A valószínűségszámítás a matematika egy speciális ága, amelyet csak felsőoktatási intézmények hallgatói tanulnak. Szereted a számításokat és a képleteket? Nem fél a normális eloszlással, az együttes entrópiájával, a matematikai elvárásokkal és egy diszkrét valószínűségi változó varianciájával való megismerkedés kilátásaitól? Akkor ez a téma nagyon érdekelni fogja Önt. Ismerkedjünk meg a tudomány e szakaszának néhány legfontosabb alapfogalmával.
Idézze fel az alapokat
Még ha emlékszik is a valószínűségszámítás legegyszerűbb fogalmaira, ne hagyja figyelmen kívül a cikk első bekezdéseit. Az a tény, hogy az alapok világos ismerete nélkül nem fog tudni dolgozni az alábbiakban tárgy alt képletekkel.
Szóval, van valami véletlenszerű esemény, valami kísérlet. Az elvégzett cselekvések eredményeként többféle eredményt is elérhetünk – ezek egy része gyakoribb, mások kevésbé gyakoriak. Az esemény valószínűsége az egyik típusú ténylegesen beérkezett kimenetelek számának a lehetséges kimenetelek számához viszonyított aránya. Csak ennek a fogalomnak a klasszikus definíciójának ismeretében kezdheti el tanulmányozni a folytonos matematikai elvárását és varianciáját.valószínűségi változók.
Számtani átlag
Még az iskolában, a matematika órán elkezdtél a számtani átlaggal dolgozni. Ezt a fogalmat széles körben használják a valószínűségszámításban, ezért nem lehet figyelmen kívül hagyni. Számunkra jelenleg az a legfontosabb, hogy egy valószínűségi változó matematikai elvárásának és varianciájának képleteiben találkozunk vele.
Van egy számsorozatunk, és meg akarjuk találni a számtani átlagot. Csupán annyit kell tőlünk, hogy összegezzünk mindent, ami elérhető, és elosztjuk a sorozat elemeinek számával. Legyenek számaink 1-től 9-ig. Az elemek összege 45 lesz, és ezt az értéket elosztjuk 9-cel. Válasz: - 5.
Diszperzió
Tudományosan szólva, a variancia a kapott jellemzőértékek számtani átlagtól való eltéréseinek négyzete. Az egyiket nagy latin D betű jelöli. Mi szükséges a kiszámításához? A sorozat minden elemére kiszámítjuk a rendelkezésre álló szám és a számtani átlag különbségét, és négyzetre emeljük. Pontosan annyi érték lesz, ahány eredménye lehet annak az eseménynek, amelyet fontolgatunk. Ezután összefoglaljuk az összes kapott információt, és elosztjuk a sorozat elemeinek számával. Ha öt lehetséges kimenetelünk van, akkor osszuk el öttel.
A diszperziónak vannak olyan tulajdonságai is, amelyeket emlékezni kell ahhoz, hogy a problémák megoldása során alkalmazni tudja. Például, ha a valószínűségi változót X-szeresére növeljük, akkor a variancia a négyzet X-szeresével nő (azaz XX). Soha nem kisebb nullánál, és nem függ attólértékeket egyenlő értékkel felfelé vagy lefelé tolni. Független kísérleteknél az összeg szórása megegyezik az eltérések összegével.
Most mindenképpen meg kell fontolnunk példákat egy diszkrét valószínűségi változó varianciájára és a matematikai elvárásra.
Tegyük fel, hogy 21 kísérletet futtattunk, és 7 különböző eredményt kaptunk. Mindegyiket 1, 2, 2, 3, 4, 4 és 5 alkalommal figyeltük meg. Mekkora lesz az eltérés?
Először is számítsuk ki a számtani átlagot: az elemek összege természetesen 21. Osszuk el 7-tel, így 3-at kapunk. Most vonjunk ki 3-at az eredeti sorozat minden számából, négyzetezzük az értékeket, és adjuk hozzá az eredményeket együtt. Kiderült, hogy 12. Most már csak el kell osztanunk a számot az elemek számával, és úgy tűnik, ennyi. De van egy fogás! Beszéljük meg.
A kísérletek számától való függés
Kiderül, hogy a variancia kiszámításakor a nevező két szám egyike lehet: N vagy N-1. Itt N az elvégzett kísérletek száma vagy a sorozat elemeinek száma (ami valójában ugyanaz). Mitől függ?
Ha a tesztek számát százban mérjük, akkor a nevezőbe N-t kell beírni, ha mértékegységben, akkor N-1. A tudósok úgy döntöttek, hogy szimbolikusan meghúzzák a határt: ma a 30-as szám mentén fut. Ha 30-nál kevesebb kísérletet végeztünk, akkor a mennyiséget elosztjuk N-1-gyel, és ha több, akkor N-vel.
Feladat
Térjünk vissza a variancia- és elvárásprobléma megoldására vonatkozó példánkhoz. Mi12-es köztes számot kapott, amelyet el kellett osztani N-vel vagy N-1-gyel. Mivel 21 kísérletet végeztünk, ami kevesebb, mint 30, ezért a második lehetőséget választjuk. Tehát a válasz: a szórás 12/2=2.
Elvárás
Térjünk át a második fogalomra, amelyet ebben a cikkben figyelembe kell vennünk. A matematikai elvárás az összes lehetséges eredmény és a megfelelő valószínűségek összeadásának eredménye. Fontos megérteni, hogy a kapott értéket, valamint a variancia számításának eredményét a teljes feladatra csak egyszer kapjuk meg, függetlenül attól, hogy hány eredményt vesz figyelembe.
