A sztereometria tanulmányozása során az egyik fő téma a "Cylinder". Az oldalfelületet ha nem is főnek, de fontos képletnek tekintjük a geometriai feladatok megoldásában. Fontos azonban megjegyezni a definíciókat, amelyek segítenek eligazodni a példákban és a különféle tételek bizonyításakor.
Henger koncepció
Először is meg kell fontolnunk néhány definíciót. Csak azok tanulmányozása után lehet mérlegelni a henger oldalfelületének területének képletét. E bejegyzés alapján más kifejezések is kiszámíthatók.
- A hengeres felület alatt egy generatrix által leírt síkot értünk, amely egy adott iránnyal párhuzamosan mozog és egy meglévő görbe mentén csúszik.
- Van egy második definíció is: a hengeres felületet egy adott görbét metsző párhuzamos egyenesek halmaza alkotja.
- A generatív kifejezést hagyományosan a henger magasságának nevezik. Amikor az alap közepén áthaladó tengely körül mozog,megkapjuk a kijelölt geometriai testet.
- A tengely alatt az ábra mindkét alapján áthaladó egyenest értjük.
- A henger egy sztereometrikus test, amelyet egy metsző oldalfelület és 2 párhuzamos sík határol.
Változatai vannak ennek a háromdimenziós figurának:
- A kör alakú egy henger, amelynek vezetője egy kör. Fő összetevői az alap sugara és a generatrix. Ez utóbbi egyenlő az ábra magasságával.
- Egyenes henger van. Nevét a generatrixnak az ábra alapjaira való merőlegessége miatt kapta.
- A harmadik típus a ferde henger. A tankönyvekben más nevet is találhat - "kör alakú henger ferde alappal". Ez az ábra határozza meg az alap sugarát, a minimális és maximális magasságot.
- Egyenlő oldalú henger alatt olyan testet értünk, amelynek magassága és átmérője egyforma kör alakú.
Szimbólumok
Hagyományosan a henger fő "alkatrészeit" a következőképpen hívják:
- Az alap sugara R (a sztereometrikus alakzat ugyanazt az értékét is helyettesíti).
- Generatív – L.
- Magasság – H.
- Alapterület - Sbázis (más szóval, meg kell találnia a megadott körparamétert).
- Félezett hengermagasságok – h1, h2(minimum és maximum).
- Oldalfelület - Soldal (ha kibővíted, megkapodegyfajta téglalap).
- Egy sztereometrikus alak hangereje - V.
- Teljes terület – S.
Egy sztereometrikus ábra „összetevői”
A henger tanulmányozásakor az oldalsó felület fontos szerepet játszik. Ez annak köszönhető, hogy ez a képlet több más, összetettebb képletben is szerepel. Ezért az elméletben jártasnak kell lennie.
Az ábra fő összetevői:
- Oldalfelület. Tudniillik a generatrix adott görbe mentén történő mozgása miatt jön létre.
- A teljes felület tartalmazza a meglévő alapokat és oldalsíkot.
- A henger metszete általában egy téglalap, amely párhuzamos az ábra tengelyével. Egyébként repülőgépnek hívják. Kiderült, hogy a hosszúság és a szélesség más figurák részmunkaidős összetevői. Tehát feltételesen a szakasz hossza generátor. Szélesség – egy sztereometrikus alakzat párhuzamos húrjai.
- Axiális metszet a test közepén áthaladó sík elhelyezkedését jelenti.
- És végül a végső meghatározás. Az érintő az a sík, amely áthalad a henger generatrixán és merőleges a tengelymetszetre. Ebben az esetben egy feltételnek kell teljesülnie. A megadott generátornak szerepelnie kell a tengelyirányú metszet síkjában.
Alapképletek a hengerrel végzett munkához
Ahhoz, hogy megválaszoljuk azt a kérdést, hogyan lehet megtalálni a henger felületét, tanulmányozni kell a sztereometrikus ábra fő "összetevőit" és a megtalálásukra szolgáló képleteket.
Ezek a képletek abban különböznek egymástól, hogy először a ferde hengerre, majd az egyenesre vonatkozó kifejezéseket adjuk meg.
