Másodpercek, érintők – mindezt több százszor lehetett hallani a geometria órákon. De vége az érettséginek, telnek az évek, és mindez a tudás feledésbe merül. Mire kell emlékezni?
Essence
A "kör érintője" kifejezés valószínűleg mindenki számára ismerős. De nem valószínű, hogy mindenki képes lesz gyorsan megfogalmazni a definícióját. Eközben az érintő egy olyan egyenes, amely egy körrel egy síkban fekszik, és csak egy pontban metszi azt. Nagyon sokféle lehet, de mindegyiknek ugyanazok a tulajdonságai, amelyekről az alábbiakban lesz szó. Ahogy sejtheti, az érintkezési pont az a hely, ahol a kör és az egyenes metszi egymást. Mindegyik esetben egy, de ha több van, akkor szekáns lesz.
A felfedezés és tanulmányozás története
Az érintő fogalma az ókorban jelent meg. Ezeknek az egyeneseknek először körré, majd ellipszisekké, parabolákká és hiperbolákká való építése vonalzó és iránytű segítségével már a geometria fejlődésének kezdeti szakaszában megtörtént. Természetesen a történelem nem őrizte meg a felfedező nevét, denyilvánvaló, hogy az emberek már akkoriban is tisztában voltak a kör érintőjének tulajdonságaival.
A modern időkben ismét fellángolt az érdeklődés e jelenség iránt – új görbék felfedezésével párosult ennek a fogalomnak a tanulmányozásának új köre. Tehát Galileo bevezette a cikloid fogalmát, Fermat és Descartes pedig érintőt épített rá. Ami a köröket illeti, úgy tűnik, ezen a területen nem maradtak titkok a régiek számára.
Tulajdonságok
A metszéspontra húzott sugár merőleges lesz az egyenesre. Ez
a fő, de nem az egyetlen tulajdonsága, amellyel a kör érintője rendelkezik. Egy másik fontos jellemző már két egyenes vonalat foglal magában. Tehát a körön kívül eső ponton keresztül két érintő húzható, miközben a szakaszaik egyenlőek lesznek. Létezik még egy tétel ebben a témában, de egy általános iskolai kurzus keretein belül ritkán foglalkozik vele, bár néhány probléma megoldására rendkívül kényelmes. Ez így hangzik. A körön kívüli pontból egy érintő és egy szekáns húzódik rá. AB, AC és AD szakaszok jönnek létre. A az egyenesek metszéspontja, B az érintkezési pont, C és D a metszéspontok. Ebben az esetben a következő egyenlőség lesz érvényes: a kör érintőjének hossza négyzetesen egyenlő lesz az AC és AD szakaszok szorzatával.
A fentiekből van egy fontos következmény. A kör minden pontjához építhet érintőt, de csak egyet. Ennek bizonyítása meglehetősen egyszerű: elméletileg a sugárból merőlegest ráejtve rájövünk, hogy a képzettháromszög nem létezhet. És ez azt jelenti, hogy az érintő az egyetlen.
Épület
A geometriai problémák mellett általában van egy speciális kategória, nem
szeretik a tanulók és a hallgatók. Az ebből a kategóriából származó feladatok megoldásához csak egy iránytűre és egy vonalzóra van szüksége. Ezek építési feladatok. Vannak módszerek is tangens megszerkesztésére.
Tehát, adott egy kör és egy pont, amely a határain kívül esik. És ezeken keresztül érintőt kell húzni. Hogyan kell csinálni? Először is meg kell rajzolni egy szakaszt az O kör középpontja és egy adott pont közé. Ezután egy iránytű segítségével oszd ketté. Ehhez be kell állítania a sugarat - az eredeti kör középpontja és az adott pont távolságának valamivel több, mint fele. Ezt követően két egymást metsző ívet kell felépíteni. Ezenkívül az iránytű sugarát nem kell megváltoztatni, és a kör minden részének középpontja a kezdőpont és az O lesz. Az ívek metszéspontjait össze kell kötni, ami a szakaszt felére osztja. Állítson be ezzel a távolsággal megegyező sugarat az iránytűn. Ezután úgy, hogy a középpont a metszéspontnál legyen, rajzoljon egy másik kört. A kezdőpont és az O is rajta lesz, ebben az esetben még két metszéspont lesz a feladatban megadott körrel. Ezek lesznek az eredetileg megadott pont érintési pontjai.
Érdekes
A kör érintőinek felépítése vezetett
differenciálszámítás. Az első munka ebben a témában az volta híres német matematikus, Leibniz adta ki. Lehetőséget adott a maximumok, minimumok és érintők meghatározására, függetlenül a tört- és irracionális értékektől. Nos, most sok más számításhoz is használják.
Emellett a kör érintője összefügg az érintő geometriai jelentésével. Innen ered a neve. A tangens latinból fordítva "érintőt" jelent. Így ez a fogalom nemcsak a geometriához és a differenciálszámításhoz kapcsolódik, hanem a trigonometriához is.
