Maclaurin sorozat és néhány funkció bővítése

2024 Szerző: Angel Austin | [email protected]. Utoljára módosítva: 2023-12-17 05:29

A felsőbb matematika tanulóinak tisztában kell lenniük azzal, hogy az adott sorozatok konvergencia intervallumához tartozó hatványsorok összege folytonos és korlátlan számú differenciált függvénynek bizonyul. Felmerül a kérdés: kijelenthetjük-e, hogy egy adott f(x) tetszőleges függvény valamilyen hatványsor összege? Vagyis milyen feltételek mellett ábrázolható hatványsorral az f(x) függvény? Ennek a kérdésnek a jelentősége abban rejlik, hogy az f(x) függvényt közelítőleg helyettesíthetjük a hatványsor első néhány tagjának összegével, azaz egy polinommal. Egy függvénynek egy meglehetősen egyszerű kifejezéssel - polinommal - való ilyen helyettesítése a matematikai elemzés egyes problémáinak megoldásakor is kényelmes, nevezetesen: integrálok megoldásakor, differenciálegyenletek kiszámításakor stb.

Bebizonyosodott, hogy néhány f(х) függvényre, ahol az (n+1)-edikig terjedő deriváltak számíthatók a szomszédban (α _{- R; x}0 _{+ R) valamelyik x=α pontból a képlet érvényes:}

Ez a képlet a híres tudósról, Brook Taylorról kapta a nevét. Az előzőből kapott sorozatot Maclaurin-sorozatnak hívják:

A szabály, amely lehetővé teszi a Maclaurin-sorozat bővítését:

1. Határozza meg az első, második, harmadik… sorrend deriváltjait.
2. Számítsd ki, mivel egyenlők az x=0 deriváltjai.
3. Rögzítse a Maclaurin-sort ehhez a függvényhez, majd határozza meg a konvergencia intervallumát.
4. Határozza meg azt az intervallumot (-R;R), ahol a Maclaurin-képlet maradéka

R (x) -> 0 n -> végtelenhez. Ha létezik ilyen, akkor a benne szereplő f(x) függvénynek egybe kell esnie a Maclaurin-sor összegével.

Most fontolja meg a Maclaurin sorozatot az egyes funkciókhoz.

1. Tehát az első az f(x)=e^x lesz. Természetesen a jellemzői szerint egy ilyen függvénynek különböző rendű deriváltjai vannak, és f^(k)(x)=e^x, ahol k minden természetes számok. Helyettesítsük x=0-val. Azt kapjuk, hogy f^(k)(0)=e⁰=1, k=1, 2… A ^{így nézne ki:}

2. Az f(x)=sin x függvény Maclaurin sorozata. Azonnal tisztázza, hogy az összes ismeretlen függvénynek származékai lesznek az f^'(x)=cos x=sin(x+n/2), f ^{'' mellett. (x)=-sin x=sin(x+2n/2)…, f}(k)^{(x)=sin(x+k n/2), ahol k bármely természetes számmal egyenlő. Azaz egyszerű számítások elvégzése után arra a következtetésre juthatunk, hogy az f(x)=sin x sorozat így fog kinézni:}

3. Most próbáljuk meg figyelembe venni az f(x)=cos x függvényt. Ő minden ismeretlenérttetszőleges sorrendű származékai vannak, és |f^(k)(x)|=|cos(x+kp/2)|<=1, k=1, 2… Néhány számítás után ismét azt kapjuk, hogy az f(x)=cos x sorozat így fog kinézni:

Tehát felsoroltuk a Maclaurin sorozatban a legfontosabb bővíthető funkciókat, de ezeket néhány funkciónál kiegészíti a Taylor sorozat. Most felsoroljuk őket. Azt is érdemes megjegyezni, hogy a Taylor és Maclaurin sorozatok fontos részét képezik a felsőbb matematikai sorozatok megoldásának gyakorlatának. Szóval, Taylor sorozat.

1. Az első az f-ii f(x)=ln(1+x) sorozata lesz. Az elõzõ példákhoz hasonlóan, ha f (x)=ln (1 + x) adtuk meg, a Maclaurin-sor általános alakját használva felvehetünk egy sorozatot. ehhez a funkcióhoz azonban a Maclaurin sorozat sokkal egyszerűbben beszerezhető. Egy bizonyos geometriai sorozat integrálása után ennek a mintának az f(x)=ln(1+x) sorozatát kapjuk:

2. A második pedig, amely cikkünkben végleges lesz, az f (x) u003d arctg x sorozata lesz. A [-1;1] intervallumhoz tartozó x esetén érvényes a bővítés:

Ennyi. Ez a cikk a felsőbb matematikában, különösen a gazdasági és műszaki egyetemeken leggyakrabban használt Taylor és Maclaurin sorozatokat vizsgálta.