A matematika vizsgára való felkészülés során a tanulóknak rendszerezniük kell algebrai és geometriai ismereteiket. Szeretnék az összes ismert információt egyesíteni, például a piramis területének kiszámításáról. Sőt, az alap- és oldalfelülettől kezdve a teljes felületig. Ha az oldallapokkal egyértelmű a helyzet, mivel ezek háromszögek, akkor az alap mindig más.
Hogyan találjuk meg a piramis alapterületét?
Teljesen bármilyen alakú lehet: tetszőleges háromszögtől n-szögűig. Ez az alap pedig a szögek számának különbségén kívül lehet szabályos vagy hibás ábra. Az iskolások érdeklődésére számot tartó USE feladatokban csak a megfelelő számjegyekkel ellátott feladatok vannak az alapon. Ezért csak róluk fogunk beszélni.
Szabályos háromszög
Ez egyenlő oldalú. Olyan, amelyben minden oldal egyenlő, és "a" betűvel jelöljük. Ebben az esetben a piramis alapterületét a következő képlettel számítjuk ki:
S=(a2√3) / 4.
négyzet
A terület kiszámításának képlete a legegyszerűbb,itt az "a" ismét az oldal:
S=a2.
Tetszőleges szabályos n-gon
A sokszög oldalának ugyanaz a jelölése. A sarkok számánál a latin n betűt használjuk.
S=(na2) / (4tg (180º/n)).
Hogyan kell kiszámítani az oldalsó és a teljes felületet?
Mivel az alap egy szabályos alak, a piramis minden oldala egyenlő. Ráadásul mindegyik egyenlő szárú háromszög, mivel az oldalélek egyenlőek. Ezután a piramis oldalsó területének kiszámításához egy képletre van szüksége, amely azonos monomok összegéből áll. A tagok számát az alap oldalainak száma határozza meg.
Egy egyenlő szárú háromszög területét az a képlet számítja ki, amelyben az alap szorzatának felét megszorozzuk a magassággal. Ezt a magasságot a piramisban apotémnek nevezik. Megjelölése "A". Az oldalsó felület általános képlete:
S=½ PA, ahol P a piramis alapjának kerülete.
Vannak olyan helyzetek, amikor az alap oldalai nem ismertek, de az oldalélek (c) és a csúcsánál lévő lapos szög (α) adottak. Ezután ezt a képletet kell használni a piramis oldalfelületének kiszámításához:
S=n/2in2 sin α.
1. probléma
Állapot. Határozza meg a piramis teljes területét, ha az alapja egy egyenlő oldalú háromszög, amelynek oldala 4 cm, és az apotéma √3 cm.
Döntés. ÖvéAz alap kerületének kiszámításával kell kezdenie. Mivel ez egy szabályos háromszög, akkor P \u003d 34 \u003d 12 cm. Mivel az apotém ismert, azonnal kiszámolhatja a teljes oldalfelület területét: ½12√3=6 √3 cm 2.
Az alapnál lévő háromszög esetében a következő területértéket kapja: (42√3) / 4=4√3 cm2.
A teljes terület meghatározásához össze kell adni a két eredményül kapott értéket: 6√3 + 4√3=10√3 cm2.
Válasz. 10√3cm2.
2. probléma
Állapot. Van egy szabályos négyszög alakú piramis. Az alap oldalának hossza 7 mm, oldaléle 16 mm. Ismernie kell a felületét.
Döntés. Mivel a poliéder négyszög alakú és szabályos, így alapja négyzet. Miután megtanulta az alap- és oldalfelületek területét, kiszámítható a piramis területe. A négyzet képlete fent található. Az oldallapoknál pedig a háromszög minden oldala ismert. Ezért használhatja Heron képletét a területük kiszámításához.
Az első számítások egyszerűek, és ehhez a számhoz vezetnek: 49 mm2. A második értékhez ki kell számítania a fél kerületet: (7 + 162): 2=19,5 mm. Most kiszámolhatja egy egyenlő szárú háromszög területét: √(19.5(19.5-7)(19.5-16)2)=√2985.9375=54.644 mm 2. Csak négy ilyen háromszög van, ezért a végső szám kiszámításakor meg kell szoroznia 4-gyel.
Kiderült: 49 + 454, 644=267, 576 mm2.
Válasz. Kívánt érték 267, 576mm2.
3-as probléma
Állapot. Egy szabályos négyszög alakú piramishoz ki kell számítani a területet. Ismeri a négyzet oldalát - 6 cm és magasságát - 4 cm.
Döntés. A legegyszerűbb a képletet a kerület és az apotém szorzatával használni. Az első értéket könnyű megtalálni. A második egy kicsit nehezebb.
Emlékeznünk kell a Pitagorasz-tételre, és figyelembe kell venni egy derékszögű háromszöget. A piramis magassága és az apotém alkotja, amely a hipotenusz. A második láb egyenlő a négyzet oldalának felével, mivel a poliéder magassága a közepébe esik.
A kívánt apotém (egy derékszögű háromszög hipotenúza) √(32 + 42)=5 (cm).
Most kiszámolhatja a szükséges értéket: ½(46)5+62=96 (lásd:2).
Válasz. 96 cm2.
4-es probléma
Állapot. Adott egy szabályos hatszögletű piramis. Alapjának oldalai 22 mm, oldalbordái 61 mm. Mekkora ennek a poliédernek az oldalfelülete?
Döntés. A benne lévő indoklás megegyezik a 2. számú feladatnál leírtakkal. Csak ott kapott egy piramist, amelynek alapja négyzet, most pedig hatszög.
Először is, az alap területét a fenti képlet alapján számítjuk ki: (6222) / (4tg (180º/6))=726/(tg30º)=726 √3 cm2.
Most meg kell találnia egy egyenlő szárú háromszög fél kerületét, amely az oldallap. (22 + 612): 2 \u003d 72 cm. Még ki kell számítani minden ilyen terület területétháromszöget, majd szorozd meg hattal, és add hozzá az alaphoz tartozóhoz.
Számítás Heron képletével: √(72(72-22)(72-61)2)=√435600=660 cm2 . Az oldalfelületet megadó számítások: 6606=3960 cm2. A teljes felület kiderítéséhez össze kell adni őket: 5217, 47≈5217 cm2.
Válasz. Alap - 726√3cm2, oldalfelület - 3960cm2, teljes terület - 5217cm2.
