Amikor fizikai problémákat kell megoldania a tárgyak mozgásával kapcsolatban, gyakran hasznosnak bizonyul az impulzusmegmaradás törvényének alkalmazása. Hogy mekkora lendületet ad a test lineáris és körkörös mozgásának, és mi a lényege ennek az értéknek a megmaradási törvényének, arról a cikkben lesz szó.
A lineáris lendület fogalma
Történelmi adatok azt mutatják, hogy ezt az értéket először Galileo Galilei vette figyelembe tudományos munkáiban a 17. század elején. Ezt követően Isaac Newton képes volt harmonikusan integrálni az impulzus fogalmát (a lendület pontosabb neve) a tárgyak térbeli mozgásának klasszikus elméletébe.
Jelölje a lendületet p¯-ként, ekkor a számítási képlet a következőképpen lesz felírva:
p¯=mv¯.
Itt m a mozgás tömege, v¯ a mozgás sebessége (vektorértéke). Ez az egyenlőség azt mutatja, hogy a mozgás mértéke egy objektumra jellemző sebesség, ahol a tömeg szorzótényező szerepet játszik. Mozgásszámegy vektormennyiség, amely a sebességgel azonos irányba mutat.
Intuitív módon minél nagyobb a mozgás sebessége és a test tömege, annál nehezebb megállítani, vagyis annál nagyobb a mozgási energiája.
A mozgás mennyisége és változása
Kitalálható, hogy a test p¯ értékének megváltoztatásához erőt kell alkalmazni. Hagyja, hogy az F¯ erő a Δt időintervallumban fejtse ki hatását, ekkor a Newton-törvény lehetővé teszi az egyenlőség felírását:
F¯Δt=ma¯Δt; ezért F¯Δt=mΔv¯=Δp¯.
A Δt időintervallum és az F¯ erő szorzatával egyenlő értéket az erő impulzusának nevezzük. Mivel kiderül, hogy egyenlő az impulzus változásával, az utóbbit gyakran egyszerűen lendületnek nevezik, ami arra utal, hogy valamilyen F¯ külső erő hozta létre.
Így a lendület változásának oka a külső erő lendülete. A Δp¯ értéke egyaránt vezethet p¯ értékének növekedéséhez, ha az F¯ és p¯ közötti szög hegyes, és a p¯ modulusának csökkenéséhez, ha ez a szög tompaszög. A legegyszerűbb esetek a test gyorsulása (F¯ és p¯ közötti szög nulla) és lassulása (az F¯ és p¯ vektorok közötti szög 180o).
Ha a lendület megmarad: törvény
Ha a testrendszer nemkülső erők hatnak, és minden folyamatot csak az összetevőinek mechanikai kölcsönhatása korlátoz, akkor az impulzus minden összetevője tetszőleges ideig változatlan marad. Ez a testek lendületének megmaradásának törvénye, amelyet matematikailag a következőképpen írunk le:
p¯=∑ipi¯=const vagy
∑ipix=const; ∑ipiy=const; ∑ipiz=konst.
Az i alsó index egy egész szám, amely a rendszer objektumát számba veszi, az x, y, z indexek pedig leírják az impulzus-összetevőket a derékszögű téglalaprendszer minden koordinátatengelyéhez.
A gyakorlatban gyakran szükséges egydimenziós problémák megoldása a testek ütközéséhez, amikor a kezdeti feltételek ismertek, és meg kell határozni a rendszer becsapódás utáni állapotát. Ebben az esetben a lendület mindig megmarad, ami a mozgási energiáról nem mondható el. Ez utóbbi az ütközés előtt és után csak egyetlen esetben marad változatlan: abszolút rugalmas kölcsönhatás esetén. Két v1 és v2 sebességgel mozgó test ütközésének esetéreaz impulzusmegmaradás képlete a következő formában lesz:
m1 v1 + m2 v 2=m1 u1 + m2 u 2.
Itt az u1 és u2 sebességek jellemzik a testek becsapódás utáni mozgását. Megjegyzendő, hogy a megmaradási törvény ilyen formájában figyelembe kell venni a sebességek előjelét: ha egymás felé irányulnak, akkor egyet kell vennipozitív és a másik negatív.
