A tér geometriai alakjai a sztereometria tanulmányozásának tárgyát képezik, amelynek kurzusát az iskolások középiskolás korában teljesítik. Ezt a cikket egy olyan tökéletes poliédernek szenteljük, mint egy prizma. Tekintsük részletesebben egy prizma tulajdonságait, és adjuk meg azokat a képleteket, amelyek mennyiségi leírásukra szolgálnak.
Mi az a prizma?
Mindenki elképzeli, hogy néz ki egy doboz vagy kocka. Mindkét ábra prizma. A prizmák osztálya azonban sokkal változatosabb. A geometriában ez az ábra a következő definíciót kapja: a prizma bármely térbeli poliéder, amelyet két párhuzamos és azonos sokszög oldal és több paralelogramma alkot. Az alakzat azonos párhuzamos lapjait alapjainak (felső és alsó) nevezzük. A párhuzamos ábrák az ábra oldallapjai, amelyek az alap oldalait kötik össze egymással.
Ha az alapot egy n-szög ábrázolja, ahol n egy egész szám, akkor az ábra 2+n lapból, 2n csúcsból és 3n élből áll. Az élek és az élek utalnakkét típus egyike: vagy az oldalfelülethez, vagy az alapokhoz tartoznak. Ami a csúcsokat illeti, mind egyenlőek, és a prizma alapjaihoz tartoznak.
A vizsgált osztály figuráinak típusai
A prizma tulajdonságait tanulmányozva fel kell sorolni az ábra lehetséges típusait:
- Konvex és homorú. A különbség köztük a sokszögű alap alakjában van. Ha homorú, akkor háromdimenziós alakzat is lesz, és fordítva.
- Egyenes és ferde. Egyenes prizmák esetén az oldallapok téglalapok vagy négyzetek. Egy ferde ábrán az oldallapok általános típusú paralelogrammák vagy rombuszok.
- Rossz és helyes. Ahhoz, hogy a vizsgált ábra helyes legyen, egyenesnek és megfelelő alappal kell rendelkeznie. Ez utóbbira példák a lapos alakok, például egy egyenlő oldalú háromszög vagy négyzet.
A prizma neve a felsorolt besorolás figyelembevételével kerül kialakításra. Például a fent említett derékszögű paralelepipedont vagy kockát szabályos négyszögű prizmának nevezzük. A szabályos prizmák nagy szimmetriájuk miatt kényelmesen tanulmányozhatók. Tulajdonságaik meghatározott matematikai képletek formájában vannak kifejezve.
Prizmaterület
Ha egy prizma ilyen tulajdonságát tekintjük a területnek, akkor az összes lapjának teljes területét értjük. Ezt az értéket a legkönnyebben úgy képzelhetjük el, ha kibontjuk az ábrát, vagyis az összes old alt egy síkra bontjuk. Lent továbbAz ábra egy példát mutat két prizma pásztázására.
Egy tetszőleges prizmához a sweep területének képlete általános formában a következőképpen írható fel:
S=2So+ bPsr.
Magyarázzuk a jelölést. Az So érték egy alap területe, b az oldalél hossza, Psr a vágás kerülete, amely merőleges az ábra oldalparalelogrammáira.
Az írott képletet gyakran használják a ferde prizmák területének meghatározására. Szabályos prizma esetén az S kifejezés egy meghatározott alakot vesz fel:
S=n/2a2ctg(pi/n) + nba.
A kifejezés első tagja egy szabályos prizma két alapjának területét jelöli, a második tag pedig az oldalsó téglalapok területét. Itt a egy szabályos n-szög oldalának hossza. Vegyük észre, hogy a b oldalél hossza egy szabályos prizmánál egyben a h magassága is, ezért a képletben a b helyettesíthető h-val.
Hogyan kell kiszámítani egy alak térfogatát?
A prizma egy viszonylag egyszerű poliéder, nagy szimmetriával. Ezért a térfogatának meghatározásához van egy nagyon egyszerű képlet. Így néz ki:
V=Soh.
Az alapterület és a magasság kiszámítása bonyolult lehet, ha egy szabálytalan ferde alakzatot nézünk. Ezt a problémát szekvenciális geometriai elemzéssel oldják meg, amely információkat tartalmaz az oldalparalelogrammák és az alap közötti diéderszögekről.
Ha a prizma helyes, akkorV képlete egészen konkrét lesz:
V=n/4a2ctg(pi/n)h.
Amint láthatja, egy szabályos prizma S területe és V térfogata egyedileg meghatározott, ha két lineáris paramétere ismert.
Háromszög alakú szabályos prizma
Befejezzük a cikket egy szabályos háromszög prizma tulajdonságainak figyelembevételével. Öt lapból áll, amelyek közül három téglalap (négyzet), kettő pedig egyenlő oldalú háromszög. A prizmának hat csúcsa és kilenc éle van. Ehhez a prizmához a térfogat és a felület képletei az alábbiakban vannak felírva:
S3=√3/2a2+ 3ha
V3=√3/4a2h.
Ezeken a tulajdonságokon kívül hasznos egy képletet megadni az ábra alapjának apotémára, amely egy egyenlő oldalú háromszög ha magassága:
ha=√3/2a.
A prizma oldalai azonos téglalapok. A d átlójuk hossza:
d=√(a2+ h2).
A háromszögprizma geometriai tulajdonságainak ismerete nemcsak elméleti, hanem gyakorlati szempontból is érdekes. A helyzet az, hogy ezt az optikai üvegből készült ábrát a testek sugárzási spektrumának tanulmányozására használják.
Az üvegprizmán áthaladó fény a diszperziós jelenség következtében számos színkomponensre bomlik, ami megteremti az elektromágneses fluxus spektrális összetételének tanulmányozását.
