Egyszerűen és röviden fogalmazva, a hatókör azon értékek, amelyeket bármely függvény felvehet. A téma teljes körű feltárása érdekében fokozatosan szét kell szednie a következő pontokat és fogalmakat. Először is értsük meg a függvény definícióját és megjelenésének történetét.
Mi az a függvény
Az összes egzakt tudomány számos példával szolgál számunkra, amikor a kérdéses változók valamilyen módon függnek egymástól. Például egy anyag sűrűségét teljes mértékben meghatározza tömege és térfogata. Az állandó térfogatú ideális gáz nyomása a hőmérséklet függvényében változik. Ezeket a példákat egyesíti az a tény, hogy minden képletnek van függősége a változók között, amelyeket funkcionálisnak nevezünk.
A függvény egy olyan fogalom, amely egy mennyiségnek a másiktól való függőségét fejezi ki. Alakja y=f(x), ahol y a függvény értéke, amely az x-től – az argumentumtól – függ. Így azt mondhatjuk, hogy y egy x értékétől függő változó. Azok az értékek, amelyeket x együtt vehet felaz adott függvény tartománya (D(y) vagy D(f)), és ennek megfelelően y értékei alkotják a függvényértékek halmazát (E(f) vagy E(y)). Vannak esetek, amikor egy függvényt valamilyen képlet ad meg. Ebben az esetben a definíciós tartomány olyan változók értékéből áll, amelyekben a képlettel való jelölésnek van értelme.
Vannak egyező vagy azonos jellemzők. Ez két olyan függvény, amelyek érvényes értékeinek tartománya egyenlő, valamint magának a függvénynek az értékei azonosak ugyanazon argumentumok esetén.
Az egzakt tudományok számos törvényét a való életben előforduló helyzetekhez hasonlóan nevezik el. Van egy érdekes tény a matematikai függvényről is. Van egy tétel egy olyan függvény határértékéről, amely két másik, azonos határértékkel rendelkező függvény közé „szorult” – két rendőrről. Ezt a következőképpen magyarázzák: mivel két rendőr egy foglyot vezet a köztük lévő cellába, a bűnöző kénytelen odamenni, és egyszerűen nincs más választása.
Történelmi funkcióhivatkozás
A függvény fogalma nem vált azonnal véglegessé és pontossá, hanem hosszú utat járt be. Először is, Fermat Bevezetése és tanulmánya a sík és szilárd helyekről, amelyet a 17. század végén adtak ki, a következőket állapította meg:
Amikor két ismeretlen van a végső egyenletben, van hely.
Általánosságban elmondható, hogy ez a mű funkcionális függőségről és annak tárgyi képéről beszél (hely=vonal).
Szintén ugyanebben az időben Rene Descartes a „Geometry” (1637) című művében az egyenletek alapján tanulmányozta a vonalakat, ahol ismét az a ténykét mennyiség függése egymástól.
A „funkció” szó említése csak a 17. század végén jelent meg Leibniznél, de nem a modern értelmezésben. Tudományos munkájában úgy vélte, hogy a függvény egy görbe vonalhoz kapcsolódó különböző szegmensek.
De már a 18. században elkezdték pontosabban meghatározni a függvényt. Bernoulli a következőket írta:
A függvény egy változóból és egy konstansból álló érték.
Euler gondolatai is közel jártak ehhez:
A változó mennyiségi függvény egy analitikus kifejezés, amely valamilyen módon ebből a változó mennyiségből és számokból vagy állandó mennyiségekből áll össze.
Amikor egyes mennyiségek úgy függnek másoktól, hogy az utóbbiak változásakor ők maguk is változnak, akkor az előbbit az utóbbi függvényeinek nevezzük.
Funkciógrafikon
A függvény grafikonja a koordinátasík tengelyeihez tartozó összes pontból áll, amelyek abszcisszán az argumentum értékeit veszik fel, a függvény értékei ezekben a pontokban ordináták.
Egy függvény hatóköre közvetlenül kapcsolódik a grafikonjához, mert ha az érvényes értékek tartománya kizárja az abszcisszákat, akkor üres pontokat kell rajzolnia a grafikonon, vagy meg kell rajzolnia a grafikont bizonyos határokon belül. Például, ha egy y=tgx alakú gráfot veszünk, akkor az x=pi / 2 + pin, n∉R értéket kizárjuk a definíciós területből, érintőgráf esetén meg kell rajzolniaz y tengellyel párhuzamos függőleges vonalak (ezeket aszimptotáknak nevezzük), amelyek áthaladnak a ±pi/2 pontokon.
A függvények minden alapos és gondos tanulmányozása a matematika egy nagy ágát alkotja, amelyet számításnak neveznek. Az elemi matematikában a függvényekkel kapcsolatos elemi kérdéseket is érintik, például egy egyszerű gráf felépítését és a függvény néhány alapvető tulajdonságának megállapítását.
Milyen funkciót lehet beállítani
A funkció:
- legyen egy képlet, például: y=cos x;
- a(z) (x; y) alakpárok bármelyik táblázata állítja be;
- azonnal legyen grafikus nézete, ehhez az űrlap előző elemének (x; y) párjait kell megjeleníteni a koordináta tengelyeken.
Légy óvatos néhány magas szintű probléma megoldása során, szinte minden kifejezés függvénynek tekinthető az y (x) függvény értékének valamilyen argumentumához képest. Az ilyen feladatokban a definíciós tartomány megtalálása lehet a megoldás kulcsa.
Mire van lehetőség?
Az első dolog, amit tudnia kell egy függvényről annak tanulmányozásához vagy elkészítéséhez, az a hatóköre. A grafikon csak azokat a pontokat tartalmazza, ahol a függvény létezhet. Az (x) definíció tartományára az elfogadható értékek tartományaként is hivatkozhatunk (rövidítve ODZ).
