A síkok párhuzamossága olyan fogalom, amely először több mint kétezer éve jelent meg az euklideszi geometriában.
A klasszikus geometria főbb jellemzői
E tudományos tudományág születése az ókori görög gondolkodó, Eukleidész híres munkájához kapcsolódik, aki a Krisztus előtti harmadik században írta a „Kezdetek” című röpiratot. A tizenhárom könyvre osztott Elemek az ókori matematika legmagasabb vívmánya volt, és meghatározta a síkfigurák tulajdonságaival kapcsolatos alapvető posztulátumokat.
A síkok párhuzamosságának klasszikus feltétele a következőképpen fogalmazódott meg: két síkot akkor nevezhetünk párhuzamosnak, ha nincs közös pontjuk egymással. Ez volt az euklideszi munka ötödik posztulátuma.
Párhuzamos síkok tulajdonságai
Az euklideszi geometriában általában öt van:
Az első tulajdonság (a síkok párhuzamosságát és egyediségét írja le). Egy adott síkon kívül eső ponton keresztül egy és csak egy vele párhuzamos síkot rajzolhatunk
- Második tulajdonság (három párhuzamos tulajdonságnak is nevezik). Amikor két sík vanpárhuzamosak a harmadikkal, párhuzamosak egymással is.
A harmadik tulajdonság (más szóval a síkok párhuzamosságát metsző egyenes tulajdonságának nevezik). Ha egyetlen egyenes metszi az egyik párhuzamos síkot, akkor a másikat is
Negyedik tulajdonság (egymással párhuzamos síkra vágott egyenesek tulajdonsága). Amikor két párhuzamos sík metszi a harmadikat (bármilyen szögben), akkor a metszésvonalaik is párhuzamosak
Ötödik tulajdonság (egy olyan tulajdonság, amely különböző párhuzamos egyenesek szakaszait írja le, amelyek egymással párhuzamos síkok közé vannak zárva). A két párhuzamos sík közé zárt párhuzamos egyenesek szakaszai szükségszerűen egyenlők
Síkok párhuzamossága nem euklideszi geometriákban
Ilyen megközelítések különösen Lobacsevszkij és Riemann geometriája. Ha Euklidész geometriája sík tereken valósult meg, akkor Lobacsevszkij geometriája negatívan görbült (egyszerűen görbült) terekben valósult meg, Riemannnál pedig pozitívan ívelt terekben (más szóval gömbökben) valósul meg. Nagyon elterjedt az a sztereotip vélemény, hogy Lobacsevszkij párhuzamos síkjai (és az egyenesek is) metszik egymást.
Ez azonban nem helyes. Valójában a hiperbolikus geometria születése Euklidész ötödik posztulátumának bizonyításával és a változással járt együtt. A vele kapcsolatos nézetek azonban a párhuzamos síkok és egyenesek definíciójából következik, hogy nem metszik egymást sem Lobacsevszkijnél, sem Riemannnál, függetlenül attól, hogy milyen térben valósulnak meg. A nézetek és megfogalmazások változása pedig a következő volt. Azt a posztulátumot, miszerint csak egy párhuzamos síkot lehet megrajzolni egy olyan ponton, amely nem fekszik egy adott síkon, egy másik megfogalmazás váltotta fel: egy olyan ponton keresztül, amely nem egy adott síkon fekszik, legalább két olyan egyenes, amely egy adott síkon fekszik. ugyanaz a sík, mint az adott, és ne metssze azt.
