Lehetetlen azt állítani, hogy ismeri a matematikát, ha nem tudja, hogyan kell grafikonokat ábrázolni, egyenlőtlenségeket rajzolni egy koordinátaegyenesre és dolgozni koordinátatengelyekkel. A vizuális komponens létfontosságú a tudományban, mert képletek és számítások vizuális példái nélkül néha nagyon összezavarodhat. Ebben a cikkben látni fogjuk, hogyan kell dolgozni koordinátatengelyekkel, és megtanuljuk, hogyan készítsünk egyszerű függvénygrafikonokat.
Alkalmazás
A koordinátavonal a legegyszerűbb grafikontípusok alapja, amelyekkel a tanuló találkozik oktatási útján. Szinte minden matematikai témában alkalmazzák: sebesség és idő számításánál, objektumok méretének vetítésénél és területük kiszámításánál, trigonometriában szinuszokkal és koszinuszokkal végzett munka során.
Egy ilyen közvetlen vonal fő értéke a láthatóság. Mivel a matematika olyan tudomány, amely magas szintű absztrakt gondolkodást igényel, a grafikonok segítenek egy objektum valós világbeli ábrázolásában. Hogyan viselkedik? A tér mely pontján lesz apár másodperc, perc, óra? Mi mondható el róla más tárgyakkal összehasonlítva? Mekkora a sebessége egy véletlenszerűen kiválasztott időpontban? Hogyan jellemezhető a mozgása?
És okkal beszélünk a sebességről – ezt gyakran függvénygrafikonok jelenítik meg. Ezenkívül képesek megjeleníteni az objektumon belüli hőmérséklet vagy nyomás változásait, méretét, tájolását a horizonthoz képest. Így a koordinátaegyenes felépítése gyakran szükséges a fizikában is.
Egydimenziós grafikon
Van egy koncepció a többdimenziósságnak. Az egydimenziós térben mindössze egy szám elegendő egy pont helyének meghatározásához. Pontosan ez a helyzet a koordinátaegyenes használatával. Ha a tér kétdimenziós, akkor két szám szükséges. Az ilyen típusú diagramokat sokkal gyakrabban használják, és a cikk későbbi részében minden bizonnyal foglalkozunk velük.
Mit láthatunk a pontok segítségével a tengelyen, ha csak egy tengely van? Láthatja az objektum méretét, a térbeli helyzetét valamilyen "nullához", azaz a referenciapontnak választott ponthoz képest.
A paraméterek időbeli változása nem lesz látható, mivel az összes leolvasás egy adott pillanatban megjelenik. Valahol azonban el kell kezdeni! Tehát kezdjük.
Hogyan készítsünk koordinátatengelyt
Először is húznia kell egy vízszintes vonalat – ez lesz a tengelyünk. A jobb oldalon „élesítse meg” úgy, hogy úgy nézzen ki, mint egy nyíl. Így jelezni fogjuk a számok irányátnövekedés. Lefelé irányuló irányban a nyíl általában nincs elhelyezve. Hagyományosan a tengely jobbra mutat, ezért csak ezt a szabályt fogjuk követni.
Állítsunk be egy nulla pontot, amely a koordináták origóját fogja megjeleníteni. Ez az a hely, ahonnan a visszaszámlálás történik, legyen szó méretről, súlyról, sebességről vagy bármi másról. A nulla mellett feltétlenül ki kell jelölnünk az úgynevezett osztási árat, azaz be kell vezetnünk egy mértékegységszabványt, aminek megfelelően bizonyos mennyiségeket a tengelyen ábrázolunk. Ezt meg kell tenni annak érdekében, hogy meg tudjuk találni a szakasz hosszát a koordináta egyenesen.
Egymástól egyenlő távolságban tegyen pontokat vagy "bevágásokat" a vonalra, és írja alá az 1-et, 2-t, 3-at stb. És most minden készen áll. De az így kapott ütemezés mellett még meg kell tanulnia dolgozni.
