A valószínűségi változók és változóik eloszlásfüggvényeinek megtalálásához tanulmányozni kell ennek a tudásterületnek az összes jellemzőjét. Számos különböző módszer létezik a kérdéses értékek megtalálására, beleértve a változó megváltoztatását és egy pillanat generálását. Az eloszlás olyan fogalom, amely olyan elemeken alapul, mint a diszperzió, a variációk. Ezek azonban csak a szórási amplitúdó mértékét jellemzik.
A valószínűségi változók fontosabb funkciói azok, amelyek kapcsolatban állnak egymással, függetlenek és egyenlő eloszlásúak. Például, ha X1 egy véletlenszerűen kiválasztott egyed súlya egy férfi populációból, X2 egy másiké, … és Xn egy további személy súlya a férfi populációból, akkor tudnunk kell, hogy a véletlenszerű függvény hogyan. X ki van osztva. Ebben az esetben a centrális határtételnek nevezett klasszikus tétel érvényes. Lehetővé teszi annak kimutatását, hogy nagy n esetén a függvény szabványos eloszlást követ.
Egy valószínűségi változó függvényei
A központi határtétel a figyelembe vett diszkrét értékek, például a binomiális és a Poisson-értékek közelítésére szolgál. A valószínűségi változók eloszlási függvényeit mindenekelőtt egy változó egyszerű értékein vizsgáljuk. Például, ha X egy folytonos valószínűségi változó, amelynek saját valószínűségi eloszlása van. Ebben az esetben azt vizsgáljuk, hogyan találhatjuk meg Y sűrűségfüggvényét két különböző megközelítéssel, nevezetesen az eloszlásfüggvény módszerrel és a változó változásával. Először is csak az egy az egyhez értékeket veszik figyelembe. Ezután módosítania kell a változó megváltoztatásának technikáját, hogy megtalálja a valószínűségét. Végül meg kell tanulnunk, hogy az inverz kumulatív eloszlásfüggvény hogyan segíthet olyan véletlen számok modellezésében, amelyek bizonyos szekvenciális mintákat követnek.
A figyelembe vett értékek elosztásának módja
Egy valószínűségi változó valószínűségi eloszlásfüggvényének módszere alkalmazható a sűrűségének meghatározására. Ennek a módszernek a használatakor a rendszer kumulatív értéket számít ki. Ezután differenciálásával megkaphatja a valószínűségi sűrűséget. Most, hogy megvan az elosztási függvény metódusa, nézhetünk még néhány példát. Legyen X egy folytonos valószínűségi változó bizonyos valószínűségi sűrűséggel.
Mi az x2 valószínűségi sűrűségfüggvénye? Ha megnézi vagy ábrázolja az y \u003d x2 függvényt (felül és jobbra), akkor észreveheti, hogy ez egy növekvő X és 0 <y<1. Most a vizsgált módszert kell használnia Y megtalálásához. Először is megtaláljuk a kumulatív eloszlásfüggvényt, csak differenciálni kell, hogy megkapjuk a valószínűségi sűrűséget. Ezzel a következőt kapjuk: 0<y<1. Az eloszlási módszert sikeresen implementálták Y megtalálására, amikor Y X növekvő függvénye. Egyébként f(y) 1-be integrálódik y felett.
Az utolsó példában nagy gondot fordítottunk arra, hogy a kumulatív függvényeket és a valószínűségi sűrűséget X-szel vagy Y-vel indexeljük, hogy jelezzük, melyik valószínűségi változóhoz tartoznak. Például Y kumulatív eloszlásfüggvényének megtalálásakor X-et kaptunk. Ha meg kell találni egy X valószínűségi változót és annak sűrűségét, akkor csak meg kell különböztetnie.
Változó változtatási technika
Legyen X folytonos valószínűségi változó, amelyet egy f (x) közös nevezőjű eloszlásfüggvény ad meg. Ebben az esetben, ha y értékét X=v (Y)-be helyezzük, akkor x értékét kapjuk, például v (y). Most meg kell kapnunk egy Y folytonos valószínűségi változó eloszlásfüggvényét. Ahol az első és a második egyenlőség a kumulatív Y definíciójából következik. A harmadik egyenlőség teljesül, mert a függvény azon része, amelyre u (X) ≦ y az is igaz, hogy X ≦ v (Y). Az utolsót pedig egy X folytonos valószínűségi változóban lévő valószínűség meghatározására végezzük. Most meg kell vennünk FY (y) deriváltját, Y kumulatív eloszlásfüggvényét, hogy megkapjuk az Y valószínűségi sűrűséget.