Dekonstruált példák
1. feladat.
Tudni kell a henger oldalfelületének területét. Az AC=8 cm metszet átlója adott (ráadásul tengelyirányú). Amikor kapcsolatba kerül a generátorral, kiderül, hogy <ACD=30°
Döntés. Mivel az átló és a szög értéke ismert, akkor ebben az esetben:
CD=ACcos 30°
Megjegyzés. Az ACD háromszög ebben a konkrét példában derékszögű háromszög. Ez azt jelenti, hogy a CD és AC osztásának hányadosa=az adott szög koszinusza. A trigonometrikus függvények értéke egy speciális táblázatban található.
Hasonlóan megtalálhatja az AD értékét:
AD=ACsin 30°
Most ki kell számítania a kívánt eredményt a következő formulával: a henger oldalsó felületének területe megegyezik a "pi", az ábra sugarának és magasságának szorzatának kétszeresével. Egy másik képletet is kell használni: a henger alapterületét. Ez egyenlő a "pi" és a sugár négyzetének szorzatával. És végül az utolsó képlet: teljes felület. Ez egyenlő az előző két terület összegével.
2. feladat.
A hengerek adottak. Térfogatuk=128n cm³. Melyik hengernek van a legkisebbteljes felület?
Döntés. Először a képleteket kell használnia egy alak térfogatának és magasságának meghatározásához.
Mivel egy henger teljes felülete elméletből ismert, a képletét kell alkalmazni.
Ha a kapott képletet a henger területének függvényének tekintjük, akkor a minimális "mutatót" a szélsőponton érjük el. Az utolsó érték meghatározásához differenciálást kell használnia.
A képletek egy speciális táblázatban tekinthetők meg a származékok megtalálásához. A jövőben a talált eredményt nullával egyenlővé tesszük, és az egyenlet megoldását megtaláljuk.
Válasz: Smin a h=1/32 cm-nél, R=64 cm-nél érhető el.
3. probléma.
Adott egy sztereometrikus ábra – egy henger és egy metszet. Ez utóbbit úgy hajtják végre, hogy párhuzamosan helyezkedjen el a sztereometrikus test tengelyével. A henger a következő paraméterekkel rendelkezik: VK=17 cm, h=15 cm, R=5 cm Meg kell találni a metszet és a tengely közötti távolságot.
Döntés.
Mivel a henger keresztmetszete VSCM, azaz téglalap, oldala VM=h. A WMC-t figyelembe kell venni. A háromszög téglalap alakú. Ebből az állításból következtethetünk arra a helyes feltételezésre, hogy MK=BC.
VK²=VM² + MK²
MK²=VK² - VM²
MK²=17² - 15²
MK²=64
MK=8
Ebből azt a következtetést vonhatjuk le, hogy MK=BC=8 cm.
A következő lépés egy metszet rajzolása az ábra alján keresztül. Figyelembe kell venni az eredményül kapott síkot.
AD – egy sztereometrikus alakzat átmérője. Párhuzamos a problémameghatározásban említett szakasszal.
A BC egy egyenes, amely a meglévő téglalap síkján helyezkedik el.
ABCD egy trapéz. Egy adott esetben egyenlő szárúnak tekintjük, mivel egy kör van körülírva.
Ha megtalálja a kapott trapéz magasságát, megkaphatja a feladat elején megadott választ. Nevezetesen: a tengely és a megrajzolt metszet közötti távolság megállapítása.
Ehhez meg kell találnia az AD és az OS értékeit.
Válasz: a szakasz a tengelytől 3 cm-re található.
Problémák az anyag összevonásával
1. példa.
Henger adott. A további megoldásnál az oldalsó felületet használjuk fel. Egyéb lehetőségek ismertek. Az alap területe Q, az axiális szakasz területe M. Meg kell találni S-t. Más szóval, a henger teljes területe.
2. példa.
Henger adott. Az oldalfelületet a probléma megoldásának egyik lépésében meg kell találni. Ismeretes, hogy magasság=4 cm, sugár=2 cm. Meg kell találni egy sztereometrikus ábra teljes területét.
