A planimetria a geometriának egy olyan ága, amely a síkfigurák tulajdonságait vizsgálja. Ide tartoznak nemcsak a jól ismert háromszögek, négyzetek, téglalapok, hanem egyenesek és szögek is. A planimetriában vannak olyan fogalmak is, mint a körben lévő szögek: középpontos és beírt. De mit jelentenek ezek?
Mi a középponti szög?
Ahhoz, hogy megértsük, mi a középponti szög, meg kell határoznia egy kört. A kör egy adott ponttól (a kör középpontjától) egyenlő távolságra lévő pontok összessége.
Nagyon fontos megkülönböztetni a körtől. Emlékeztetni kell arra, hogy a kör egy zárt vonal, a kör pedig egy általa határolt sík része. A körbe sokszög vagy szög írható be.
A középponti szög olyan szög, amelynek csúcsa egybeesik a kör középpontjával, és amelynek oldalai két pontban metszik a kört. Azt az ívet, amelyet a szög metszéspontokkal határol, ívnek nevezzük, amelyen az adott szög nyugszik.
Vegyük fontolóra az 1. példát.
A képen az AOB szög a középpontban van, mivel a szög csúcsa és a kör középpontja egy O pont. Az AB íven nyugszik, amely nem tartalmazza a C pontot.
Miben különbözik a beírt szög a középponttól?
A központi szögek mellett azonban vannak beírt szögek is. mi a különbségük? Csakúgy, mint a középső, a körbe írt szög egy bizonyos íven nyugszik. De a csúcsa nem esik egybe a kör középpontjával, hanem azon fekszik.
Vegyük a következő példát.
Az ACB szöget olyan szögnek nevezzük, amely az O pontban középpontos körbe van beírva. A C pont a körhöz tartozik, vagyis azon fekszik. A szög az AB íven nyugszik.
Mi a középponti szög
A geometriai problémák sikeres kezeléséhez nem elegendő különbséget tenni a beírt és a középponti szögek között. Általános szabály, hogy ezek megoldásához pontosan tudnia kell, hogyan találja meg a kör középponti szögét, és ki kell tudnia számítani az értékét fokban.
Tehát a középponti szög egyenlő annak az ívnek a mértékével, amelyen nyugszik.
A képen az AOB szög a 66°-os AB íven nyugszik. Tehát az AOB szög is egyenlő 66°-kal.
Így az egyenlő íveken alapuló központi szögek egyenlőek.
Az ábrán a DC ív egyenlő az AB ívvel. Tehát az AOB szög egyenlő a DOC szöggel.
Hogyan találhatunk beírt szöget
Úgy tűnhet, hogy a körbe írt szög egyenlő a középső szöggel,amely ugyanarra az ívre támaszkodik. Ez azonban durva hiba. Valójában már csak a rajzot nézve és ezeket a szögeket egymással összehasonlítva is láthatja, hogy a fokmértékeik eltérőek lesznek. Tehát mekkora a körbe írt szög?
Egy beírt szög fokmérője annak az ívnek a fele, amelyen nyugszik, vagy a középponti szög fele, ha ugyanarra az ívre támaszkodnak.
Vegyünk egy példát. Az ACB szög egy 66°-os íven alapul.
Tehát a szög DIA=66°: 2=33°
Nézzük meg ennek a tételnek néhány következményét.
- A beírt szögek, ha ugyanazon az íven, húron vagy egyenlő íveken alapulnak, egyenlőek.
- Ha a beírt szögek ugyanazon a húron alapulnak, de csúcsaik annak ellentétes oldalán helyezkednek el, akkor az ilyen szögek fokszámainak összege 180°, mivel ebben az esetben mindkét szög íven alapul, melynek teljes fokmérője 360° (teljes kör), 360°: 2=180°
- Ha a beírt szög az adott kör átmérőjén alapul, a fokmértéke 90°, mivel az átmérő 180°-nak megfelelő ívet vet ki, 180°: 2=90°
- Ha a kör középső és beírt szögei ugyanazon az íven vagy húron alapulnak, akkor a beírt szög egyenlő a középpont felével.
Hol találhatók problémák ebben a témában? Típusaik és megoldásaik
Mivel a kör és tulajdonságai a geometria, különösen a planimetria egyik legfontosabb része, a körbe írt és középponti szögek széles körben és részletesen tárgy alt téma.iskolai tantervben tanult. A tulajdonságaiknak szentelt feladatok a fő államvizsgában (OGE) és az egységes államvizsgában (USE) találhatók. Általános szabály, hogy ezeknek a problémáknak a megoldásához meg kell találnia a kör szögeit fokban.
A szögek ugyanazon az íven alapulnak
Ez a fajta probléma talán az egyik legegyszerűbb, mivel a megoldáshoz mindössze két egyszerű tulajdonságot kell ismerni: ha mindkét szög beírt és ugyanarra a húrra támaszkodik, akkor egyenlőek, ha az egyik középső, akkor a megfelelő beírt szög ennek a felével egyenlő. Megoldásuk során azonban rendkívül óvatosnak kell lenni: néha nehéz észrevenni ezt a tulajdonságot, és a hallgatók ilyen egyszerű problémák megoldásakor zsákutcába kerülnek. Vegyünk egy példát.
