Az iskolai geometria tanfolyam két nagy részre oszlik: planimetria és szilárd geometria. A sztereometria térbeli alakzatokat és azok jellemzőit vizsgálja. Ebben a cikkben megvizsgáljuk, mi az egyenes prizma, és képleteket adunk, amelyek leírják tulajdonságait, például az átlós hosszt, a térfogatot és a felületet.
Mi az a prizma?
Amikor az iskolásokat arra kérik, hogy nevezzék meg a prizma definícióját, azt válaszolják, hogy ez az ábra két egyforma párhuzamos sokszög, amelyek oldalait paralelogrammák kötik össze. Ez a definíció a lehető legáltalánosabb, mivel nem szab feltételeket a sokszögek alakjára, azok párhuzamos síkokban való kölcsönös elrendezésére. Ezenkívül magában foglalja az összekötő paralelogrammák jelenlétét, amelyek osztályába tartozik még egy négyzet, egy rombusz és egy téglalap. Alább láthatja, mi az a négyszögű prizma.
Látjuk, hogy a prizma egy n + 2-ből álló poliéder (poliéder)oldalak, 2 × n csúcsok és 3 × n élek, ahol n az egyik sokszög oldalainak (csúcsainak) száma.
Mindkét sokszöget általában az ábra alapjának nevezik, a többi lap a prizma oldala.
Az egyenes prizma fogalma
Különféle prizmák léteznek. Tehát beszélnek szabályos és szabálytalan figurákról, háromszög-, ötszög- és egyéb prizmákról, vannak domború és konkáv alakok, végül ferde és egyenesek. Utóbbiról beszéljünk részletesebben.
A derékszögű prizma a poliéderek vizsgált osztályának olyan alakja, amelynek minden oldalnégyszöge derékszögű. Csak kétféle ilyen négyszög létezik: egy téglalap és egy négyzet.
Az ábra figyelembe vett formájának van egy fontos tulajdonsága: egy egyenes prizma magassága megegyezik oldalélének hosszával. Vegye figyelembe, hogy az ábra minden oldaléle egyenlő egymással. Ami az oldallapokat illeti, általában nem egyenlőek egymással. Egyenlőségük akkor lehetséges, ha azon túl, hogy a prizma egyenes, az is helyes lesz.
Az alábbi ábra egy egyenes figurát mutat, ötszögletű alappal. Látható, hogy minden oldallapja téglalap.
Prizma átlói és lineáris paraméterei
Bármely prizma fő lineáris jellemzői a h magassága és az alapja oldalainak hossza ai, ahol i=1, …, n. Ha az alap szabályos sokszög, akkor a tulajdonságainak leírásához elegendő ismerni az egyik oldal a hosszát. A megjelölt lineáris paraméterek ismerete lehetővé teszi számunkra, hogy egyértelműendefiniálja egy alak olyan tulajdonságait, mint annak térfogata vagy felülete.
Egy egyenes prizma átlói olyan szakaszok, amelyek bármely két nem szomszédos csúcsot összekötnek. Az ilyen átlóknak három típusa lehet:
- az alapsíkban fekve;
- az oldalsó téglalapok síkjaiban található;
- kötethez tartozó figurák.
Az alaphoz viszonyított átlók hosszát az n-szög típusától függően kell meghatározni.
Az oldalsó téglalapok átlóit a következő képlet segítségével számítjuk ki:
d1i=√(ai2+ h2).
A hangerő átlóinak meghatározásához ismernie kell a megfelelő alapátló hosszának és magasságának értékét. Ha az alap valamely átlóját d0i betűvel jelöljük, akkor a d2i térfogatátlót a következőképpen számítjuk ki:
d2i=√(d0i2+ h2).
Például egy szabályos négyszögű prizma esetében a térfogatátló hossza a következő lesz:
d2=√(2 × a2+ h2).
Ne feledje, hogy egy derékszögű háromszögű prizmának csak egy van a három megnevezett átlótípus közül: az oldalátló.
A vizsgált alakzatosztály felülete
A felület területe az ábra összes lapja területének összege. Az összes arc megjelenítéséhez szkennelje le a prizmát. Példaként egy ötszögletű figura ilyen söpörését mutatjuk be az alábbiakban.
Látjuk, hogy a síkidomok száma n + 2, n pedig téglalap. A teljes söprés területének kiszámításához adja össze két azonos alap területét és az összes téglalap területét. Ekkor a megfelelő képlet így fog kinézni:
S=2 × So+ h × ∑i=1n (ai).
Ez az egyenlőség azt mutatja, hogy a vizsgált típusú prizmák oldalfelülete egyenlő az ábra magasságának és alapja kerületének szorzatával.
So alapterülete kiszámítható a megfelelő geometriai képlet alkalmazásával. Például, ha egy derékszögű prizma alapja egy derékszögű háromszög, akkor a következőt kapjuk:
So=a1 × a2 / 2.
Ahol a1 és a2 a háromszög lábai.
Ha az alap egy n-szög egyenlő szögekkel és oldalakkal, akkor a következő képlet igaz:
So=n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
Hangerőképlet
Egy bármilyen típusú prizma térfogatának meghatározása nem nehéz feladat, ha ismert az alapterülete So és h magassága. Ezeket az értékeket összeszorozva megkapjuk az ábra V térfogatát, azaz:
V=So × h.
Mivel egy egyenes prizma h paramétere megegyezik az oldalél hosszával, a térfogat számításának teljes problémája az So terület kiszámításában rejlik. Fölöttünkmár mondott néhány szót, és adott néhány képletet az So meghatározásához. Itt csak azt jegyezzük meg, hogy egy tetszőleges alakú alap esetében egyszerű szegmensekre (háromszögekre, téglalapokra) kell bontani, ki kell számítani mindegyik területét, majd össze kell adni az összes területet, hogy megkapjuk az S o.
