Az életben gyakran szembesülünk azzal, hogy felmérjük egy esemény bekövetkezésének esélyeit. Megéri-e sorsjegyet venni vagy sem, mi lesz a harmadik gyermek neme a családban, derült-e az idő holnap, vagy ismét esni fog - számtalan példa van ilyenre. A legegyszerűbb esetben el kell osztani a kedvező kimenetelek számát az események teljes számával. Ha 10 nyerőszelvény van a lottón, és összesen 50, akkor a nyeremény megszerzésének esélye 10/50=0,2, azaz 20 a 100 ellen. összefüggő? Ebben az esetben már nem az egyszerű, hanem a feltételes valószínűségre leszünk kíváncsiak. Mi ez az érték és hogyan számítható ki - erről cikkünkben lesz szó.
Koncepció
A feltételes valószínűség egy adott esemény bekövetkezésének esélye, feltéve, hogy egy másik kapcsolódó esemény már megtörtént. Vegyünk egy egyszerű példát aérme feldobása. Ha még nem született döntetlen, akkor ugyanannyi az esély a fejek vagy a farok megszerzésére. De ha az érme egymás után ötször felfelé feküdt címerrel, akkor egyezzen bele, hogy egy ilyen eredmény 6., 7. és még inkább 10. megismétlésére számítson logikátlan. Minden ismételt fejléccel nő a farok megjelenésének esélye, és előbb-utóbb kiesik.
Feltételes valószínűségi képlet
Nézzük meg, hogyan számítják ki ezt az értéket. Jelöljük az első eseményt B-vel, a másodikat A-val. Ha B előfordulási esélye különbözik nullától, akkor a következő egyenlőség lesz érvényes:
P (A|B)=P (AB) / P (B), ahol:
- P (A|B) – A kimenetel feltételes valószínűsége;
- P (AB) - az A és B események együttes előfordulásának valószínűsége;
- P (B) – a B esemény valószínűsége.
Ezt az arányt kissé átalakítva P (AB)=P (A|B)P (B) kapjuk. És ha az indukciós módszert alkalmazzuk, akkor levezethetjük a szorzatképletet, és tetszőleges számú eseményre használhatjuk:
P (A1, A2, A3, …A p )=P (A1|A2…Ap )P(A 2|A3…Ap)P (A 3|A 4…Ap)… R (Ap-1 |Ap)R (Ap).
Gyakorlás
Az esemény feltételes valószínűségének kiszámításának megkönnyítése érdekében nézzünk meg néhány példát. Tegyük fel, hogy van egy váza, amely 8 csokoládét és 7 mentát tartalmaz. Egyforma méretűek és véletlenszerűek.közülük kettőt egymás után kihúznak. Mennyi az esélye, hogy mindkettő csokis lesz? Vezessük be a jelölést. Az A eredmény azt jelenti, hogy az első cukorka csokoládé, a B eredmény pedig a második csokoládécukor. Ezután a következőt kapja:
P (A)=P (B)=8/15, P (A|B)=P (B|A)=7/14=1/2, P (AB)=8/15 x 1/2=4/15 ≈ 0, 27
Vegyünk még egy esetet. Tegyük fel, hogy van egy kétgyermekes család, és tudjuk, hogy legalább az egyik gyermek lány.
Mekkora a feltételes valószínűsége annak, hogy ezeknek a szülőknek még nincs fiújuk? Az előző esethez hasonlóan most is a jelöléssel kezdjük. Legyen P(B) annak a valószínűsége, hogy legalább egy lány van a családban, P(A|B) annak a valószínűsége, hogy a második gyermek is lány, P(AB) annak az esélye, hogy két lány van a családban. a család. Most végezzük el a számításokat. Összesen 4 különböző kombinációja lehet a gyerekek nemének, és ebben az esetben csak egy esetben (ha két fiú van a családban) nem lesz lány a gyerekek között. Ezért a valószínűség P (B)=3/4, és P (AB)=1/4. Ezután a képletünket követve a következőt kapjuk:
P (A|B)=1/4: 3/4=1/3.
Az eredmény a következőképpen értelmezhető: ha nem tudnánk az egyik gyerek nemét, akkor két lány esélye 25 a 100 ellen. De mivel tudjuk, hogy egy gyerek lány, a annak valószínűsége, hogy a fiúk családja nem, egyharmadára nő.
