Számos matematikai probléma kapcsolódik a térben egyenlőtlenül elosztott információk megtalálásához. Földrajzi tájolású információs rendszerekről beszélünk, hiszen ezekben lehet bizonyos pontokon mérni a szükséges mennyiségeket. E problémák megoldására gyakran alkalmaznak egyik vagy másik interpolációs módszert.
Definíció
Az interpoláció a mennyiségek köztes értékeinek kiszámításának módja egy diszkrét rendelkezésre álló értékkészletből. A leggyakoribb interpolációs módszerek a következők: inverz távolságsúlyozás, trendfelületek és kriging.
Alapvető interpolációs módszerek
Tekintsük meg közelebbről az első módszert, lényege a becsült pontokhoz közelebb eső pontok befolyásában rejlik a távolabbikkal összehasonlítva. Ha ilyen interpolációs módszert használunk, akkor egy adott környéken lévő domborzatból kiválasztunk egy adott pontot, amely a legnagyobb hatással van rá. Így a maximális keresési sugár vagy a pontok számaegy bizonyos pont közelében található. Ezután minden egyes pontban beállítunk egy súlyt a magassághoz, amelyet az ettől a ponttól való távolságtól függően számítanak ki. Csak így érhető el, hogy a legközelebbi pontok nagyobb mértékben járuljanak hozzá az interpolált magassághoz, mint az adott magasságtól távolabbi pontokhoz képest.
A második interpolációs módszert akkor alkalmazzák, ha a kutatókat az általános felszíni trendek érdeklik. Az első módszerhez hasonlóan az adott felületen belüli pontok is felhasználhatók a trendhez. Itt matematikai egyenletek (spline vagy polinomok) alapján épül fel a legjobban illeszkedő halmaz. Alapvetően a legkisebb négyzetek technikáját alkalmazzák, amely nemlineáris függőségű egyenleteken alapul. A technika a görbék és a numerikus típusú sorozatok egyéb formáinak egyszerűekkel való helyettesítésén alapul. A trend felépítéséhez egy adott felületen minden értéket be kell cserélni az egyenletbe. Az eredmény az interpolált megoldáshoz (pont) hozzárendelt egyetlen érték. Az összes többi pontnál a folyamat folytatódik.
A fent említett másik interpolációs módszer, a kriging, a felület statisztikai jellege alapján optimalizálja az interpolációs eljárást.
Másodfokú interpoláció használata
Van egy másik eszköz konkrét pontok meghatározására - a másodfokú interpolációs módszer, aminek a lényege, hogynéhány függvény egy bizonyos intervallumon másodfokú parabolával. Ugyanakkor a szélsőértékét analitikusan számítják ki. A hozzávetőleges megtalálása után (minimális vagy maximum) be kell állítani egy bizonyos értékintervallumot, amely után a megoldás keresését folytatni kell. Ennek az eljárásnak a megismétlésével lehetőség van egy iteratív eljárással ennek az egyenletnek az értékét az eredményre finomítani a problémafelvetésben megadott pontossággal.
