A középiskolában a figurák síkon lévő tulajdonságainak tanulmányozása után áttérnek a térbeli geometriai objektumok, például prizmák, gömbök, piramisok, hengerek és kúpok figyelembevételére. Ebben a cikkben a legteljesebb leírást adjuk az egyenes háromszög alakú prizmáról.
Mi az a háromszög prizma?
Kezdjük a cikket az ábra meghatározásával, amelyről a továbbiakban még lesz szó. A prizma geometriai szempontból egy olyan alak a térben, amelyet két azonos, párhuzamos síkban elhelyezkedő n-szög alkot, amelyeknek azonos szögeit egyenes szakaszok kötik össze. Ezeket a szegmenseket oldalsó bordáknak nevezzük. Az alap oldalaival együtt oldalfelületet alkotnak, amelyet általában paralelogrammák ábrázolnak.
Két n-szög az ábra alapja. Ha az oldalélek merőlegesek rájuk, akkor egyenes prizmáról beszélnek. Ennek megfelelően, ha a sokszög n oldalainak száma az alapoknál három, akkor egy ilyen alakzatot háromszögprizmának nevezünk.
A háromszög alakú egyenes prizma fent látható az ábrán. Ezt az ábrát szabályosnak is nevezik, mivel alapjai egyenlő oldalú háromszögek. Az ábra oldalélének hosszát, amelyet az ábrán a h betű jelzi, magasságának nevezzük.
Az ábrán látható, hogy egy háromszögalapú prizmát öt lap alkot, amelyek közül kettő egyenlő oldalú háromszög, három pedig egyforma téglalap. A lapokon kívül a prizmának hat csúcsa van az alapoknál és kilenc éle. A figyelembe vett elemek számát az Euler-tétellel viszonyítják egymáshoz:
élek száma=csúcsok száma + oldalak száma - 2.
Egy derékszögű háromszög prizma területe
Fentebb megtudtuk, hogy a kérdéses figurát kétféle (két háromszög, három téglalap) öt lap alkotja. Mindezek az oldalak a prizma teljes felületét alkotják. Teljes területük az ábra területe. Az alábbiakban egy háromszög alakú prizma kibontása látható, amelyet úgy kaphatunk meg, hogy először levágunk két alapot az ábráról, majd az egyik él mentén levágjuk és kihajtjuk az oldalfelületet.
Adjunk képleteket a sweep felületének meghatározásához. Kezdjük egy derékszögű háromszög prizma alapjaival. Mivel ezek háromszögeket képviselnek, mindegyikük S3 területe a következőképpen található:
S3=1/2aha.
Itt a a háromszög oldala, ha a háromszög csúcsától erre az oldalra csökkentett magasság.
Ha a háromszög egyenlő oldalú (szabályos), akkor az S3 képlete egyetlen a paramétertől függ. Így néz ki:
S3=√3/4a2.
Ezt a kifejezést egy a, a/2, ha. szakaszokból álló derékszögű háromszög figyelembevételével kaphatjuk meg.
Az So alapterülete egy szabályos szám esetén kétszerese az S3:
So=2S3=√3/2a2.
Ami az Sb oldalfelületet illeti, nem nehéz kiszámítani. Ehhez elegendő hárommal megszorozni az a és h oldalak által alkotott téglalap területét. A megfelelő képlet:
Sb=3ah.
Így egy háromszög alappal rendelkező szabályos prizma területét a következő képlet határozza meg:
S=So+ Sb=√3/2a2+ 3 ah.
Ha a prizma egyenes, de szabálytalan, akkor a területének kiszámításához külön kell összeadni az egymással nem egyenlő téglalapok területeit.
Egy ábra térfogatának meghatározása
A prizma térfogata az oldalai (lapjai) által behatárolt tér. Egy derékszögű háromszög alakú prizma térfogatának kiszámítása sokkal egyszerűbb, mint a felületének kiszámítása. Ehhez elegendő ismerni az alap területét és az ábra magasságát. Mivel egy egyenes alak h magassága az oldalélének hossza, és az alapterület kiszámításának módja, az előzőekben megadtuk.pontot, akkor hátra van, hogy ezt a két értéket megszorozzuk egymással a kívánt térfogat elérése érdekében. A képlet a következő:
V=S3h.
Ne feledje, hogy egy alap területének és a magasságnak a szorzata nem csak egy egyenes prizma térfogatát adja, hanem egy ferde alakot, sőt egy hengert is.
Problémamegoldás
Az optikában háromszög alakú üvegprizmákat használnak az elektromágneses sugárzás spektrumának tanulmányozására a diszperzió jelensége miatt. Ismeretes, hogy egy normál üvegprizma alapoldalhossza 10 cm, élhossza 15 cm. Mekkora az üveglapok területe és mekkora térfogata?
A terület meghatározásához a cikkben leírt képletet használjuk. Nálunk:
S=√3/2a2+ 3ah=√3/2102 + 3 1015=536,6 cm2.
A V térfogat meghatározásához a fenti képletet is használjuk:
V=S3h=√3/4a2h=√3/410 215=649,5 cm3.
Annak ellenére, hogy a prizma élei 10 cm és 15 cm hosszúak, az ábra térfogata mindössze 0,65 liter (egy 10 cm-es oldalú kocka térfogata 1 liter).
