Hatszögletű prizma és főbb jellemzői

2024 Szerző: Angel Austin | [email protected]. Utoljára módosítva: 2024-01-02 17:48

A térgeometria a prizmák tanulmányozása. Fontos jellemzőik a bennük lévő térfogat, a felület és az alkotóelemek száma. A cikkben ezeket a tulajdonságokat megvizsgáljuk egy hatszögletű prizmánál.

Melyik prizmáról beszélünk?

A hatszögletű prizma két sokszögből, hat oldalú és hat szögből, valamint hat paralelogrammából áll, amelyek a megjelölt hatszögeket egyetlen geometriai alakzatba kötik össze.

Az ábra egy példát mutat erre a prizmára.

A pirossal jelölt hatszöget az ábra alapjának nevezzük. Nyilvánvaló, hogy bázisainak száma kettő, és mindkettő azonos. A prizma sárgászöldes lapjait oldalainak nevezzük. Az ábrán négyzetekkel vannak ábrázolva, de általában paralelogrammák.

A hatszögletű prizma lehet ferde és egyenes. Az első esetben az alap és az oldalak közötti szögek nem egyenesek, a másodikban 90o. Ezenkívül ez a prizma lehet helyes és helytelen. Szabályos hatszögletűa prizmának egyenesnek kell lennie, és szabályos hatszögletűnek kell lennie az alján. Az ábrán látható fenti prizma kielégíti ezeket a követelményeket, ezért helyesnek nevezzük. A továbbiakban a cikkben általános esetként csak a tulajdonságait vizsgáljuk.

Elemek

Minden prizma fő elemei az élek, lapok és csúcsok. Ez alól a hatszögletű prizma sem kivétel. A fenti ábra lehetővé teszi ezen elemek számának megszámlálását. Tehát 8 lapot vagy old alt kapunk (két alap és hat oldalsó paralelogramma), a csúcsok száma 12 (6 csúcs minden alaphoz), egy hatszögletű prizma éleinek száma 18 (hat oldalsó és 12 az alapoknál)..

Az 1750-es években Leonhard Euler (svájci matematikus) minden olyan poliéderre megállapított, amely egy prizmát is tartalmaz, a jelzett elemek számai közötti matematikai összefüggést. Ez a kapcsolat így néz ki:

élek száma=lapok száma + csúcsok száma - 2.

A fenti számok megfelelnek ennek a képletnek.

Prizma átlói

Egy hatszögletű prizma összes átlója két típusra osztható:

• azok, amelyek az arcok síkjában fekszenek;
• azok, amelyek az ábra teljes kötetéhez tartoznak.

Az alábbi képen ezek az átlók láthatók.

Látható, hogy D₁ az oldalátló, D₂ és D₃ a teljes prizma átlói, D₄ és D_{5 - az alap átlói.}

Az oldalak átlóinak hossza megegyezik egymással. Könnyű kiszámítani őket a jól ismert Pitagorasz-tétel segítségével. Legyen a a hatszög oldalának hossza, b az oldalélének hossza. Ekkor az átló hossza:

D₁=√(a² + b^2).

Az

Diagonal D₄ szintén könnyen meghatározható. Ha felidézzük, hogy egy szabályos hatszög egy a sugarú körbe illeszkedik, akkor D_{4 ennek a körnek az átmérője, azaz a következő képletet kapjuk:}

D_4=2a.

Diagonal D₅alapokat valamivel nehezebb megtalálni. Ehhez tekintsünk egy ABC egyenlő oldalú háromszöget (lásd az ábrát). Számára AB=BC=a, az ABC szög 120^{o. Ha ebből a szögből csökkentjük a magasságot (ez lesz a felező és a medián is), akkor az AC alap fele egyenlő lesz:}

AC/2=ABsin(60o)=a√3/2.

A váltakozó áramú oldal a D_{5 átlója, így kapjuk:}

D_5=AC=√3a.

Most hátra van, hogy megkeressük egy szabályos hatszögletű prizma D₂és D_{3átlóit. Ehhez látnia kell, hogy ezek a megfelelő derékszögű háromszögek hipotenuszai. A Pitagorasz-tételt használva a következőt kapjuk:}

D₂=√(D₄²+ b^2)=√(4a2^{+ b}2^);

D₃=√(D₅²+ b^2)=√(3a2^{+ b}2^).

Így tehát a és b bármely értékének legnagyobb átlója a következőD_2.

Felület

Ahhoz, hogy megértsük, mi forog kockán, a legegyszerűbb, ha megvizsgáljuk ennek a prizmának a fejlesztését. A képen látható.

Látható, hogy a vizsgált ábra minden oldalának területének meghatározásához külön kell kiszámítani a négyszög területét és a hatszög területét, majd meg kell szorozni őket a megfelelő egész számokkal, amelyek egyenlőek a prizmában lévő egyes n-szögek számával, és adjuk össze az eredményeket. Hatszögek 2, téglalapok 6.

Egy téglalap területére a következőt kapjuk:

S_1=ab.

Ezután az oldalfelület:

S_2=6ab.

A hatszög területének meghatározásához a legegyszerűbb a megfelelő képlet használata, amely így néz ki:

S=n/4a2ctg(pi/n).

A 6-tal egyenlő n számot behelyettesítve ebbe a kifejezésbe, egy hatszög területét kapjuk:

S₆=6/4a²ctg(pi/6)=3√3/2a 2^.

Ezt a kifejezést meg kell szorozni kettővel, hogy megkapjuk a prizma alapjainak területét:

S_os=3√3a^2.

Még össze kell adni S_os és S_{2, hogy megkapjuk az ábra teljes felületét:}

S=S_os+ S₂=3√3a^{2+ 6ab=3a(√3a + 2b).}

Prizma hangerő

A képlet utánHatszögletű alapterületre számítva, a kérdéses prizmában lévő térfogat kiszámítása olyan egyszerű, mint a körte meghéjázása. Ehhez csak meg kell szoroznia az egyik alap (hatszög) területét az ábra magasságával, amelynek hossza megegyezik az oldalél hosszával. A következő képletet kapjuk:

V=S₆b=3√3/2a^2b.

Megjegyzendő, hogy az alap és a magasság szorzata abszolút bármely prizma térfogatának értékét adja, beleértve a ferde prizmát is. Ez utóbbi esetben azonban a magasság kiszámítása bonyolult, mivel az már nem lesz egyenlő az oldalborda hosszával. Ami egy szabályos hatszögletű prizmát illeti, a térfogatának értéke két változó függvénye: az a és b oldal.