1. probléma
Adott egy kör, amelynek középpontja az O pont. Az AOB szög 54°. Keresse meg a DIA szög fokszámát.
Ez a feladat egy lépésben megoldódik. Az egyetlen dolog, amire szüksége van ahhoz, hogy gyorsan megtalálja a választ, az az, hogy észreveszi, hogy az ív, amelyen mindkét sarok nyugszik, közös. Ezt látva alkalmazhatja a már ismert tulajdonságot. Az ACB szög az AOB szög fele. Szóval
1) AOB=54°: 2=27°.
Válasz: 54°.
Szögek ugyanazon kör különböző ívei alapján
Néha az ív mérete, amelyen a szükséges szög nyugszik, nincs közvetlenül meghatározva a probléma feltételei között. Kiszámításához elemeznie kell ezeknek a szögeknek a nagyságát, és össze kell hasonlítania a kör ismert tulajdonságaival.
2. probléma
O középpontú körben AOC szög120°, az AOB szög pedig 30°. Keresd meg a sarkot ÖN.
Először is érdemes elmondani, hogy ez a probléma megoldható az egyenlő szárú háromszögek tulajdonságaival, de ehhez több matematikai műveletre lesz szükség. Ezért itt a megoldást a kör középponti és beírt szögeinek tulajdonságait felhasználva elemezzük.
Tehát az AOC szög az AC íven nyugszik és középponti, ami azt jelenti, hogy az AC ív egyenlő az AOC szöggel.
AC=120°
Ugyanígy az AOB szög az AB íven nyugszik.
AB=30°.
Ennek és a teljes kör fokszámának (360°) ismeretében könnyen megtalálhatja a BC ív nagyságát.
BC=360° - AC - AB
BC=360° - 120° - 30°=210°
A CAB szög csúcsa, az A pont a körön fekszik. Ezért a CAB szög beírt és egyenlő a CB ív felével.
CAB szög=210°: 2=110°
Válasz: 110°
Az ívarányokon alapuló problémák
Egyes feladatok egyáltalán nem tartalmaznak adatokat a szögekről, ezért csak a kör ismert tételei és tulajdonságai alapján kell keresni.
1. probléma
Keresse meg a körbe írt szöget, amelyet az adott kör sugarával egyenlő húr támaszt meg.
Ha gondolatban vonalakat rajzol, amelyek összekötik a szakasz végeit a kör középpontjával, egy háromszöget kapunk. Megvizsgálva láthatja, hogy ezek az egyenesek a kör sugarai, ami azt jelenti, hogy a háromszög minden oldala egyenlő. Tudjuk, hogy egy egyenlő oldalú háromszög minden szögeegyenlők 60°-kal. Ezért a háromszög csúcsát tartalmazó AB ív egyenlő 60°-kal. Innen megtaláljuk az AB ívet, amelyen a kívánt szög alapul.
AB=360° - 60°=300°
ABC szög=300°: 2=150°
Válasz: 150°
2. probléma
Egy olyan körben, amelynek középpontja az O pontban van, az ívek 3:7 arányban állnak egymással. Keresse meg a kisebb beírt szöget.
A megoldáshoz az egyik részt X-nek jelöljük, ekkor az egyik ív 3X, a második pedig 7X. Tudva, hogy a kör fokszáma 360°, felírhatunk egy egyenletet.
3X + 7X=360°
10X=360°
X=36°
A feltételnek megfelelően kisebb szöget kell találnia. Nyilvánvaló, hogy ha a szög értéke egyenesen arányos azzal az ívvel, amelyen nyugszik, akkor a szükséges (kisebb) szög egy 3X-es ívnek felel meg.
Tehát a kisebb szög (36°3): 2=108°: 2=54°
Válasz: 54°
3. probléma
Egy körben, amelynek középpontja az O pontban van, az AOB szög 60°, a kisebb ív hossza pedig 50. Számítsa ki a nagyobb ív hosszát.
Egy nagyobb ív hosszának kiszámításához arányt kell alkotnia – hogyan viszonyul a kisebb ív a nagyobbhoz. Ehhez kiszámoljuk mindkét ív nagyságát fokban. A kisebb ív egyenlő a rajta fekvő szöggel. Fokmértéke 60°. A nagyobb ív egyenlő a kör fokszáma (egyenlő 360°-kal, egyéb adatoktól függetlenül) és a kisebb ív különbségével.
A nagy ív 360° - 60°=300°.
Mivel 300°: 60°=5, a nagyobb ív 5-szöröse a kisebbnek.
Nagy ív=505=250
Válasz: 250
Természetesen vannak mások ismegközelítések hasonló problémák megoldására, de mindegyik valamilyen módon a központi és beírt szögek, háromszögek és körök tulajdonságain alapul. Sikeres megoldásuk érdekében alaposan tanulmányoznia kell a rajzot és össze kell vetnie a feladat adataival, valamint képesnek kell lennie elméleti ismereteit a gyakorlatban is alkalmazni.