Tökéletesen rugalmatlan ütközés esetén (két test összetapad ütközés után) az impulzusmegmaradás törvénye a következő formában van:
m1 v1 + m2 v 2=(m1+ m2)u.
A p¯ megmaradási törvényével kapcsolatos probléma megoldása
Oldjuk meg a következő feladatot: két golyó egymás felé gördül. A golyók tömege azonos, sebességük 5 m/s és 3 m/s. Feltételezve, hogy abszolút rugalmas ütközésről van szó, meg kell találni a golyók sebességét utána.
Az egydimenziós eset impulzusmegmaradási törvényét használva, és figyelembe véve, hogy a mozgási energia megmarad az ütközés után, ezt írjuk:
v1 - v2=u1 + u 2;
v12 + v22=u12 + u22.
Itt azonnal lecsökkentettük a golyók tömegét az egyenlőségük miatt, és figyelembe vettük azt is, hogy a testek egymás felé mozognak.
Könnyebb a rendszer megoldásának folytatása, ha az ismert adatokat helyettesíti. Ezt kapjuk:
5 - 3 - u2=u1;
52+ 32=u12+ u22.
Az u1 behelyettesítésével a második egyenletbe a következőt kapjuk:
2 - u2=u1;
34=(2 - u2)2+u2 2=4 - 4u2 + 2u22; ennélfogva,u22- 2u2 - 15=0.
Megkaptuk a klasszikus másodfokú egyenletet. Megoldjuk a diszkriminánson keresztül, ezt kapjuk:
D=4-4(-15)=64.
u2=(2 ± 8) / 2=(5; -3) m/c.
Két megoldásunk van. Ha behelyettesítjük őket az első kifejezésbe, és meghatározzuk az u1, akkor a következő értéket kapjuk: u1=-3 m/s, u 2=5 m/s; u1=5 m/s, u2=-3 m/s. A második számpár a feladat feltételében van megadva, tehát nem felel meg a becsapódás utáni sebességek valós eloszlásának.
Így csak egy megoldás marad: u1=-3 m/s, u2=5 m/s. Ez a furcsa eredmény azt jelenti, hogy egy központi rugalmas ütközésben két egyenlő tömegű golyó egyszerűen felcseréli a sebességét.
A lendület pillanata
A fentiekben elmondottak a lineáris mozgástípusra utalnak. Kiderült azonban, hogy a testek egy bizonyos tengely körüli körkörös elmozdulása esetén is bevezethetők hasonló mennyiségek. A szögimpulzus, amelyet szögimpulzusnak is neveznek, az anyagi pontot a forgástengellyel összekötő vektor és a pont impulzusának szorzataként számítjuk ki. Vagyis a képlet a következőképpen zajlik:
L¯=r¯p¯, ahol p¯=mv¯.
A lendület a p¯-hoz hasonlóan egy vektor, amely merőleges az r¯ és p¯ vektorokra épített síkra.
Az L¯ értéke a forgó rendszer fontos jellemzője, mivel ez határozza meg a benne tárolt energiát.
A lendület pillanata és a természetvédelmi törvény
A szögimpulzus megmarad, ha nem hat külső erő a rendszerre (általában azt mondják, hogy nincs erőnyomaték). Az előző bekezdésben szereplő kifejezés egyszerű átalakításokkal a gyakorlat számára kényelmesebb formában írható:
L¯=Iω¯, ahol I=mr2 az anyagi pont tehetetlenségi nyomatéka, ω¯ a szögsebesség.
A kifejezésben megjelenő I tehetetlenségi nyomaték pontosan ugyanazt jelenti forgás esetén, mint a lineáris mozgás szokásos tömege.
Ha van a rendszerben valamilyen belső átrendeződés, amiben I változik, akkor ω¯ sem marad állandó. Ráadásul mindkét fizikai mennyiség változása úgy történik, hogy az alábbi egyenlőség érvényben marad:
I1 ω1¯=I2 ω 2¯.
Ez az L¯ szögimpulzus megmaradásának törvénye. Megnyilvánulását mindenki megfigyelte, aki legalább egyszer részt vett baletten vagy műkorcsolyázni, ahol a sportolók forgatással piruettet adnak elő.