A koordinátaegyenes pontjainak típusai
A tankönyvekben javasolt rajzokra első ránézésre világossá válik: a tengelyen lévő pontok kitölthetők vagy nem. Szerinted ez véletlen? Egyáltalán nem! A "szilárd" pont a nem szigorú egyenlőtlenséghez használatos – egy olyan, amely "nagyobb vagy egyenlő, mint". Ha szigorúan korlátoznunk kell az intervallumot (például az "x" értéket vehet fel nulláról egyre, de nem tartalmazza), akkor "üreges" pontot használunk, ami valójában egy kis kör. a tengelyen. Megjegyzendő, hogy a diákok nem igazán szeretik a szigorú egyenlőtlenségeket, mert nehezebb velük dolgozni.
Attól függően, hogy melyik ponthasználja a diagramon, akkor a beépített intervallumok is meghívásra kerülnek. Ha az egyenlőtlenség mindkét oldalon nem szigorú, akkor szegmenst kapunk. Ha egyrészt kiderül, hogy „nyitott”, akkor azt félintervallumnak nevezik. Végül, ha egy vonal egy részét mindkét oldalon üreges pontok határolják, akkor azt intervallumnak nevezzük.
Repülő
A koordinátasíkon két egyenes felépítésénél már figyelembe vehetjük a függvények grafikonjait. Tegyük fel, hogy a vízszintes vonal az időtengely, a függőleges vonal pedig a távolság. És most már meg tudjuk határozni, hogy a tárgy mekkora távolságot tesz meg egy perc vagy egy óra utazás alatt. Így a síkkal végzett munka lehetővé teszi egy objektum állapotváltozásának nyomon követését. Ez sokkal érdekesebb, mint egy statikus állapot feltárása.
A legegyszerűbb gráf egy ilyen síkon egy egyenes, amely az Y(X)=aX + b függvényt tükrözi. Meghajlik a vonal? Ez azt jelenti, hogy az objektum megváltoztatja jellemzőit a vizsgálat során.
Képzeld el, hogy egy épület tetején állsz, és egy követ tart a kinyújtott kezedben. Amikor elengeded, lerepül, és nulla sebességről indul. De egy másodperc alatt 36 kilométer per órás sebességet fog leküzdeni. A kő tovább fog gyorsulni, és ahhoz, hogy a térképen megrajzolhassa mozgását, több időpontban meg kell mérnie a sebességét úgy, hogy a tengelyen a megfelelő helyeken pontokat állít be.
A vízszintes koordinátavonalon lévő jelölések neve X1, X2, X3, a függőlegesen pedig Y1, Y2, Y3. kivetítőőket a síkra és találva a metszéspontokat, megtaláljuk a kapott minta töredékeit. Ezeket egy vonallal összekötve a függvény grafikonját kapjuk. Leeső kő esetén a másodfokú függvény így fog kinézni: Y(X)=aXX + bX + c.
Skála
Természetesen nem szükséges egész értékeket egyenes vonallal osztások mellé tenni. Ha egy 0,03 méter/perc sebességgel kúszó csiga mozgását fontolgatja, állítsa be értékként a koordinátatörtben. Ebben az esetben állítsa a skálaértéket 0,01 méterre.
Különösen kényelmes az ilyen rajzokat ketrecben lévő notebookban elkészíteni - itt azonnal láthatja, hogy van-e elég hely a lapon a diagram számára, ha túllép a margókon. Nem nehéz kiszámítani az erejét, mert egy ilyen notebook cellájának szélessége 0,5 centiméter. Elvette – csökkentette a képet. A diagram léptékének módosítása nem eredményezi a diagram elvesztését vagy tulajdonságainak megváltoztatását.
Pont- és szakaszkoordináták
Ha egy leckében egy matematikai feladatot adnak meg, az különféle geometriai alakzatok paramétereit tartalmazhatja oldalhossz, kerület, terület és koordináták formájában. Ebben az esetben előfordulhat, hogy létre kell hoznia egy alakzatot, és hozzá kell rendelnie néhány adatot. Felmerül a kérdés: hogyan lehet megtalálni a szükséges információkat a koordinátavonalon? És hogyan építsünk formát?
