Hogyan határozható meg egy henger, kúp, prizma és gúla keresztmetszete? Képletek

Hogyan határozható meg egy henger, kúp, prizma és gúla keresztmetszete? Képletek
Hogyan határozható meg egy henger, kúp, prizma és gúla keresztmetszete? Képletek
Anonim

A gyakorlatban gyakran merülnek fel olyan feladatok, amelyek megkövetelik a különböző formájú geometriai alakzatok metszeteinek felépítését és a metszetterületek meghatározását. Ebben a cikkben megvizsgáljuk, hogyan épülnek fel a prizma, a gúla, a kúp és a henger fontos szakaszai, és hogyan lehet kiszámítani a területüket.

3D figurák

A sztereometriából ismert, hogy egy abszolút bármilyen típusú háromdimenziós alakzatot számos felület korlátoz. Például az olyan poliédereknél, mint a prizma és a gúla, ezek a felületek a sokszög oldalai. Henger és kúp esetében hengeres és kúpos alakzatok forgásfelületéről beszélünk.

Ha egy síkot veszünk, és tetszőlegesen metszünk egy háromdimenziós alakzat felületét, akkor metszetet kapunk. Területe megegyezik a sík azon részének területével, amely az ábra térfogatán belül lesz. Ennek a területnek a minimális értéke nulla, ami akkor realizálódik, amikor a sík hozzáér az ábrához. Például egyetlen pontból álló szakaszt kapunk, ha a sík egy gúla vagy kúp tetején halad át. A keresztmetszeti terület maximális értéke attól függaz ábra és a sík egymáshoz viszonyított helyzete, valamint az ábra alakja és mérete.

Az alábbiakban megvizsgáljuk, hogyan lehet kiszámítani a formált metszetek területét két forgásalak (henger és kúp) és két poliéder (gúla és prizma) esetén.

Cylinder

A körhenger egy téglalap bármely oldala körüli forgási alakja. A hengert két lineáris paraméter jellemzi: r alapsugár és h magasság. Az alábbi diagram azt mutatja, hogyan néz ki egy kör alakú egyenes henger.

kör alakú henger
kör alakú henger

Három fontos szakasztípus létezik ehhez az ábrához:

  • kör;
  • téglalap alakú;
  • elliptikus.

Elliptikus alakzat úgy alakul ki, hogy a sík az ábra oldalfelületét az alapjához képest bizonyos szögben metszi. A kerek az oldalfelület vágási síkjának a henger alapjával párhuzamos metszéspontjának eredménye. Végül egy téglalap alakút kapunk, ha a vágási sík párhuzamos a henger tengelyével.

A kör alakú terület kiszámítása a következő képlettel történik:

S1=pir2

A henger tengelyén átmenő tengelyirányú, azaz téglalap alakú szakasz területét a következőképpen határozzuk meg:

S2=2rh

Kúpszelvények

A kúp egy derékszögű háromszög forgási alakja az egyik láb körül. A kúpnak egy teteje és egy kerek alja van. Paraméterei az r sugár és a h magasság is. Az alábbiakban egy papírkúp példája látható.

Papírkúp
Papírkúp

Többféle kúpszelvény létezik. Soroljuk fel őket:

  • kör;
  • elliptikus;
  • parabolikus;
  • hiperbolikus;
  • háromszögletű.

Egymást felváltják, ha növeli a vágósík dőlésszögét a kerek alaphoz képest. A legegyszerűbb módja a kör és a háromszög keresztmetszeti területének képleteinek felírása.

Kúpos felület és az alappal párhuzamos sík metszéspontja következtében körmetszet keletkezik. Területére a következő képlet érvényes:

S1=pir2z2/h 2

Itt z az ábra teteje és a kialakított szakasz közötti távolság. Látható, hogy ha z=0, akkor a sík csak a csúcson halad át, így az S1 terület nullával egyenlő lesz. z < h óta a vizsgált szakasz területe mindig kisebb lesz, mint az alapértéke.

Háromszöget akkor kapunk, ha a sík a forgástengelye mentén metszi az ábrát. A kapott szakasz alakja egyenlő szárú háromszög lesz, amelynek oldalai az alap átmérője és a kúp két generátora. Hogyan találjuk meg a háromszög keresztmetszeti területét? A válasz erre a kérdésre a következő képlet lesz:

S2=rh

Ezt az egyenlőséget úgy kapjuk meg, hogy egy tetszőleges háromszög területének képletét alkalmazzuk az alapja és magassága mentén.

Prizma szakaszok

A prizma az ábrák nagy csoportja, amelyet két azonos, egymással párhuzamos sokszögalap jelenléte jellemez,paralelogrammákkal összekapcsolva. A prizma bármely szakasza sokszög. Tekintettel a vizsgált alakzatok sokféleségére (ferde, egyenes, n-szögű, szabályos, homorú prizma), metszeteik változatossága is nagy. Az alábbiakban csak néhány speciális esetet veszünk figyelembe.

Ötszögletű prizma
Ötszögletű prizma

Ha a vágási sík párhuzamos az alappal, akkor a prizma keresztmetszete megegyezik ennek az alapfelülettel.

Ha a sík átmegy a két alap geometriai középpontján, azaz párhuzamos az ábra oldaléleivel, akkor a metszetben paralelogramma keletkezik. Egyenes és szabályos prizmák esetén a figyelembe vett metszetnézet egy téglalap lesz.

Piramis

A piramis egy másik poliéder, amely egy n-szögből és n háromszögből áll. Az alábbiakban egy háromszög alakú piramis példája látható.

háromszög alakú piramis
háromszög alakú piramis

Ha a metszetet az n-szögű alappal párhuzamos sík húzza meg, akkor alakja pontosan megegyezik az alap alakjával. Egy ilyen szakasz területét a következő képlettel számítjuk ki:

S1=So(h-z)2/h 2

Ahol z az alap és a metszetsík távolsága, So az alap területe.

Ha a vágási sík tartalmazza a piramis csúcsát és metszi az alapját, akkor háromszög metszetet kapunk. Területének kiszámításához a megfelelő háromszög képletet kell használnia.

Ajánlott: