Sík az űrben. A síkok elhelyezkedése a térben

2024 Szerző: Angel Austin | [email protected]. Utoljára módosítva: 2024-01-02 17:48

A sík olyan geometriai objektum, amelynek tulajdonságait pontok és egyenesek vetületeinek megalkotásakor, valamint háromdimenziós alakzatok elemei közötti távolságok és diéderszögek kiszámításakor használják. Nézzük meg ebben a cikkben, hogy milyen egyenletek segítségével lehet tanulmányozni a síkok elhelyezkedését a térben.

Sík meghatározása

Mindenki intuitív módon elképzeli, hogy melyik tárgyról lesz szó. Geometriai szempontból a sík pontok összessége, amelyek között bármely vektornak merőlegesnek kell lennie valamelyik vektorra. Például ha a térben m különböző pont van, akkor belőlük m(m-1) / 2 különböző vektor készíthető, a pontokat páronként összekötve. Ha minden vektor merőleges valamelyik irányra, akkor ez elegendő feltétel, hogy minden m pont ugyanahhoz a síkhoz tartozik.

Általános egyenlet

A térgeometriában egy síkot olyan egyenletekkel írnak le, amelyek általában három, az x, y és z tengelynek megfelelő ismeretlen koordinátát tartalmaznak. Nak nekkapjuk meg az általános egyenletet a térbeli síkkoordinátákban, tegyük fel, hogy van egy n¯(A; B; C) vektor és egy M(x₀; y₀; z_{0). Ezzel a két objektummal a sík egyedileg definiálható.}

Valóban, tegyük fel, hogy van valami második P(x; y; z) pont, amelynek koordinátái ismeretlenek. A fent megadott definíció szerint az MP¯ vektornak merőlegesnek kell lennie n¯-re, vagyis a skaláris szorzatuk egyenlő nullával. Ezután felírhatjuk a következő kifejezést:

(n¯MP¯)=0 vagy

A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀₎₌₀

A zárójeleket kinyitva és egy új D együtthatót bevezetve a következő kifejezést kapjuk:

Ax + By + Cz + D=0 ahol D=-1(Ax₀+ By ₀ + Cz₀₎

Ezt a kifejezést a sík általános egyenletének nevezik. Fontos megjegyezni, hogy az x, y és z előtti együtthatók a síkra merőleges n¯(A; B; C) vektor koordinátáit alkotják. Ez egybeesik a normál értékkel, és útmutató a repülőgép számára. Az általános egyenlet meghatározásához nem mindegy, hogy ez a vektor hová irányul. Vagyis az n¯ és -n¯ vektorokra épített síkok azonosak lesznek.

A fenti ábra egy síkot, egy vele normális vektort és egy, a síkra merőleges egyenest mutat.

A tengelyek síkja által levágott szegmensek és a megfelelő egyenlet

Az általános egyenlet lehetővé teszi, hogy egyszerű matematikai műveletekkel határozzuk meg, inhogy a sík mely pontokon metszi majd a koordinátatengelyeket. Fontos tudni ezt az információt ahhoz, hogy elképzelésünk legyen a sík térbeli helyzetéről, valamint a rajzokon való ábrázoláskor.

A megnevezett metszéspontok meghatározásához szakaszos egyenletet használunk. Azért nevezik így, mert kifejezetten tartalmazza a sík által levágott szakaszok hosszának értékét a koordinátatengelyeken, amikor a pontból számolunk (0; 0; 0). Vegyük ezt az egyenletet.

Írja le a sík általános kifejezését a következőképpen:

Ax + By + Cz=-D

A bal és jobb oldali rész -D-vel osztható az egyenlőség megsértése nélkül. Nálunk:

A/(-D)x + B/(-D)y + C/(-D)z=1 vagy

x/(-D/A) + y/(-D/B) + z/(-D/C)=1

Tervezzük meg az egyes kifejezések nevezőit egy új szimbólummal, így kapjuk:

p=-D/A; q=-D/B; r=-D/C, majd

x/p + y/q + z/r=1

Ez a fent említett egyenlet szegmensekben. Ebből az következik, hogy az egyes tagok nevezőjének értéke a sík megfelelő tengelyével való metszés koordinátáját jelzi. Például az y tengelyt a (0; q; 0) pontban metszi. Ez könnyen érthető, ha behelyettesíti a nulla x és z koordinátákat az egyenletbe.

Ne feledje, hogy ha a szakaszokban nincs változó az egyenletben, az azt jelenti, hogy a sík nem metszi a megfelelő tengelyt. Például a következő kifejezéssel:

x/p + y/q=1

Ez azt jelenti, hogy a sík levágja a p és q szakaszokat az x és y tengelyen, de párhuzamos lesz a z tengellyel.

Következtetés a repülőgép viselkedéséről, amikoraz egyenletben szereplő változó hiánya egy általános típusú kifejezésre is igaz, amint az az alábbi ábrán látható.

Vektorparaméteres egyenlet

Létezik egy harmadik típusú egyenlet, amely lehetővé teszi egy sík leírását a térben. Paraméteres vektornak nevezik, mert két, a síkban elhelyezkedő vektor és két olyan paraméter adja, amelyek tetszőleges független értékeket vehetnek fel. Mutassuk meg, hogyan érhető el ez az egyenlet.

