Körbe írt négyszög. Az ABCD négyszög egy körbe van írva

2024 Szerző: Angel Austin | [email protected]. Utoljára módosítva: 2024-01-02 17:48

A matematika algebrára és geometriára való felosztásával az oktatási anyag nehezebbé válik. Új figurák és speciális eseteik jelennek meg. Az anyag jó megértéséhez tanulmányozni kell az objektumok fogalmait, tulajdonságait és a kapcsolódó tételeket.

Általános fogalmak

A négyszög geometriai alakzatot jelent. 4 pontból áll. Sőt, közülük 3 nem ugyanazon az egyenesen található. Vannak szakaszok, amelyek sorba kötik a megadott pontokat.

Az iskolai geometria tanfolyamon vizsgált összes négyszöget a következő ábra mutatja. Következtetés: a bemutatott ábra bármely tárgya rendelkezik az előző ábra tulajdonságaival.

Egy négyszög a következő típusú lehet:

• Paralelogramma. Ellentétes oldalainak párhuzamosságát a megfelelő tételek igazolják.
• Trapéz. Párhuzamos alapokkal rendelkező négyszög. A másik két párt nem.
• Téglalap. Egy figura, amelynek mind a 4 sarka=90º.
• Rombusz. Egy alak, amelynek minden oldala egyenlő.
• Tér. Az utolsó két ábra tulajdonságait egyesíti. Minden oldala egyenlő, és minden szöge egyenes.

A téma fő meghatározása egy körbe írt négyszög. A következőkből áll. Ez egy olyan ábra, amely körül egy kör van leírva. Minden csúcson át kell haladnia. A körbe írt négyszög belső szögei 360°-ot adnak össze.

Nem minden négyszög írható be. Ez annak köszönhető, hogy a 4 oldal merőleges felezői nem metszik egymást egy pontban. Ez lehetetlenné teszi a 4 szöget körülvevő kör középpontjának megtalálását.

Különleges esetek

Minden szabály alól van kivétel. Tehát ebben a témában is vannak speciális esetek:

• A paralelogramma, mint olyan, nem írható körbe. Csak az ő speciális esete. Ez egy téglalap.
• Ha a rombusz minden csúcsa a körülíró egyenesen van, akkor négyzetről van szó.
• A trapéz összes csúcsa a kör határán van. Ebben az esetben egyenlő szárú alakról beszélnek.

Körbe írt négyszög tulajdonságai

Mielőtt egyszerű és összetett problémákat oldana meg egy adott témában, igazolnia kell tudását. Az oktatási anyag tanulmányozása nélkül lehetetlen egyetlen példát sem megoldani.

1. tétel

A körbe írt négyszög ellentétes szögeinek összege 180º.

Bizonyítás

Adott: az ABCD négyszög körbe van írva. Középpontja az O pont. Be kell bizonyítanunk, hogy _<A + _<C=180º és _< B + _<D=180º.

Figyelembe kell venni a bemutatott számokat.

1. _{<A egy olyan körbe van beírva, amelynek középpontja az O pontban van. Mérése ½ BCD-n (fél ív) keresztül történik.}
2. _{<C ugyanabba a körbe van beírva. Mérése ½ BAD-on (félíven) keresztül történik.}
3. BAD és BCD egy egész kört alkotnak, azaz nagyságuk 360º.
4. _<A + _{<C egyenlő az ábrázolt félívek összegének felével.}
5. Így _<A + _{<C=360º / 2=180º.}

Hasonló módon a _<B és _{<D bizonyítása. Van azonban egy második megoldás is a problémára.}

1. Ismert, hogy egy négyszög belső szögeinek összege 360º.
2. Mert _<A + _<C=180º. Ennek megfelelően _<B + _{<D=360º – 180º=180º.}

2. tétel

(gyakran inverznek nevezik) Ha egy négyszögben _<A + _<C=180º és _{<B +} <_{D=180º (ha egymással szemben vannak), akkor egy ilyen alak körül kör írható le.}

Bizonyítás

Az ABCD négyszög szemközti szögeinek összege 180º. _<A + _<C=180º, _<B +_{<D=180º. Be kell bizonyítanunk, hogy egy kör körülírható ABCD körül.}

A geometria kurzusból ismert, hogy egy négyszög 3 pontján keresztül körvonal rajzolható. Például használhatja az A, B, C pontokat. Hol lesz a D pont? 3 tipp van:

1. A körön belül végez. Ebben az esetben D nem érinti a vonalat.
2. A körön kívül. Messze túllép a vázolt vonalon.
3. Egy körön kiderül.