A függvénygrafikon helyes és gyors felépítéséhez ismernie kell a függvény tartományát, mert ettől függ a grafikon megjelenése és pontosságaÉpítkezés. Például egy y=√x függvény összeállításához tudnia kell, hogy x csak pozitív értékeket vehet fel. Ezért csak az első koordinátanegyedben épül fel.
A meghatározás köre az elemi függvények példáján
Arzenáljában a matematika kevés egyszerű, meghatározott függvényt tartalmaz. Korlátozott hatókörük van. A probléma megoldása akkor sem okoz nehézséget, ha egy úgynevezett komplex funkció áll előtted. Ez csak több egyszerű kombinációja.
- Tehát a függvény lehet tört, például: f(x)=1/x. Így a változó (a mi argumentumunk) a nevezőben van, és mindenki tudja, hogy egy tört nevezője nem lehet egyenlő 0-val, ezért az argumentum 0 kivételével bármilyen értéket vehet fel. A jelölés így fog kinézni: D(y)=x∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞). Ha van valamilyen változós kifejezés a nevezőben, akkor meg kell oldania az x egyenletét, és ki kell zárnia azokat az értékeket, amelyek a nevezőt 0-ra fordítják. A sematikus ábrázoláshoz elegendő 5 jól megválasztott pont. Ennek a függvénynek a grafikonja egy hiperbola lesz, amelynek függőleges aszimptotája halad át a (0; 0) ponton, és együtt az Ox és Oy tengelyeken. Ha a grafikus kép metszi az aszimptotákat, akkor az ilyen hiba a legdurvábbnak minősül.
- De mi a gyökér tartománya? A gyökkifejezésű függvény (f(x)=√(2x + 5)) változót tartalmazó tartományának is megvannak a maga árnyalatai (csak a páros fok gyökére vonatkozik). Mintaz aritmetikai gyök pozitív kifejezés vagy egyenlő 0-val, akkor a gyökkifejezésnek nagyobbnak vagy egyenlőnek kell lennie 0-nál, megoldjuk a következő egyenlőtlenséget: 2x + 5 ≧ 0, x ≧ -2, 5, ezért ennek a tartománya függvény: D(y)=x ∈ (-2, 5; +∞). A grafikon a parabola egyik 90 fokkal elforgatott ága, amely az első koordinátanegyedben található.
- Ha logaritmikus függvénnyel van dolgunk, akkor ne feledje, hogy a logaritmus alapjára és a logaritmus előjele alatti kifejezésre vonatkozóan van megkötés, ebben az esetben a definíciós tartományt a következőképpen találhatja meg. következik. Van egy függvényünk: y=loga(x + 7), megoldjuk az egyenlőtlenséget: x + 7 > 0, x > -7. Ekkor ennek a függvénynek a tartománya D(y)=x ∈ (-7; +∞).
- Ügyeljen az y=tgx és y=ctgx alakú trigonometrikus függvényekre is, mivel y=tgx=sinx/cos/x és y=ctgx=cosx/sinx, ezért ki kell zárnia az értékeket amelynél a nevező egyenlő lehet nullával. Ha ismeri a trigonometrikus függvények grafikonjait, a tartományuk megértése egyszerű feladat.
Hogyan más az összetett függvényekkel végzett munka?
Ne felejtsen el néhány alapvető szabályt. Ha összetett függvénnyel dolgozunk, akkor nem kell valamit megoldani, egyszerűsíteni, törteket adni, a legkisebb közös nevezőre redukálni és gyököket kivonni. Ezt a függvényt meg kell vizsgálnunk, mert a különböző (akár azonos) műveletek megváltoztathatják a függvény hatókörét, ami helytelen választ eredményezhet.
Például van egy összetett függvényünk: y=(x2 - 4)/(x - 2). A tört számlálóját és nevezőjét nem tudjuk csökkenteni, mivel ez csak akkor lehetséges, ha x ≠ 2, és ez a függvény tartományának megtalálása a feladat, így a számlálót nem faktorozzuk, és nem oldunk meg egyenlőtlenségeket, mert a szabad szemmel látható érték, amelynél a függvény nem létezik. Ebben az esetben x nem veheti fel a 2-es értéket, mivel a nevező nem mehet 0-ra, így a jelölés így fog kinézni: D(y)=x ∉ (-∞; 2) ∪ (2; +∞).
Kölcsönös függvények
Elsőnek érdemes azt mondani, hogy egy függvény csak növekedési vagy csökkentési időközönként válhat visszafordíthatóvá. Az inverz függvény megtalálásához fel kell cserélni x-et és y-t a jelölésben, és meg kell oldani az x-re vonatkozó egyenletet. A definíciós tartományok és az értéktartományok egyszerűen felcserélődnek.
A reverzibilitás fő feltétele egy függvény monoton intervalluma, ha egy függvénynek vannak növekedési és csökkenési intervallumai, akkor bármelyik intervallum inverz függvényét meg lehet alkotni (növekvő vagy csökkenő).
Például az y=ex exponenciális függvénynél a reciprok az y=logea=lna természetes logaritmikus függvény. A trigonometriánál ezek az arc- előtagú függvények: y=sinx és y=arcsinx és így tovább. A grafikonok szimmetrikusan helyezkednek el egyes tengelyekhez vagy aszimptotákhoz képest.
Következtetések
Az elfogadható értékek tartományának keresése a függvények grafikonjának (ha van ilyen) vizsgálata,a szükséges specifikus egyenlőtlenségi rendszer rögzítése és megoldása.
Tehát ez a cikk segített megérteni, hogy mi a funkció hatóköre, és hogyan lehet megtalálni. Reméljük, hogy segít az alapiskolai kurzus megfelelő megértésében.