A várakozási képlet meglehetősen egyszerű: veszünk egy eredményt, megszorozzuk a valószínűségével, hozzáadjuk ugyanezt a második, harmadik eredményhez stb. Minden, ami ehhez a fogalomhoz kapcsolódik, könnyen kiszámítható. Például a matematikai elvárások összege egyenlő az összeg matematikai elvárásával. Ugyanez igaz a munkára is. A valószínűségszámításban nem minden mennyiség teszi lehetővé ilyen egyszerű műveletek végrehajtását. Vegyünk egy feladatot, és számítsuk ki egyszerre két, általunk tanulmányozott fogalom értékét. Ráadásul elvonta a figyelmünket az elmélet – ideje gyakorolni.
Még egy példa
50 próbát futtattunk, és 10 féle eredményt kaptunk – számok 0-tól 9-ig –, amelyek különböző százalékban jelennek meg. Ezek rendre: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Emlékezzünk vissza, hogy a valószínűségek kiszámításához el kell osztani a százalékos értékeket 100-zal. Így 0,02-t kapunk; 0, 1 stb. Képviseljük egy véletlen varianciájátérték és matematikai elvárás példa a probléma megoldására.
Számítsuk ki a számtani átlagot az általános iskolából emlékezetünkben szereplő képlettel: 50/10=5.
Most fordítsuk le a valószínűségeket az eredmények számára "darabokban", hogy könnyebb legyen számolni. 1-et, 5-öt, 2-t, 7-et, 1-et, 9-et, 3-at, 8-at, 5-öt és 9-et kapunk. Minden kapott értékből vonjuk ki a számtani átlagot, majd az egyes kapott eredményeket négyzetre emeljük. Tekintse meg, hogyan kell ezt megtenni az első elem példájával: 1 - 5=(-4). További: (-4)(-4)=16. Más értékek esetén végezze el ezeket a műveleteket saját maga. Ha mindent jól csinált, akkor az összes köztes eredmény hozzáadása után 90.
Folytassuk a variancia és az átlag kiszámítását úgy, hogy 90-et elosztunk N-nel. Miért válasszunk N-t és nem N-1-et? Így van, mert az elvégzett kísérletek száma meghaladja a 30-at. Tehát: 90/10=9. Megkaptuk a diszperziót. Ha más számot kap, ne essen kétségbe. Valószínűleg banális hibát követett el a számításokban. Ellenőrizze még egyszer, amit írt, és minden biztosan a helyére kerül.
Végül emlékezzünk az elvárási képletre. Nem adunk meg minden számítást, csak azt a választ írjuk meg, amellyel az összes szükséges eljárás elvégzése után ellenőrizheti. Az elvárás 5, 48 lesz. Csak a műveletek végrehajtására emlékeztetünk az első elemek példáján: 00, 02 + 10, 1… és így tovább. Amint látja, egyszerűen megszorozzuk az eredmény értékét annak valószínűségével.
Eltérés
A varianciához és a várható értékhez szorosan kapcsolódó másik fogalom azszórás. Ezt vagy a latin sd betűkkel, vagy a görög kisbetűs "sigma"-val jelölik. Ez a koncepció megmutatja, hogy az értékek átlagosan hogyan térnek el a központi jellemzőtől. Az érték meghatározásához ki kell számítani a variancia négyzetgyökét.
Ha normál eloszlású grafikont készít, és közvetlenül szeretné látni rajta a szórás értékét, ezt több lépésben is megteheti. Vegyük a kép felét a módtól balra vagy jobbra (középső érték), rajzoljunk egy merőlegest a vízszintes tengelyre úgy, hogy a kapott ábrák területei egyenlők legyenek. Az eloszlás közepe és az eredményül kapott vízszintes tengelyre vetítés közötti szakasz értéke a szórás lesz.
Szoftver
Mint a képletek leírásából és a bemutatott példákból látható, a variancia és a matematikai elvárás kiszámítása nem a legegyszerűbb eljárás számtani szempontból. Annak érdekében, hogy ne veszítse el az időt, érdemes a felsőoktatásban használt programot használni - ezt "R"-nek hívják. Olyan funkciókkal rendelkezik, amelyek lehetővé teszik számos fogalom értékének kiszámítását a statisztikákból és a valószínűségszámításból.
Például megad egy értékvektort. Ez a következőképpen történik: <-c(1, 5, 2…) vektor. Most, amikor ki kell számítania néhány értéket ennek a vektornak, írjon egy függvényt, és adja meg argumentumként. Az eltérés meghatározásához a var értéket kell használnia. Egy példa ráhasználat: var(vektor). Ezután csak nyomja meg az "enter" gombot, és megkapja az eredményt.
Befejezésül
A variancia és a matematikai várakozás a valószínűségszámítás alapfogalmai, amelyek nélkül nehéz bármit is kiszámítani a jövőben. Az egyetemi előadások főszakában már a tárgy tanulásának első hónapjaiban figyelembe veszik őket. Pontosan ezen egyszerű fogalmak megértésének hiánya és kiszámíthatatlansága miatt sok diák azonnal lemarad a programról, és később a foglalkozás végén rossz osztályzatot kap, ami megfosztja őket az ösztöndíjtól.
Gyakoroljon legalább egy hétig napi fél órát, és oldja meg a jelen cikkben bemutatottakhoz hasonló problémákat. Akkor bármilyen valószínűségszámítási teszten megbirkózik a példákkal, idegen tippek és csalólapok nélkül.