Tegyük fel, hogy van néhány ismert vektor u ¯(a₁; b₁; c₁) és v¯(a₂; b₂; c₂). Ha nem párhuzamosak, akkor egy adott sík beállítására használhatók úgy, hogy az egyik vektor kezdetét egy ismert M(x₀; y_{0) pontban rögzítjük.}; z_{0). Ha egy tetszőleges MP¯ vektor ábrázolható u¯ és v¯ lineáris vektorok kombinációjaként, akkor ez azt jelenti, hogy a P(x; y; z) pont ugyanahhoz a síkhoz tartozik, mint az u¯, v¯. Így felírhatjuk az egyenlőséget:}

MP¯=αu¯ + βv¯

Vagy ezt az egyenlőséget koordinátákkal írva a következőket kapjuk:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z₀) + α(a₁; b₁; c₁) + β(a ₂; b₂; c₂₎

A bemutatott egyenlőség a sík parametrikus vektoregyenlete. NÁL NÉLAz u¯ és v¯ síkon lévő vektorteret generátoroknak nevezzük.

Ezután a feladat megoldása során megmutatjuk, hogyan redukálható ez az egyenlet egy sík általános alakjára.

Síkok közötti szög a térben

Intuitív módon a 3D-s tér síkjai vagy metszik egymást, vagy nem. Az első esetben érdemes megtalálni a köztük lévő szöget. Ennek a szögnek a kiszámítása nehezebb, mint a vonalak közötti szögé, mivel kétszög alakú geometriai objektumról beszélünk. A már említett útmutató vektor azonban a géphez jön a segítségre.

Gometriailag megállapították, hogy két egymást metsző sík közötti diéderszög pontosan egyenlő a vezetővektoraik közötti szöggel. Jelöljük ezeket a vektorokat n¯(a₁; b₁; c_{1) és n}2_¯(a2_{; b}2_{; c}2_{). A köztük lévő szög koszinuszát a skaláris szorzatból határozzuk meg. Vagyis maga a szög a síkok közötti térben a következő képlettel számítható ki:}

φ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|))

Itt a nevezőben lévő modulus a tompaszög értékének elvetésére szolgál (a metsző síkok között mindig kisebb vagy egyenlő, mint 90o).

Koordináta formában ez a kifejezés a következőképpen írható át:

φ=arccos(|a₁a₂ + b₁b ₂ +c₁c₂|/(√(a₁² + b₁² + c₁²)√(a₂² + b₂² + c ₂²⁾⁾⁾

Síkok merőlegesek és párhuzamosak

Ha a síkok metszik egymást, és az általuk alkotott kétszög 90o, akkor merőlegesek lesznek. Ilyen síkok például a téglalap alakú prizma vagy kocka. Ezeket a figurákat hat sík alkotja. A megnevezett alakzatok minden csúcsában három egymásra merőleges sík található.

Ahhoz, hogy megtudjuk, a vizsgált síkok merőlegesek-e, elegendő kiszámítani normálvektoruk skaláris szorzatát. A síkok térbeli merőlegességének elegendő feltétele ennek a szorzatnak a nulla értéke.

A párhuzamosokat nem metsző síkoknak nevezzük. Néha azt is mondják, hogy a párhuzamos síkok a végtelenben metszik egymást. A síkok terében a párhuzamosság feltétele egybeesik az n₁¯ és n_{2¯ irányvektorok feltételével. Kétféleképpen ellenőrizheti:}

Számítsa ki a diéderszög koszinuszát (cos(φ)) a skalárszorzat segítségével. Ha a síkok párhuzamosak, akkor az érték 1 lesz.

Próbáljon egy vektort a másikon keresztül ábrázolni úgy, hogy megszorozza valamilyen számmal, azaz n₁¯=kn_{2¯. Ha ez megtehető, akkor a megfelelő síkokpárhuzamos.}

Az ábrán két párhuzamos sík látható.

Most mondjunk példákat két érdekes probléma megoldására a megszerzett matematikai ismeretek felhasználásával.

Hogyan kaphatunk általános alakot egy vektoregyenletből?

Ez egy parametrikus vektor kifejezés egy síkra. A műveletek folyamatának és az alkalmazott matematikai trükkök megértésének megkönnyítése érdekében vegyünk egy konkrét példát:

(x; y; z)=(1; 2; 0) + α(2; -1; 1) + β(0; 1; 3)

Bővítse ki ezt a kifejezést, és fejezze ki az ismeretlen paramétereket:

x=1 + 2α;

y=2 - α + β;

z=α + 3β

Akkor:

α=(x - 1)/2;

β=y - 2 + (x - 1)/2;

z=(x - 1)/2 + 3(y - 2 + (x - 1)/2)

A zárójeleket megnyitva az utolsó kifejezésben a következőt kapjuk:

z=2x-2 + 3y - 6 vagy

2x + 3y - z - 8=0

Megkaptuk az egyenlet általános alakját a feladatmeghatározásban megadott síkra vektor alakban

Hogyan építsünk síkot három ponton keresztül?

Lehetőség van három ponton keresztül egyetlen síkot rajzolni, ha ezek a pontok nem tartoznak egyetlen egyeneshez. A probléma megoldására szolgáló algoritmus a következő műveletsorból áll:

keresse meg két vektor koordinátáit ismert pontok páronkénti összekapcsolásával;
számítsd ki a keresztszorzatukat, és kapj a síkra normális vektort;
írja fel az általános egyenletet a talált vektorral ésa három pont bármelyike.

Vegyünk egy konkrét példát. Adott pontok: