A gyakorlatban gyakran merülnek fel olyan feladatok, amelyek megkövetelik a különböző formájú geometriai alakzatok metszeteinek felépítését és a metszetterületek meghatározását. Ebben a cikkben megvizsgáljuk, hogyan épülnek fel a prizma, a gúla, a kúp és a henger fontos szakaszai, és hogyan lehet kiszámítani a területüket.
3D figurák
A sztereometriából ismert, hogy egy abszolút bármilyen típusú háromdimenziós alakzatot számos felület korlátoz. Például az olyan poliédereknél, mint a prizma és a gúla, ezek a felületek a sokszög oldalai. Henger és kúp esetében hengeres és kúpos alakzatok forgásfelületéről beszélünk.
Ha egy síkot veszünk, és tetszőlegesen metszünk egy háromdimenziós alakzat felületét, akkor metszetet kapunk. Területe megegyezik a sík azon részének területével, amely az ábra térfogatán belül lesz. Ennek a területnek a minimális értéke nulla, ami akkor realizálódik, amikor a sík hozzáér az ábrához. Például egyetlen pontból álló szakaszt kapunk, ha a sík egy gúla vagy kúp tetején halad át. A keresztmetszeti terület maximális értéke attól függaz ábra és a sík egymáshoz viszonyított helyzete, valamint az ábra alakja és mérete.
Az alábbiakban megvizsgáljuk, hogyan lehet kiszámítani a formált metszetek területét két forgásalak (henger és kúp) és két poliéder (gúla és prizma) esetén.
Cylinder
A körhenger egy téglalap bármely oldala körüli forgási alakja. A hengert két lineáris paraméter jellemzi: r alapsugár és h magasság. Az alábbi diagram azt mutatja, hogyan néz ki egy kör alakú egyenes henger.
Három fontos szakasztípus létezik ehhez az ábrához:
- kör;
- téglalap alakú;
- elliptikus.
Elliptikus alakzat úgy alakul ki, hogy a sík az ábra oldalfelületét az alapjához képest bizonyos szögben metszi. A kerek az oldalfelület vágási síkjának a henger alapjával párhuzamos metszéspontjának eredménye. Végül egy téglalap alakút kapunk, ha a vágási sík párhuzamos a henger tengelyével.
A kör alakú terület kiszámítása a következő képlettel történik:
S1=pir2
A henger tengelyén átmenő tengelyirányú, azaz téglalap alakú szakasz területét a következőképpen határozzuk meg:
S2=2rh
Kúpszelvények
A kúp egy derékszögű háromszög forgási alakja az egyik láb körül. A kúpnak egy teteje és egy kerek alja van. Paraméterei az r sugár és a h magasság is. Az alábbiakban egy papírkúp példája látható.
Többféle kúpszelvény létezik. Soroljuk fel őket:
- kör;
- elliptikus;
- parabolikus;
- hiperbolikus;
- háromszögletű.
Egymást felváltják, ha növeli a vágósík dőlésszögét a kerek alaphoz képest. A legegyszerűbb módja a kör és a háromszög keresztmetszeti területének képleteinek felírása.
Kúpos felület és az alappal párhuzamos sík metszéspontja következtében körmetszet keletkezik. Területére a következő képlet érvényes:
S1=pir2z2/h 2
Itt z az ábra teteje és a kialakított szakasz közötti távolság. Látható, hogy ha z=0, akkor a sík csak a csúcson halad át, így az S1 terület nullával egyenlő lesz. z < h óta a vizsgált szakasz területe mindig kisebb lesz, mint az alapértéke.
Háromszöget akkor kapunk, ha a sík a forgástengelye mentén metszi az ábrát. A kapott szakasz alakja egyenlő szárú háromszög lesz, amelynek oldalai az alap átmérője és a kúp két generátora. Hogyan találjuk meg a háromszög keresztmetszeti területét? A válasz erre a kérdésre a következő képlet lesz:
S2=rh
Ezt az egyenlőséget úgy kapjuk meg, hogy egy tetszőleges háromszög területének képletét alkalmazzuk az alapja és magassága mentén.
Prizma szakaszok
A prizma az ábrák nagy csoportja, amelyet két azonos, egymással párhuzamos sokszögalap jelenléte jellemez,paralelogrammákkal összekapcsolva. A prizma bármely szakasza sokszög. Tekintettel a vizsgált alakzatok sokféleségére (ferde, egyenes, n-szögű, szabályos, homorú prizma), metszeteik változatossága is nagy. Az alábbiakban csak néhány speciális esetet veszünk figyelembe.
Ha a vágási sík párhuzamos az alappal, akkor a prizma keresztmetszete megegyezik ennek az alapfelülettel.
Ha a sík átmegy a két alap geometriai középpontján, azaz párhuzamos az ábra oldaléleivel, akkor a metszetben paralelogramma keletkezik. Egyenes és szabályos prizmák esetén a figyelembe vett metszetnézet egy téglalap lesz.
Piramis
A piramis egy másik poliéder, amely egy n-szögből és n háromszögből áll. Az alábbiakban egy háromszög alakú piramis példája látható.
Ha a metszetet az n-szögű alappal párhuzamos sík húzza meg, akkor alakja pontosan megegyezik az alap alakjával. Egy ilyen szakasz területét a következő képlettel számítjuk ki:
S1=So(h-z)2/h 2
Ahol z az alap és a metszetsík távolsága, So az alap területe.
Ha a vágási sík tartalmazza a piramis csúcsát és metszi az alapját, akkor háromszög metszetet kapunk. Területének kiszámításához a megfelelő háromszög képletet kell használnia.
