Amikor a fizika a testek mozgását írja le, olyan mennyiségeket használ, mint az erő, a sebesség, a mozgás útja, a forgásszögek stb. Ez a cikk az egyik fontos mennyiségre összpontosít, amely egyesíti a kinematikai és a mozgásdinamikai egyenleteket. Nézzük meg részletesen, mi a teljes gyorsulás.
A gyorsulás fogalma
A modern nagysebességű autómárkák minden rajongója tudja, hogy számára az egyik fontos paraméter egy bizonyos sebességre (általában 100 km/h-ig) adott időn belüli gyorsulás. Ezt a gyorsulást a fizikában "gyorsulásnak" nevezik. Egy szigorúbb meghatározás így hangzik: a gyorsulás egy fizikai mennyiség, amely leírja magának a sebességnek a sebességét vagy időbeli változásának sebességét. Matematikailag ezt a következőképpen kell írni:
ā=dv¯/dt
A sebesség első deriváltjának kiszámításával meg fogjuk találni a pillanatnyi teljes gyorsulás értékét ā.
Ha a mozgás egyenletesen gyorsul, akkor ā nem függ az időtől. Ez a tény lehetővé teszi, hogy írjunkteljes átlagos gyorsulási érték ācp:
ācp=(v2¯-v1¯)/(t 2-t1).
Ez a kifejezés hasonló az előzőhöz, csak a testsebességeket sokkal hosszabb időtartamra veszik, mint a dt.
A sebesség és a gyorsulás összefüggésére vonatkozó írott képletek lehetővé teszik, hogy következtetéseket vonjunk le ezen mennyiségek vektoraira vonatkozóan. Ha a sebesség mindig érintőlegesen irányul a mozgási pályára, akkor a gyorsulás a sebességváltozás irányába irányul.
A mozgás pályája és a teljes gyorsulás vektora
A testek mozgásának tanulmányozásakor különös figyelmet kell fordítani a pályára, vagyis egy képzeletbeli vonalra, amely mentén a mozgás megtörténik. Általában a pálya görbe vonalú. Mentén haladva a test sebessége nemcsak nagyságrendben, hanem irányban is változik. Mivel a gyorsulás a sebességváltozás mindkét összetevőjét leírja, ezért két komponens összegeként ábrázolható. Ahhoz, hogy megkapjuk a teljes gyorsulás képletét az egyes összetevőkben, a test sebességét a pálya pontjában a következő formában ábrázoljuk:
v¯=vu¯
Itt u¯ a pályát érintő egységvektor, v a sebességmodell. A v¯ idő deriváltját véve és a kapott tagokat leegyszerűsítve a következő egyenlőséghez jutunk:
ā=dv¯/dt=dv/dtu¯ + v2/rre¯.
Az első tag a tangenciális gyorsulás összetevőjeā, a második tag a normál gyorsulás. Itt r a görbületi sugár, re¯ az egységnyi hosszúságú sugárvektor.
Így a teljes gyorsulásvektor az érintőleges és a normálgyorsulás egymásra merőleges vektorainak összege, tehát iránya eltér a vizsgált komponensek irányaitól és a sebességvektortól.
Az ā vektor irányának meghatározásának másik módja a testre ható erők tanulmányozása annak mozgása során. ā értéke mindig a teljes erő vektora mentén irányul.
A vizsgált komponensek kölcsönös merőlegessége at(tangenciális) és a (normál) lehetővé teszi, hogy egy kifejezést írjunk a teljes gyorsulás meghatározásához modul:
a=√(at2+ a2)
Egyenes, gyors mozgás
Ha a pálya egy egyenes, akkor a sebességvektor nem változik a test mozgása során. Ez azt jelenti, hogy a teljes gyorsulás leírásánál csak az at érintőleges komponensét kell ismerni. A normál komponens nulla lesz. Így az egyenes vonalú gyorsított mozgás leírása a következő képletre redukálódik:
a=at=dv/dt.
Ebből a kifejezésből következik az egyenes vonalú egyenletesen gyorsított vagy egyenletesen lassított mozgás összes kinematikai képlete. Írjuk fel őket:
v=v0± at;
S=v0t ± at2/2.
Itt a pluszjel a gyorsított mozgásnak, a mínuszjel pedig a lassú mozgásnak (fékezésnek) felel meg.
Egységes körkörös mozgás
Most nézzük meg, hogyan függ össze a sebesség és a gyorsulás a test tengely körüli forgása esetén. Tételezzük fel, hogy ez a forgás állandó ω szögsebességgel megy végbe, vagyis a test egyenlő időintervallumokban egyenlő szögekben fordul el. A leírt feltételek mellett a v lineáris sebesség abszolút értékét nem változtatja meg, vektora viszont folyamatosan változik. Az utolsó tény a normál gyorsulást írja le.
A normál gyorsulás képletét a már fentebb megadtuk. Írjuk le még egyszer:
a=v2/r
Ez az egyenlőség azt mutatja, hogy az at komponenssel ellentétben az a érték még állandó v sebességmodulus mellett sem egyenlő nullával. Minél nagyobb ez a modulus, és minél kisebb az r görbületi sugár, annál nagyobb a értéke. A normál gyorsulás megjelenése a centripetális erő hatásának köszönhető, amely a forgó testet a körvonalon tartja.