A csökkentési funkció általánosítása
Legyen X folytonos valószínűségi változó, amelynek közös f (x) értéke c1<x<c2 felett van definiálva. És legyen Y=u (X) X csökkenő függvénye, ahol inverz X=v (Y). Mivel a függvény folyamatos és csökkenő, van egy inverz X=v (Y) függvény.
A probléma megoldásához mennyiségi adatokat gyűjthet, és használhatja az empirikus kumulatív eloszlásfüggvényt. Ezzel az információval és a hozzájuk vonzódva kombinálnia kell az eszközök mintáit, a szórásokat, a médiaadatokat és így tovább.
Hasonlóan, még egy meglehetősen egyszerű valószínűségi modellnek is rengeteg eredménye lehet. Például, ha 332-szer feldob egy érmét. Ekkor a flipekből kapott eredmények száma nagyobb, mint a google-é (10100) – ez a szám, de nem kevesebb, mint 100 kvintimilliószorosa az ismert univerzum elemi részecskéinek. Nem érdekli az elemzés, amely minden lehetséges eredményre választ ad. Egy egyszerűbb fogalomra lenne szükség, mint például a fejek száma, vagy a farok leghosszabb ütése. Az érdeklődésre számot tartó kérdésekre való összpontosításhoz egy konkrét eredményt fogadnak el. A definíció ebben az esetben a következő: a valószínűségi változó egy valós függvény valószínűségi térrel.
Egy valószínűségi változó S tartományát néha állapottérnek is nevezik. Így ha X a kérdéses érték, akkor így N=X2, exp ↵X, X2 + 1, tan2 X, bXc stb. Ezek közül az utolsót, az X-et a legközelebbi egész számra kerekítve padlófüggvénynek nevezzük.
Elosztási funkciók
Miután egy x valószínűségi változó számára érdekes eloszlásfüggvényt határoztunk meg, a kérdés rendszerint a következő: "Mi az esélye, hogy X beleesik a B értékek valamelyik részhalmazába?". Például B={páratlan számok}, B={1-nél nagyobb} vagy B={2 és 7 között}, hogy jelezze azokat az eredményeket, amelyeknél X, az értékvalószínűségi változó, az A részhalmazban. Így a fenti példában az eseményeket a következőképpen írhatja le.
{X egy páratlan szám}, {X nagyobb, mint 1}={X> 1}, {X 2 és 7 között van}={2 <X <7}, hogy megfeleljen a B részhalmaz fenti három lehetőségének. A véletlen mennyiségek sok tulajdonsága nem kapcsolódik egy adott X-hez. Inkább attól függ, hogyan allokálja X értékeit. Ez egy definícióhoz vezet, amely így hangzik: az x valószínűségi változó eloszlásfüggvénye kumulatív, és kvantitatív megfigyelések határozzák meg.
Véletlenszerű változók és eloszlásfüggvények
Így kivonással kiszámíthatja annak valószínűségét, hogy egy x valószínűségi változó eloszlásfüggvénye értéket vesz fel az intervallumban. Gondoljon a végpontok felvételére vagy kizárására.
Diskrétnek nevezünk egy valószínűségi változót, ha véges vagy megszámlálhatóan végtelen állapottere van. Így X a fejek száma egy torzított érme három független feldobásakor, amely p valószínűséggel emelkedik. Meg kell találnunk egy diszkrét FX valószínűségi változó kumulatív eloszlásfüggvényét X-re. Legyen X a csúcsok száma egy három lapból álló gyűjteményben. Ekkor Y=X3 FX-en keresztül. Az FX 0-val kezdődik, 1-re végződik, és nem csökken, ha az x értékek nőnek. Egy X diszkrét valószínűségi változó kumulatív FX eloszlásfüggvénye állandó, kivéve az ugrásokat. Ugráskor az FX folyamatos. Bizonyítsa be az állítás helyességét!a definíció segítségével lehetséges az eloszlásfüggvény folytonossága a valószínűségi tulajdonságból. Ez így hangzik: egy állandó valószínűségi változónak van egy kumulatív FX-je, amely differenciálható.
Hogy ez megtörténhet, mondjunk egy példát: egységnyi sugarú célpont. Feltehetőleg. a dart egyenletesen oszlik el a megadott területen. Néhány λ> 0 esetén. Így a folytonos valószínűségi változók eloszlásfüggvényei simán nőnek. Az FX egy eloszlási függvény tulajdonságaival rendelkezik.
