Háromszög alakú piramis és képletek a terület meghatározására

2024 Szerző: Angel Austin | [email protected]. Utoljára módosítva: 2023-12-17 05:29

A piramis egy geometrikus téralak, amelynek jellemzőit a középiskolában, a szilárd geometria során tanulják. Ebben a cikkben megvizsgáljuk a háromszög alakú piramist, annak típusait, valamint a felületének kiszámítására szolgáló képleteket.

Melyik piramisról beszélünk?

A háromszög alakú piramis egy olyan alakzat, amelyet úgy kaphatunk meg, hogy egy tetszőleges háromszög összes csúcsát összekötjük egyetlen ponttal, amely nem a háromszög síkjában fekszik. E meghatározás szerint a szóban forgó piramisnak egy kezdeti háromszögből kell állnia, amelyet az ábra alapjának nevezünk, és három olyan oldalháromszögből, amelyeknek van egy közös oldaluk az alappal, és egy ponton kapcsolódnak egymáshoz. Ez utóbbit a piramis csúcsának nevezik.

A fenti képen egy tetszőleges háromszög alakú piramis látható.

A vizsgált ábra lehet ferde vagy egyenes. Ez utóbbi esetben a piramis tetejéről az alapjára ejtett merőlegesnek a geometriai középpontjában kell metszenie azt. bármely geometriai középpontjaa háromszög a mediánjainak metszéspontja. A geometriai középpont egybeesik az alakzat tömegközéppontjával a fizikában.

Ha egy szabályos (egyenlő oldalú) háromszög egy egyenes gúla alján fekszik, akkor szabályos háromszögnek nevezzük. Egy szabályos piramisban minden oldal egyenlő egymással, és egyenlő oldalú háromszögek.

Ha egy szabályos gúla magassága olyan, hogy oldalsó háromszögei egyenlő oldalúak, akkor tetraédernek nevezzük. Egy tetraéderben mind a négy lap egyenlő egymással, így mindegyik alapnak tekinthető.

Piramiselemek

Ezek az elemek magukban foglalják az alakzat lapjait vagy oldalait, éleit, csúcsait, magasságát és apotémjeit.

Amint látható, a háromszög alakú piramis minden oldala háromszög. Számuk 4 (3 oldal és egy alján).

A csúcsok a három háromszög oldalának metszéspontjai. Nem nehéz kitalálni, hogy a vizsgált piramishoz 4 van (3 a piramis alapjához, 1 pedig a tetejéhez tartozik).

Az élek meghatározhatók olyan egyenesekként, amelyek két háromszög old alt metszenek, vagy olyan vonalakként, amelyek minden két csúcsot összekötnek. Az élek száma az alapcsúcsok számának kétszeresének felel meg, azaz egy háromszög alakú gúla esetében 6 (3 él az alaphoz tartozik, és 3 élt az oldallapok alkotnak).

A magasság, amint fentebb megjegyeztük, a piramis tetejétől az aljáig húzott merőleges hossza. Ha ebből a csúcsból magasságokat húzunk a háromszögalap mindkét oldalára,akkor apotemeknek (vagy apotemeknek) fogják nevezni őket. Így a háromszög alakú piramisnak egy magassága és három apotémája van. Ez utóbbiak egyenlőek egymással egy szabályos piramis esetében.

A piramis alapja és területe

Mivel a vizsgált ábra alapja általában egy háromszög, területének kiszámításához elegendő megtalálni a magasságát h_o és az alap oldalának hosszát. a, amelyen le van engedve. Az alap S_o képlete a következő:

S_o=1/2h_oa

Ha az alap háromszöge egyenlő oldalú, akkor a háromszöggúla alapterületét a következő képlettel számítjuk ki:

S_o=√3/4a²

Azaz az S_oterületet egyértelműen a háromszögalap a oldalának hossza határozza meg.

Az ábra oldala és teljes területe

Mielőtt megvizsgálnánk egy háromszög alakú piramis területét, célszerű bemutatni annak fejlődését. Az alábbi képen látható.

Ennek a négy háromszögből alkotott sweepnek a területe a piramis teljes területe. Az egyik háromszög az alapnak felel meg, aminek a figyelembe vett értékének képletét fentebb írtuk. Három oldalsó háromszög alakú lap együtt alkotja az ábra oldalsó területét. Ezért ennek az értéknek a meghatározásához elegendő mindegyikre alkalmazni a fenti képletet egy tetszőleges háromszögre, majd összeadni a három eredményt.

Ha a piramis helyes, akkor a számításAz oldalsó felület megkönnyíti, mivel minden oldallap azonos egyenlő oldalú háromszög. Jelölje h_baz apotém hosszát, ekkor az S_b oldalfelület területe a következőképpen határozható meg:

S_b=3/2ah_b

Ez a képlet a háromszög területének általános kifejezéséből következik. A 3-as szám azért jelent meg a számlálókban, mert a piramisnak három oldallapja van.

Apotema h_b egy szabályos piramisban kiszámítható, ha ismerjük a h ábra magasságát. A Pitagorasz-tételt alkalmazva a következőt kapjuk:

h_b=√(h²+ a²/12)

Nyilvánvalóan az ábra teljes felületének S területe egyenlő az oldal- és alapterületeinek összegével:

S=S_o+ S_b

Egy szabályos piramishoz, az összes ismert értéket helyettesítve, a következő képletet kapjuk:

S=√3/4a²+ 3/2a√(h²+ a ²/12)

Egy háromszög alakú piramis területe csak az alapja oldalának hosszától és a magasságától függ.

Példaprobléma

Ismert, hogy a háromszög alakú gúla oldaléle 7 cm, az alap oldala pedig 5 cm. Meg kell találni az ábra felületét, ha tudod, hogy a gúla szabályos.

Használjon általános egyenlőséget:

S=S_o+ S_b

A terület S_o egyenlő:

S_o=√3/4a² =√3/45^{2 ≈10, 825 cm}2.

Az oldalsó felület meghatározásához meg kell találnia az apotémát. Nem nehéz kimutatni, hogy az a_b oldalél hosszán keresztül a következő képlet határozza meg:

h_b=√(a_b²- a^{2 /4)=√(7} 2^{- 5}2^{/4) ≈ 6,538 cm.}

Akkor az S_b területe:

S_b=3/2ah_b=3/256, 538=49,035 cm2.

A piramis teljes területe:

S=S_o+ S_b=10,825 + 49,035=59,86 cm².

Megjegyezzük, hogy a feladat megoldása során nem használtuk a gúlamagasság értékét a számításoknál.