A test mozgása a horizonthoz képest szögben: képletek, a repülési távolság és a maximális felszállási magasság kiszámítása

2024 Szerző: Angel Austin | [email protected]. Utoljára módosítva: 2023-12-17 05:29

A mechanikai mozgás fizikában való tanulmányozása során, miután megismerkedtek a tárgyak egyenletes és egyenletesen gyorsított mozgásával, egy testnek a horizonttal szögben bezárt mozgását veszik figyelembe. Ebben a cikkben részletesebben megvizsgáljuk ezt a kérdést.

Mi a test mozgása a horizonthoz képest szögben?

Ez a fajta tárgymozgás akkor fordul elő, amikor egy személy a levegőbe dob egy követ, egy ágyú lövi el az ágyúlabdát, vagy egy kapus kirúg egy futballlabdát a kapuból. A ballisztika tudománya minden ilyen esetet figyelembe vesz.

A tárgyak levegőben való mozgásának említett típusa parabolikus pálya mentén történik. Általános esetben a megfelelő számítások elvégzése nem egyszerű feladat, hiszen figyelembe kell venni a légellenállást, a test repülés közbeni forgását, a Föld forgását a tengelye körül és néhány egyéb tényezőt.

E cikkben ezeket a tényezőket nem vesszük figyelembe, hanem pusztán elméleti szempontból vizsgáljuk meg a kérdést. A kapott képletek azonban elég jókírja le a rövid távolságokon mozgó testek pályáit.

Képletek beszerzése az adott mozgástípushoz

Vezzük le a képleteket a test szögben a horizonthoz való mozgására. Ebben az esetben csak egyetlen, a repülő tárgyra ható erőt vesszük figyelembe - a gravitációt. Mivel függőlegesen lefelé hat (az y tengellyel párhuzamosan és vele szemben), így a mozgás vízszintes és függőleges összetevőit figyelembe véve azt mondhatjuk, hogy az első egyenletes egyenes irányú mozgás karaktere lesz. És a második - ugyanolyan lassú (egyenletesen gyorsított) egyenes vonalú mozgás g gyorsulással. Azaz a sebességkomponensek a v₀ (kezdeti sebesség) és θ (a test mozgási irányának szöge) értéken keresztül a következőképpen lesznek felírva:

v_x=v₀cos(θ)

v_y=v₀sin(θ)-gt

Az első képlet (v_x esetén) mindig érvényes. Ami a másodikat illeti, itt meg kell jegyezni egy árnyalatot: a mínuszjelet a gt szorzat elé csak akkor helyezzük, ha a v₀sin(θ) függőleges komponens felfelé irányul. A legtöbb esetben ez megtörténik, azonban ha egy testet magasról dobunk lefelé, akkor a v_y kifejezésben a g elé egy „+” jelet kell tenni t.

A sebességkomponensek képleteit integrálva az idő függvényében, és figyelembe véve a test repülésének kezdeti h magasságát, megkapjuk a koordináták egyenleteit:

x=v₀cos(θ)t

y=h+v₀sin(θ)t-gt²/2

Repülési távolság kiszámítása

Ha a fizikában figyelembe vesszük egy testnek a horizonthoz való mozgását a gyakorlati felhasználás szempontjából hasznos szögben, akkor kiderül, hogy a repülési távolságot kell kiszámítani. Határozzuk meg.

Mivel ez a mozgás egyenletes, gyorsulás nélküli mozgás, elegendő a repülési időt behelyettesíteni és a kívánt eredményt elérni. A repülési távolságot kizárólag az x tengely mentén történő mozgás határozza meg (a horizonttal párhuzamosan).

A test levegőben töltött ideje kiszámítható az y koordináta nullával való egyenlővé tételével. Nálunk:

0=h+v₀sin(θ)t-gt²/2

Ezt a másodfokú egyenletet a diszkrimináns segítségével oldjuk meg, a következőt kapjuk:

D=b²- 4ac=v₀²sin ²(θ) - 4(-g/2)h=v₀² sin²(θ) + 2gh, t=(-b±√D)/(2a)=(-v₀sin(θ)±√(v₀ ²sin²(θ) + 2gh))/(-2g/2)=

=(v₀sin(θ)+√(v₀² sin²(θ) + 2gh))/g.

Az utolsó kifejezésben egy mínuszjelű gyök el van hagyva annak jelentéktelen fizikai értéke miatt. A t repülési időt behelyettesítve az x kifejezésbe, megkapjuk az l repülési tartományt:

l=x=v₀cos(θ)(v₀sin(θ)+√(v ₀²sin²(θ) + 2gh))/g.

A kifejezés elemzésének legegyszerűbb módja, ha a kezdeti magasságegyenlő nullával (h=0), akkor egy egyszerű képletet kapunk:

l=v ₀²sin(2θ)/g

Ez a kifejezés azt jelzi, hogy a maximális repülési távolság akkor érhető el, ha a testet 45°^o(sin(245^o) )=m1).

Maximális testmagasság

A repülési távolságon kívül hasznos megtalálni azt a talaj feletti magasságot is, amelyre a test fel tud emelkedni. Mivel ezt a fajta mozgást egy parabola írja le, melynek ágai lefelé irányulnak, ezért a maximális emelési magasság a szélső része. Utóbbit úgy számítjuk ki, hogy megoldjuk a derivált egyenletét t-re vonatkoztatva y esetén:

dy/dt=d(h+v₀sin(θ)t-gt²/2)/dt=v₀sin(θ)-gt=0=>

=>t=v₀sin(θ)/g.

Ezt az időt behelyettesítjük az egyenletbe y-val, így kapjuk:

y=h+v₀sin(θ)v₀sin(θ)/g-g(v ₀sin(θ)/g)²/2=h + v₀ ²sin²(θ)/(2g).

Ez a kifejezés azt jelzi, hogy a test a maximális magasságra emelkedik, ha függőlegesen felfelé dobja (sin²(90^o)=1).