Egy férfi várja a buszmegállóban, amíg a busz megérkezik. Miután maga eldöntötte, hogy visszautasítja, ha a várakozás eléri a 20 percet. Itt meg kell találni a kumulatív eloszlási függvényt T-re. Az az idő, amikor egy személy még a buszpályaudvaron lesz, vagy nem indul el. Annak ellenére, hogy a kumulatív eloszlásfüggvény minden valószínűségi változóra definiálva van. Mindazonáltal más jellemzőket is gyakran használnak: a diszkrét változó tömegét és egy valószínűségi változó eloszlássűrűség-függvényét. Az érték általában e két érték valamelyikén keresztül kerül kiadásra.
Tömegfüggvények
Ezeket az értékeket a következő tulajdonságok veszik figyelembe, amelyek általános (tömeg) jellegűek. Az első azon a tényen alapul, hogy a valószínűségek nem negatívak. A második abból a megfigyelésből következik, hogy az összes x=2S halmaz, X állapottere, az X valószínűségi szabadságának egy partícióját képezi. Példa: egy torzított érme feldobása, amelynek kimenetele független. Csinálhatod továbbbizonyos műveleteket, amíg fel nem forgatja a fejét. Jelöljön X egy valószínűségi változót, amely megadja az első fej előtti farok számát. És p jelöli az adott művelet valószínűségét.
Tehát a tömegvalószínűségi függvény a következő jellemzőkkel rendelkezik. Mivel a kifejezések numerikus sorozatot alkotnak, X-et geometriai valószínűségi változónak nevezzük. Geometriai séma c, cr, cr2,.,,, crn-nek van egy összege. Ezért az sn-nek n 1 a határértéke. Ebben az esetben a végtelen összeg a határ.
A fenti tömegfüggvény egy geometriai sorozatot alkot egy aránnyal. Ezért az a és b természetes számok. Az eloszlásfüggvény értékeinek különbsége megegyezik a tömegfüggvény értékével.
A szóban forgó sűrűségértékeknek van egy definíciója: X egy valószínűségi változó, amelynek FX eloszlásának van deriváltja. A Z xFX (x)=fX (t) dt-1 FX-et valószínűségi sűrűségfüggvénynek nevezzük. X-et pedig folytonos valószínűségi változónak nevezzük. A számítás alaptételében a sűrűségfüggvény az eloszlás deriváltja. A valószínűségeket határozott integrálok kiszámításával számíthatja ki.
Mivel az adatokat több megfigyelésből gyűjtik, egyszerre több valószínűségi változót is figyelembe kell venni a kísérleti eljárások modellezéséhez. Ezért ezeknek az értékeknek a halmaza és a két X1 és X2 változó együttes eloszlása események megtekintését jelenti. A diszkrét valószínűségi változókhoz közös valószínűségi tömegfüggvények vannak definiálva. A folytonosaknál fX1, X2 számít, aholaz együttes valószínűségi sűrűség teljesül.
Független valószínűségi változók
Két X1 és X2 valószínűségi változó független, ha a hozzájuk tartozó bármely két esemény azonos. Szavakkal kifejezve annak a valószínűsége, hogy két esemény {X1 2 B1} és {X2 2 B2} egyidejűleg bekövetkezik, y, egyenlő a fenti változók szorzatával, hogy mindegyik egyenként fordul elő. A független diszkrét valószínűségi változók esetében létezik egy közös valószínűségi tömegfüggvény, amely a korlátozó iontérfogat szorzata. Független folytonos valószínűségi változók esetén az együttes valószínűségi sűrűségfüggvény a határsűrűség értékek szorzata. Végül megvizsgálunk n független megfigyelést x1, x2,.,,, xn ismeretlen sűrűség- vagy tömegfüggvényből fakadó f. Például egy ismeretlen paraméter egy exponenciális valószínűségi változó függvényében, amely leírja a busz várakozási idejét.
Valószínűségi változók utánzása
Ennek az elméleti területnek a fő célja, hogy megfelelő statisztikatudományi elveken alapuló következtetési eljárások kidolgozásához szükséges eszközöket biztosítson. Így a szoftverek egyik nagyon fontos felhasználási esete az a képesség, hogy pszeudoadatokat generálnak a tényleges információk utánzására. Ez lehetővé teszi az elemzési módszerek tesztelését és fejlesztését, mielőtt azokat valódi adatbázisokban kellene használni. Ez szükséges az adatok tulajdonságainak feltárásáhozmodellezés. Sok gyakran használt valószínűségi változócsaládhoz az R parancsokat ad ezek generálására. Más esetekben olyan módszerekre lesz szükség, amelyekkel közös eloszlású független valószínűségi változók sorozatát lehet modellezni.
