A geometriában két fontos jellemzőt használnak az ábrák tanulmányozására: az oldalak hosszát és a köztük lévő szögeket. A térbeli alakzatok esetében ezekhez a jellemzőkhöz kétszögek adódnak. Nézzük meg, mi ez, és írjuk le e szögek meghatározásának módszerét egy gúla példáján keresztül.
A diéderszög fogalma
Mindenki tudja, hogy két egymást metsző egyenes szöget zár be a metszéspontjuk csúcsával. Ez a szög mérhető szögmérővel, vagy trigonometrikus függvények segítségével számíthatja ki. A két derékszög által alkotott szöget lineárisnak nevezzük.
Képzeld el, hogy a háromdimenziós térben két sík van, amelyek egy egyenesben metszik egymást. A képen láthatók.
A diéderszög két egymást metsző sík szöge. Csakúgy, mint a lineáris, fokban vagy radiánban mérik. Ha a síkokat metsző egyenes bármely pontjához állítson vissza két merőlegest,ezekben a síkokban fekve, akkor a köztük lévő szög a kívánt diéder lesz. A szög meghatározásának legegyszerűbb módja a síkok általános egyenletei.
A síkok egyenlete és a köztük lévő szög képlete
A tér bármely síkjának egyenlete általánosságban a következőképpen írható fel:
A × x + B × y + C × z + D=0.
Itt x, y, z a síkhoz tartozó pontok koordinátái, az A, B, C, D együtthatók néhány ismert szám. Ennek az egyenlőségnek a kényelme a diéderszögek számításánál az, hogy kifejezetten tartalmazza a sík irányvektorának koordinátáit. Jelöljük n¯-vel. Akkor:
n¯=(A; B; C).
Az n¯ vektor merőleges a síkra. A két sík közötti szög egyenlő az n1¯ és n2¯ irányvektoraik szögével. A matematikából ismert, hogy két vektor által alkotott szöget egyedileg határozzák meg azok skaláris szorzatából. Ez lehetővé teszi egy képlet felírását a két sík közötti diéderszög kiszámításához:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|)).
Ha behelyettesítjük a vektorok koordinátáit, akkor a képlet kifejezetten így lesz írva:
φ=arccos (|A1 × A2 + B1 × B 2 + C1 × C2| / (√(A1 2 + B12 + C12 ) × √(A22+B22 + C22))).
A számláló modulo jele csak hegyesszög definiálására szolgál, mivel a diéderszög mindig kisebb vagy egyenlő, mint 90o.
Piramis és sarkai
A piramis egy n-szögből és n háromszögből alkotott alakzat. Itt n egy egész szám, amely egyenlő a piramis alapját képező sokszög oldalainak számával. Ez a térbeli alakzat egy poliéder vagy poliéder, mivel lapos lapokból (oldalakból) áll.
A piramis-poliéder diéderszögei kétféleek lehetnek:
- alap és oldal között (háromszög);
- két oldal között.
Ha a piramist szabályosnak tekintjük, akkor könnyű meghatározni a megnevezett szögeket. Ehhez három ismert pont koordinátáinak felhasználásával meg kell alkotni a síkok egyenletét, majd a fenti bekezdésben megadott képletet használni a φ.
szögre.
Az alábbiakban egy példát mutatunk be, amelyben bemutatjuk, hogyan lehet kétszögletű szögeket találni egy négyszög alakú szabályos piramis alapjában.
Egy négyszögletű szabályos gúla és egy szög az alapjában
Tegyük fel, hogy adott egy szabályos, négyzet alakú piramis. A négyzet oldalának hossza a, az ábra magassága h. Határozza meg a piramis alapja és oldala közötti szöget.
Tegyük a koordinátarendszer origóját a négyzet közepére. Ezután a pontok koordinátáiA képen látható A, B, C, D a következő lesz:
A=(a/2; -a/2; 0);
B=(a/2; a/2; 0);
C=(-a/2; a/2; 0);
D=(0; 0; h).
Tekintsük az ACB és az ADB síkokat. Nyilvánvaló, hogy az ACB sík n1¯ irányvektora a következő lesz:
1¯=(0; 0; 1).
Az ADB sík n2¯ irányvektorának meghatározásához a következőképpen járjunk el: keressünk két tetszőleges vektort, amelyek hozzá tartoznak, például AD¯ és AB¯, majd számítsa ki vektormunkájukat. Ennek eredménye az n2¯ koordinátákat adja. Nálunk:
AD¯=D - A=(0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0)=(-a/2; a/2; h);
AB¯=B - A=(a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0)=(0; a; 0);
2¯=[AD¯ × AB¯]=[(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)]=(-a × h; 0;-a2/2).
Mivel egy vektor számmal való szorzása és osztása nem változtatja meg az irányát, a kapott n2¯-t transzformáljuk, koordinátáit -a-val elosztva, így kapjuk:
2¯=(h; 0; a/2).
Meghatároztuk az n1¯ és n¯ vektorvezetőket az ACB alap- és ADB oldalsíkokhoz. A φ szög képletét kell használni:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|))=arccos (a / (2 × √h¯ + a 2/4)).
Alakítsa át a kapott kifejezést, és írja át a következőképpen:
φ=arccos (a / √(a2+ 4 × h2)).
Megkaptuk a szabályos négyszög alakú gúla alapjában lévő diéderszög képletét. Az ábra magasságának és oldalának hosszának ismeretében kiszámíthatja a φ szöget. Például a Kheopsz-piramis esetében, amelynek alapoldala 230,4 méter, és a kezdeti magassága 146,5 méter volt, a φ szög 51,8o.
Egy négyszög alakú szabályos gúla diéderszögének meghatározása geometriai módszerrel is lehetséges. Ehhez elegendő egy derékszögű háromszöget figyelembe venni, amelyet a h magasság, az a/2 alap hosszának fele és egy egyenlő szárú háromszög apotémája alkot.
