A geometria fő alakja a kör, melynek tulajdonságait az iskolában a 8. osztályban figyelembe veszik. A körrel kapcsolatos egyik tipikus probléma az, hogy meg kell találni egy részének területét, amelyet körszektornak neveznek. A cikk képleteket ad egy szektor területére és ívének hosszára, valamint példát mutat ezek felhasználására egy adott probléma megoldására.
A kör és a kör fogalma
Mielőtt megadnánk a képletet egy kör szektorának területére, nézzük meg, mi a jelzett ábra. A matematikai definíció szerint kör alatt olyan síkon lévő alakzatot értünk, amelynek minden pontja egyenlő távolságra van valamelyik ponttól (középponttól).
A kör figyelembevételekor a következő terminológiát használjuk:
- Radius – egy szakasz, amelyet a középponttól a kör görbéjéig húznak. Általában R betűvel jelölik.
- Az átmérő egy szakasz, amely a kör két pontját összeköti, de áthalad az ábra közepén is. Általában D betűvel jelölik.
- Az ív egy görbe kör része. Mérése vagy hosszegységben, vagy szögek használatával történik.
A kör egy másik fontos geometriai alakzat, pontok gyűjteménye, amelyet egy görbe kör határol.
Kör területe és kerülete
A tétel címében szereplő értékeket két egyszerű képlet segítségével számítjuk ki. Az alábbiakban felsoroljuk őket:
- Kerület: L=2piR.
- Kör területe: S=piR2.
Ezekben a képletekben a pi egy Pi egy állandó. Irracionális, vagyis nem fejezhető ki pontosan egyszerű törtként. Pi körülbelül 3,1416.
Amint a fenti kifejezésekből látható, a terület és a hossz kiszámításához elegendő csak a kör sugarát ismerni.
A kör szektorának területe és ívének hossza
Mielőtt megvizsgálnánk a megfelelő képleteket, ne feledjük, hogy a szöget a geometriában általában kétféleképpen fejezik ki:
- hatesztimális fokban, és a teljes elforgatás a tengelye körül 360o;
- radiánban, pi töredékében kifejezve, és a fokokhoz viszonyítva a következő egyenlettel: 2pi=360o.
A kör szektora egy olyan alak, amelyet három egyenes határol: egy körív és két sugár, amelyek ennek az ívnek a végein helyezkednek el. Az alábbi képen egy kör alakú szektor látható.
Könnyű képet alkotni arról, hogy mi a kör szektoramegérteni, hogyan kell kiszámítani a területét és a megfelelő ív hosszát. A fenti ábrán látható, hogy a szektor íve megfelel a θ szögnek. Tudjuk, hogy egy teljes kör 2pi radiánnak felel meg, ezért a körszektor területének képlete a következő formában lesz: S1=Sθ/(2 pi)=piR 2θ/(2pi)=θR2/2. Itt a θ szöget radiánban fejezzük ki. Hasonló képlet a szektorterületre, ha a θ szöget fokban mérjük, így fog kinézni: S1=piθR2 /360.
A szektort alkotó ív hosszát a következő képlettel számítjuk ki: L1=θ2piR/(2pi)=θR. És ha θ fokban ismert, akkor: L1=piθR/180.
Példa problémamegoldásra
Használjunk egy egyszerű feladat példáját annak bemutatására, hogyan kell használni a képleteket egy kör szektorának területére és ívének hosszára.
Ismerhető, hogy a kerék 12 küllős. Amikor a kerék egy teljes fordulatot tesz, 1,5 méteres távolságot tesz meg. Mekkora terület van a kerék két szomszédos küllője között, és mekkora a köztük lévő ív?
Amint az a megfelelő képletekből látható, használatukhoz két mennyiséget kell ismerni: a kör sugarát és az ív szögét. A sugár a kerék kerületének ismeretében számítható, hiszen az általa egy fordulat alatt megtett út pontosan megfelel annak. Van: 2Rpi=1,5, innen: R=1,5/(2pi)=0,2387 méter. A legközelebbi küllők közötti szög a számuk ismeretében határozható meg. Feltéve, hogy mind a 12 küllő egyenletesen osztja fel a kört egyenlő szektorokra, 12 egyforma szektort kapunk. Ennek megfelelően a két küllő közötti ív szögmértéke: θ=2pi/12=pi/6=0,5236 radián.
Megtaláltuk az összes szükséges értéket, most behelyettesíthetők a képletekbe, és kiszámolhatók a probléma feltétele által igényelt értékek. A következőt kapjuk: S1=0,5236(0,2387)2/2=0,0149 m2, vagy 149cm2; L1=0,52360,2387=0,125 m vagy 12,5 cm.
