A sztereometriát tanulmányozó középiskolás diák mindegyike találkozott egy kúppal. Ennek a téralaknak két fontos jellemzője a felület és a térfogat. Ebben a cikkben bemutatjuk, hogyan lehet megtalálni a kerek kúp térfogatát.
Kerek kúp, mint egy derékszögű háromszög forgási alakja
Mielőtt közvetlenül a cikk témájára térnénk, le kell írni a kúpot geometriai szempontból.
Legyen valami derékszögű háromszög. Ha elforgatja bármelyik lába körül, akkor ennek a műveletnek az eredménye a kívánt ábra lesz, az alábbi ábrán látható.
Itt az AB láb a kúp tengelyének része, hossza pedig megfelel az ábra magasságának. A második láb (CA szegmens) a kúp sugara lesz. Az elforgatás során egy kört ír le, amely az ábra alapját határolja. A BC hipotenuszt az ábra generatrixának vagy generatrixának nevezzük. A B pont a kúp egyetlen csúcsa.
Az ABC háromszög tulajdonságainak ismeretében a következőképpen írhatjuk fel a kapcsolatot a g generátor, az r sugár és a h magasság közöttegyenlőség:
g2=h2+ r2
Ez a képlet hasznos a kérdéses ábrával kapcsolatos számos geometriai probléma megoldásában.
Kúp térfogati képlete
Bármely térbeli alakzat térfogata a tér területe, amelyet ennek az alaknak a felületei korlátoznak. Egy kúpnak két ilyen felülete van:
- Oldalirányú vagy kúpos. Az összes generatrica alkotja.
- Alapítvány. Ebben az esetben ez egy kör.
Szerezze meg a képletet a kúp térfogatának meghatározásához. Ehhez gondolatban az alappal párhuzamosan sok rétegre vágjuk. Mindegyik rétegnek van dx vastagsága, amely nullára hajlik. A réteg Sx területe az ábra tetejétől x távolságra egyenlő a következő kifejezéssel:
Sx=pir2x2/h 2
Ennek a kifejezésnek az érvényessége intuitív módon ellenőrizhető az x=0 és az x=h értékek helyettesítésével. Az első esetben nullával egyenlő területet kapunk, a második esetben pedig a kerek alap területét.
A kúp térfogatának meghatározásához minden réteg kis "térfogatait" össze kell adni, vagyis az integrálszámítást kell használni:
V=∫0h(pir2x 2/h2dx)=pir2/h2 ∫0h(x2dx)
Ezt az integrált kiszámítva megkapjuk a kerek kúp végső képletét:
V=1/3pir2h
Érdekes megjegyezni, hogy ez a képlet teljesen hasonló egy tetszőleges piramis térfogatának kiszámításához használt képlethez. Ez az egybeesés nem véletlen, mert bármely piramis kúp lesz, ha éleinek száma a végtelenségig nő.
Térfogatszámítási probléma
Hasznos példát adni a probléma megoldására, amely bemutatja a származtatott képlet használatát az V kötetre.
Adott egy kerek kúp, amelynek alapterülete 37 cm2, és az ábra generátora a sugár háromszorosa. Mekkora a kúp térfogata?
Jogunk van a térfogatképlet használatára, ha két mennyiséget ismerünk: a h magasságot és az r sugarat. Keressük meg azokat a képleteket, amelyek meghatározzák őket a feladat feltételének megfelelően.
Az r sugarat az So kör területének ismeretében számíthatjuk ki, a következőt kapjuk:
So=pir2=>
r=√(So/pi)
A feladat feltételének felhasználásával felírjuk a g generátor egyenlőségét:
g=3r=3√(So/pi)
Az r és a g képleteinek ismeretében számítsa ki a h magasságot:
h=√(g2- r2)=√(9So /pi - So/pi)=√(8So/pi)
Minden szükséges paramétert megtaláltunk. Ideje beilleszteni őket a V:
képletébe
V=1/3pir2h=1/3piSo/pi√ (8So/pi)=So/3√(8So /pi)
Marad a helyettesítésalapterület So és számítsuk ki a térfogatértéket: V=119,75 cm3.