Feltételezzük, hogy D a körön belül van. A jelzett csúcs helyét D´ foglalja el. Kiderült, hogy ABCD´ négyszög.

Az eredmény:_<B + _<D´=2d.

Ha folytatjuk AD´-vel az E pontban lévő meglévő kör metszéspontját, és összekötjük E-t és C-t, akkor egy ABCE beírt négyszöget kapunk. Az első tételből az egyenlőség következik:

A geometria törvényei szerint a kifejezés nem érvényes, mert _<D´ a CD´E háromszög külső sarka. Ennek megfelelően többnek kell lennie, mint _{<E. Ebből arra következtethetünk, hogy D-nek vagy a körön, vagy azon kívül kell lennie.}

Hasonlóan a harmadik feltevés is tévesnek bizonyítható, ha D´´ túllép a leírt ábra határán.

Két hipotézisből következik az egyetlen helyes. A D csúcs a körvonalon található. Más szóval, D egybeesik E-vel. Ebből következik, hogy a négyszög minden pontja a leírt egyenesen található.

Ezekbőlkét tétel, a következmény a következő:

Bármilyen téglalap beírható egy körbe. Van egy másik következmény is. Egy kör bármely téglalap körül körülírható

Az egyenlő csípővel rendelkező trapéz körbe írható. Más szóval ez így hangzik: egy kör leírható egy egyenlő élű trapéz körül

Több példa

1. feladat. Az ABCD négyszög egy körbe van beírva. _<ABC=105º, _<CAD=35º. Meg kell találni: _{<ABD. A választ fokban kell megadni.}

Döntés. Elsőre nehéznek tűnhet megtalálni a választ.

1. Emlékeznie kell a téma tulajdonságaira. Nevezetesen: a szemközti szögek összege=180º.

_<ADC=180º – _{<ABC=180º – 105º=75º}

A geometriában jobb, ha ragaszkodunk az elvhez: találjunk meg mindent, amit csak lehet. Később hasznos.

2. Következő lépés: használja a háromszögösszeg tételt.

_<ACD=180º – _<CAD – _{<ADC=180º – 35º 75º=70º}

_<ABD és _{<ACD fel van írva. Feltétel szerint egy ívre támaszkodnak. Ennek megfelelően egyenlő értékkel rendelkeznek:}

_<ABD=_<ACD=70º

Válasz: _<ABD=70º.

2. feladat. A BCDE egy körbe írt négyszög. _<B=69º, _<C=84º. A kör középpontja az E pont. Keresse meg: _<E.

Döntés.

1. Meg kell találni _{<E az 1. tétel alapján.}

_<E=180º – _{<C=180º – 84º=96º}

Válasz: _{< E=96º.}

3. feladat Adott egy körbe írt négyszög. Az adatok az ábrán láthatók. Ismeretlen x, y, z értékeket kell találni.

Megoldás:

z=180º – 93º=87º (az 1. tétel alapján)

x=½(58º + 106º)=82º

y=180º – 82º=98º (az 1. tétel alapján)

Válasz: z=87º, x=82º, y=98º.

4. feladat. Van egy körbe írt négyszög. Az értékek az ábrán láthatók. Keresse meg x, y.

Megoldás:

x=180º – 80º=100º

y=180º – 71º=109º

Válasz: x=100º, y=109º.

Problémák a független megoldáshoz

Példa 1. Adott egy kör. Középpontja az O pont. AC és BD átmérők. _<ACB=38º. Meg kell találni: _{<AOD. A választ fokban kell megadni.}

2. példa Adott egy ABCD négyszög és egy körülírt kör. _<ABC=110º, _<ABD=70º. Keresse meg: _{<CAD. Válaszát írja le fokban.}

3. példa Adott egy kör és egy ABCD beírt négyszög. Két szöge 82º és58º. Meg kell találnia a fennmaradó szögek közül a legnagyobbat, és fel kell írnia a választ fokokban.

4. példa Adott az ABCD négyszög. Az A, B, C szögek 1:2:3 arányban vannak megadva. Meg kell találni a D szöget, ha a megadott négyszög körbe írható. A választ fokban kell megadni.

5. példa. Az ABCD négyszög adott. Oldalai a körülírt kör íveit alkotják. Az AB, BC, CD és AD fokértékek rendre: 78˚, 107˚, 39˚, 136˚. Keresse meg a _{<A megadott négyszögből, és írja le a választ fokokban.}