Például egy pontról beszélünk. Ekkor egy nagybetű jelenik meg a feladat feltételében, és több szám jelenik meg zárójelben, leggyakrabban kettő (ez azt jelenti, hogy kétdimenziós térben fogunk számolni). Ha három szám van zárójelben, pontosvesszővel vagy vesszővel elválasztva, akkor ez egy háromdimenziós tér. Mindegyik érték egy koordináta a megfelelő tengelyen: először a vízszintes (X), majd a függőleges (Y) mentén.
Emlékszel, hogyan kell szakaszt rajzolni? Átadtad a geometriát. Ha két pont van, akkor közöttük vonal húzható. A koordinátáikat zárójelben jelöljük, ha a feladatban szegmens jelenik meg. Például: A(15, 13) - B(1, 4). Egy ilyen vonal felépítéséhez meg kell találni és meg kell jelölni a pontokat a koordinátasíkon, majd összekapcsolni őket. Ez az!
És minden sokszög, mint tudod, megrajzolható szegmensekkel. A probléma megoldva.
Számítások
Tegyük fel, hogy van olyan objektum, amelynek helyzetét az X tengely mentén két számmal jellemezzük: a (-3) koordinátájú pontnál kezdődik és (+2) pontban ér véget. Ha meg akarjuk tudni ennek az objektumnak a hosszát, akkor a kisebb számot ki kell vonnunk a nagyobb számból. Ne feledje, hogy a negatív szám elnyeli a kivonás előjelét, mert "a mínusz szor a mínusz egyenlő pluszral." Tehát összeadjuk (2+3) és 5-öt kapunk. Ez a szükséges eredmény.
Másik példa: megadjuk az objektum végpontját és hosszát, de a kezdőpontot nem (és meg kell találnunk). Legyen az ismert pont helyzete (6), a vizsgált objektum mérete pedig (4). A hosszúságot a végső koordinátából kivonva megkapjuk a választ. Összesen: (6-4)=2.
Negatív számok
A gyakorlatban gyakran szükséges negatív értékekkel dolgozni. Ebben az esetben megtesszükmozgassa balra a koordinátatengely mentén. Például egy 3 centiméter magas tárgy lebeg a vízben. Egyharmada folyadékba, kétharmada levegőbe merül. Ezután a vízfelületet tengelynek választva a legegyszerűbb számtani számításokkal két számot kapunk: az objektum felső pontjának koordinátája (+2), az alsóé pedig -1 centiméter.
Könnyen belátható, hogy egy sík esetében a koordináta egyenes négynegyede van. Mindegyiknek megvan a maga száma. Az első (jobb felső) részben két pozitív koordinátájú pontok lesznek, a másodikban - a bal felső sarokban - az X tengely értékei negatívak, az Y tengely mentén pedig pozitívak. A harmadik és a negyedik az óramutató járásával ellentétes irányban tovább számít.
Fontos tulajdonság
Tudja, hogy egy vonal végtelen számú pontként ábrázolható. A tengely minden irányában tetszőleges számú értéket megtekinthetünk, de ismétlődőkkel nem fogunk találkozni. Naivnak és érthetőnek tűnik, de ez az állítás egy fontos tényből fakad: minden szám csak egy pontnak felel meg a koordináta egyenesen.
Következtetés
Ne feledje, hogy minden tengelyt, ábrát és, ha lehetséges, grafikát vonalzóra kell építeni. A mértékegységeket nem véletlenül találta ki az ember – ha hibát követ el a rajzolás során, fennáll annak a veszélye, hogy más képet fog látni, mint amilyennek lennie kellett volna.
Legyen óvatos és pontos az ábrázolás és a számítások során. Mint minden iskolában tanult tudomány, a matematika is szereti a pontosságot. Tegyél egy kis erőfeszítést, és jóaz értékelések nem sokáig várnak.
