A prizma egy poliéder vagy poliéder, amelyet a szilárd geometria iskolai kurzusában tanulnak. Ennek a poliédernek az egyik fontos tulajdonsága a térfogata. Nézzük meg a cikkben, hogyan számítható ki ez az érték, és adjuk meg a prizmák térfogatának képleteit - szabályos négyszögletű és hatszögletű.
Prizma a sztereometriában
Ezen az ábrán egy poliédert értünk, amely két párhuzamos síkban elhelyezkedő azonos sokszögből és több paralelogrammából áll. Bizonyos típusú prizmák esetében a paralelogrammák téglalap alakú négyszögeket vagy négyzeteket ábrázolhatnak. Az alábbiakban egy úgynevezett ötszögű prizma látható.
A fenti ábrán látható figura felépítéséhez vegyél egy ötszöget, és hajtsd végre annak párhuzamos átvitelét egy bizonyos távolságra a térben. Két ötszög oldalait paralelogrammákkal összekötve megkapjuk a kívánt prizmát.
Minden prizma lapokból, csúcsokból és élekből áll. A prizma csúcsaia piramistól eltérően egyenlőek, mindegyik a két alap valamelyikére vonatkozik. Az élek és az élek kétféleek: azok, amelyek az alapokhoz tartoznak, és azok, amelyek az oldalakhoz tartoznak.
A prizmák többféle típusúak (helyes, ferde, domború, egyenes, homorúak). Nézzük meg később a cikkben, hogy milyen képlettel számítjuk ki a prizma térfogatát, figyelembe véve az ábra alakját.
Általános kifejezés a prizma térfogatának meghatározásához
Függetlenül attól, hogy a vizsgált alak melyik típushoz tartozik, legyen az egyenes vagy ferde, szabályos vagy szabálytalan, létezik egy univerzális kifejezés, amely lehetővé teszi a térfogatának meghatározását. A téralak térfogata az a térrész, amely az arcok közé záródik. A prizma térfogatának általános képlete:
V=So × h.
Itt So az alap területét jelöli. Emlékeztetni kell arra, hogy egy alapról beszélünk, és nem kettőről. A h érték a magasság. A vizsgált ábra magassága az azonos alapjai közötti távolságot jelenti. Ha ez a távolság egybeesik az oldalbordák hosszával, akkor egyenes prizmáról beszélünk. Egy egyenes ábrán minden oldal téglalap.
Így, ha egy prizma ferde és szabálytalan alapsokszögű, akkor a térfogatának kiszámítása bonyolultabbá válik. Ha az ábra egyenes, akkor a térfogat számítása csak az So.
alapterületének meghatározására csökken.
Szabályos alakzat térfogatának meghatározása
Szabályos minden olyan prizma, amely egyenes, sokszög alapja van, oldalai és szögei egyenlők egymással. Ilyen szabályos sokszögek például egy négyzet és egy egyenlő oldalú háromszög. Ugyanakkor a rombusz nem szabályos alakzat, mivel nem minden szöge egyenlő.
A szabályos prizma térfogatának képlete egyértelműen a V általános kifejezéséből következik, amelyet a cikk előző bekezdésében írtunk. A megfelelő képlet megírása előtt meg kell határozni a megfelelő alap területét. Anélkül, hogy matematikai részletekbe mennénk, bemutatjuk a jelzett terület meghatározásának képletét. Univerzális bármely szabályos n-szöghez, és a következő formájú:
S=n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
Amint a kifejezésből látható, az Sn terület két paraméter függvénye. Egy n egész szám értéket vehet fel 3-tól a végtelenig. Az a érték az n-szög oldalának hossza.
Egy ábra térfogatának kiszámításához csak az S területet kell megszorozni a h magassággal vagy a b oldalél hosszával (h=b). Ennek eredményeként a következő munkaképlethez jutunk:
V=n / 4 × ctg (pi / n) × a2 × h.
Vegyük figyelembe, hogy egy tetszőleges típusú prizma térfogatának meghatározásához több mennyiséget is ismerni kell (az alap oldalainak hossza, magassága, az ábra kétszöge), de a V érték kiszámításához egy szabályos prizma, csak két lineáris paramétert kell ismernünk, például a és h.
Egy négyszögletes szabályos prizma térfogata
A négyszög alakú prizmát paralelepipedonnak nevezzük. Ha minden lapja egyenlő és négyzet, akkor egy ilyen alak egy kocka lesz. Minden tanuló tudja, hogy egy téglalap alakú paralelepipedon vagy kocka térfogatát három különböző oldalának (hosszúság, magasság és szélesség) szorzásával határozzuk meg. Ez a tény a szabályos alak írott általános térfogati kifejezéséből következik:
V=n/4 × ctg (pi / n) × a2 × h=4/4 × ctg (pi / 4) × a2× h=a2 × h.
Itt a 45° kotangense egyenlő 1-gyel. Vegye figyelembe, hogy a h magasság és az a alap oldalhosszának egyenlősége automatikusan a kocka térfogatának képletéhez vezet.
Hatszögletű szabályos prizma térfogata
Most alkalmazza a fenti elméletet egy hatszögletű alappal rendelkező alak térfogatának meghatározásához. Ehhez csak be kell cserélnie az n=6 értéket a képletben:
V=6/4 × ctg (pi / 6) × a2 × h=3 × √3/2 × a2 × h.
Az írott kifejezés önállóan is megszerezhető az S univerzális képlet használata nélkül. Ehhez fel kell osztania a szabályos hatszöget hat egyenlő oldalú háromszögre. Mindegyik oldala egyenlő lesz a-val. Egy háromszög területe a következőnek felel meg:
S3=√3/4 × a2.
Ezt az értéket megszorozva a háromszögek számával (6) és a magassággal, a fenti képletet kapjuk a térfogatra.
