjai merőlegesek az alapjaira. Az ábrán két négyszögletű ábra látható. A bal egyenes, a jobb ferde.
Most térjünk át az alapokban fekvő n-szög típusa szerinti osztályozásra. Lehetnek azonos oldalai és szögei, vagy eltérőek. Az első esetben a sokszöget szabályosnak nevezzük. Ha a vizsgált ábra egy sokszöget tartalmaz egyenlőoldalai és szögei és egy egyenes vonal, akkor ezt helyesnek nevezzük. E meghatározás szerint a szabályos prizmának az alapjában lehet egyenlő oldalú háromszög, négyzet, szabályos ötszög vagy hatszög stb. A felsorolt helyes számok az ábrán láthatók.
Prizmák lineáris paraméterei
A következő paramétereket használjuk a vizsgált ábrák méretének leírására:
- magasság;
- alapoldalak;
- oldalsó bordahosszak;
- 3D átlók;
- átlós oldalak és alapok.
Szabványos prizmák esetén az összes megnevezett mennyiség összefügg egymással. Például az oldalsó bordák hossza megegyezik a magassággal. Egy adott n-szögű szabályos alakzathoz vannak olyan képletek, amelyek lehetővé teszik az összes többi meghatározását bármely két lineáris paraméterrel.
Alakú felület
Ha a prizma fenti definíciójára hivatkozunk, akkor nem lesz nehéz megérteni, mit ábrázol egy alakzat felülete. A felület az összes arc területe. Egyenes prizma esetén a következő képlettel számítjuk ki:
S=2So + Poh
ahol So az alap területe, Po az n-szög kerülete az alapnál, h a magasság (az alapok közötti távolság).
Az ábra hangereje
A gyakorlathoz szükséges felület mellett fontos ismerni a prizma térfogatát. A következő képlettel határozható meg:
V=Soh
Ezez a kifejezés abszolút bármilyen típusú prizmára igaz, beleértve azokat is, amelyek ferdeek és szabálytalan sokszögekből állnak.
Szabványos prizmák esetén a térfogat az alap oldalhosszának és az ábra magasságának a függvénye. A megfelelő n-szögű prizmához a V képletének konkrét alakja van.