Két kör
Az érintő nem mindig csak egy alakzatot érint. Ha egy körre rengeteg egyenes vonal húzható, akkor miért ne fordíthatnánk? Tud. De a feladat ebben az esetben nagyon bonyolult, mert előfordulhat, hogy két kör érintője egyetlen ponton sem megy át, és ezeknek az ábráknak a relatív helyzete nagyon
más.
Típusok és fajták
Ha két körről és egy vagy több vonalról van szó, még ha ismert is, hogy ezek érintők, nem derül ki azonnal, hogy ezek az ábrák hogyan helyezkednek el egymáshoz képest. Ez alapján több fajta létezik. Tehát a köröknek lehet egy vagy két közös pontja, vagy egyáltalán nem. Az első esetben metszik egymást, a másodikban pedig összeérnek. És itt két fajta van. Ha az egyik kör be van ágyazva a másodikba, akkor az érintést belsőnek nevezzük, ha nem, akkor külsőnek. megérteni kölcsönösenAz ábrák elhelyezkedése nem csak a rajz alapján lehetséges, hanem a sugarak összegéről és a középpontjaik távolságáról is. Ha ez a két mennyiség egyenlő, akkor a körök összeérnek. Ha az első nagyobb, akkor metszik egymást, ha pedig kisebb, akkor nincs közös pontjuk.
Ugyanez az egyenes vonalakkal. Bármely két körhöz, amelynek nincs közös pontja,
konstruáljon négy érintőt. Ezek közül kettő metszi egymást az ábrák között, ezeket belsőnek nevezzük. Néhány másik külső.
Ha olyan körökről beszélünk, amelyeknek egy közös pontja van, akkor a feladat jelentősen leegyszerűsödik. A helyzet az, hogy ebben az esetben bármilyen kölcsönös megállapodás esetén csak egy érintőjük lesz. És áthalad a metszéspontjukon. Tehát a nehézség felépítése nem okoz.
Ha az alakzatoknak két metszéspontja van, akkor a kört érintő egyenest lehet építeni számukra, az elsőt és a másodikat is, de csak a külsőt. A probléma megoldása hasonló az alábbiakban tárgy althoz.
Problémamegoldás
Két kör belső és külső érintőit sem olyan egyszerű megszerkeszteni, bár ez a probléma megoldható. A helyzet az, hogy ehhez egy segédfigurát használnak, ezért gondolja át ezt a módszert
elég problémás. Tehát adott két különböző sugarú, O1 és O2 középpontú kör. Számukra két érintőpárt kell összeállítania.
Először is, közel a nagyobb központhozköröket kell kisegítőként építeni. Ebben az esetben az iránytűn meg kell állapítani a két kezdő szám sugara közötti különbséget. A segédkör érintőit a kisebb kör középpontjából építjük fel. Ezután az O1-ből és az O2-ből merőlegeseket húzunk ezekre az egyenesekre, amíg nem metszik egymást az eredeti ábrákkal. Amint az érintő fő tulajdonságából következik, mindkét körön megtalálhatók a kívánt pontok. A probléma megoldva, legalábbis az első része.
A belső érintők megszerkesztéséhez gyakorlatilag meg kell oldanod
hasonló feladat. Ismét szükség van egy segédfigurára, de ezúttal a sugara megegyezik az eredetiek összegével. Az egyik adott kör középpontjából érintőket szerkesztünk hozzá. A megoldás további menete az előző példából érthető.
Egy kör, vagy akár kettő vagy több érintője nem olyan nehéz feladat. Természetesen a matematikusok már régóta nem oldják meg az ilyen problémákat kézzel, és a számításokat speciális programokra bízzák. De ne gondolja, hogy most nem szükséges, hogy meg tudja csinálni, mert ahhoz, hogy helyesen fogalmazzon meg egy feladatot a számítógép számára, sokat kell tennie és meg kell értenie. Sajnos félő, hogy a tudásellenőrzés tesztformájára való végleges átállás után az építési feladatok egyre több nehézséget okoznak majd a tanulóknak.
Ami több kör közös érintőjét illeti, ez nem mindig lehetséges, még akkor sem, ha egy síkban fekszenek. De bizonyos esetekben előfordulhat ilyen egyenes is.
Életpéldák
A gyakorlatban gyakran találkozhatunk két kör közös érintőjével, bár ez nem mindig észrevehető. Szállítószalagok, blokkrendszerek, szíjtárcsás hajtószíjak, szálfeszesség a varrógépben, és még csak egy kerékpárlánc is – ezek mind példák az életből. Ne gondolja tehát, hogy a geometriai problémák csak elméletben maradnak: a mérnöki, a fizikai, az építőipari és sok más területen gyakorlati alkalmazásra találnak.