Diszkrét valószínűségi változók és parancsminta. A minta parancs egyszerű és rétegzett véletlenszerű minták létrehozására szolgál. Ennek eredményeként, ha egy x sorozatot adunk meg, a minta(x, 40) 40 rekordot választ ki x-ből úgy, hogy minden 40-es méretű választásnak azonos a valószínűsége. Ez az alapértelmezett R parancsot használja a lekéréshez csere nélkül. Diszkrét valószínűségi változók modellezésére is használható. Ehhez meg kell adni egy állapotteret az x vektorban és az f tömegfüggvényben. A csere=TRUE hívás azt jelzi, hogy a mintavételezés a cserével együtt történik. Ezután n független valószínűségi változóból álló minta megadásához, amelyeknek közös f tömegfüggvénye van, az (x, n, csere=IGAZ, prob=f) mintát használjuk.
Meghatározta, hogy az 1 a legkisebb képviselt érték, a 4 pedig a legnagyobb. Ha a prob=f parancsot kihagyjuk, akkor a minta egységesen mintát vesz az x vektor értékeiből. A szimulációt az adatokat generáló tömegfüggvénnyel összevetve ellenőrizheti a kettős egyenlőségjelet (==). És újraszámolni azokat a megfigyeléseket, amelyek minden lehetséges értéket felvesznek x-re. Készíthetsz egy aszt alt. Ismételje meg ezt 1000-ig, és hasonlítsa össze a szimulációt a megfelelő tömegfüggvénnyel.
A valószínűségi transzformáció illusztrációja
Előszörszimulálja az u1, u2, valószínűségi változók homogén eloszlásfüggvényeit.,,, un a [0, 1] intervallumon. A számok körülbelül 10%-ának [0, 3, 0, 4] között kell lennie. Ez a szimulációk 10%-ának felel meg a [0, 28, 0, 38] intervallumon egy valószínűségi változó esetében az FX eloszlásfüggvénnyel. Hasonlóképpen, a véletlen számok körülbelül 10%-ának a [0, 7, 0, 8] intervallumban kell lennie. Ez 10%-os szimulációnak felel meg a valószínűségi változó [0, 96, 1, 51] intervallumán az FX eloszlásfüggvénnyel. Ezeket az értékeket az x tengelyen az FX inverzének vételével kaphatjuk meg. Ha X egy folytonos valószínűségi változó, melynek sűrűsége fX mindenhol pozitív, akkor az eloszlásfüggvény szigorúan növekszik. Ebben az esetben az FX-nek van egy inverz FX-1 függvénye, amelyet kvantilis függvényként ismerünk. FX (x) u csak akkor, ha x FX-1 (u). A valószínűségi transzformáció az U=FX (X) valószínűségi változó elemzéséből következik.
FX tartománya 0 és 1 között van. Nem lehet 0 alatti vagy 1 felett. 0 és 1 közötti u értékek esetén. Ha U szimulálható, akkor egy FX eloszlású valószínűségi változót kell megadni. kvantilis függvénnyel szimulálva. Vegyük a deriváltot, és nézzük meg, hogy az u sűrűség 1-en belül változik. Mivel az U valószínűségi változó sűrűsége állandó a lehetséges értékeinek intervallumában, a [0, 1] intervallumon egységesnek nevezzük. R-ben van modellezve a runif paranccsal. Az identitást valószínűségi transzformációnak nevezzük. A darts tábla példáján láthatja, hogyan működik. X 0 és 1 között, függvényeloszlás u=FX (x)=x2, és ebből az x=FX-1 (u) kvantilisfüggvény. Lehetőség van a dart panel középpontjától mért távolság független megfigyelései modellezésére, és ezáltal egységes U1, U2,. valószínűségi változók létrehozására.,, Un. Az eloszlási függvény és az empirikus függvény egy darts tábla eloszlásának 100 szimulációján alapul. Exponenciális valószínűségi változó esetén feltehetően u=FX (x)=1 - exp (- x), és ebből következően x=- 1 ln (1 - u). Néha a logika egyenértékű kijelentésekből áll. Ebben az esetben az argumentum két részét össze kell kapcsolni. A metszéspont azonossága mind a 2 {S i i} S esetében hasonló, valamilyen érték helyett. A Ci unió egyenlő az S állapottérrel, és minden pár kölcsönösen kizárja egymást. Mivel a Bi - három axiómára oszlik. Minden ellenőrzés a megfelelő P valószínűségen alapul. Bármely részhalmazhoz. Identitás használata annak biztosítására, hogy a válasz ne függjön attól, hogy az intervallumvégpontok szerepelnek-e.
Exponenciális függvény és változói
Minden esemény kimenetelére végül a valószínűségek folytonosságának második tulajdonságát használjuk, amelyet axiomatikusnak tekintünk. A valószínűségi változó függvényének eloszlási törvénye azt mutatja, hogy mindegyiknek megvan a maga megoldása és válasza.
