A „számtani progresszió” témát az általános algebrai kurzusban tanulják az iskolákban a 9. osztályban. Ez a téma a számsorok matematikájának további elmélyült tanulmányozása szempontjából fontos. Ebben a cikkben megismerkedünk a számtani progresszióval, annak különbségével, valamint azokkal a tipikus feladatokkal, amelyekkel az iskolások szembesülhetnek.
Az algebrai progresszió fogalma
A numerikus progresszió olyan számsorozat, amelyben minden következő elem levonható az előzőből, ha valamilyen matematikai törvényt alkalmazunk. A progressziónak két egyszerű típusa van: a geometriai és az aritmetikai, amelyet algebrainak is neveznek. Foglalkozzunk vele részletesebben.
Képzeljünk el egy racionális számot, jelöljük a1 szimbólummal, ahol az index a sorszámát jelzi a vizsgált sorozatban. Adjunk hozzá egy másik számot a1 -hoz, jelöljük d-vel. Aztán a másodiksorozat egy eleme a következőképpen tükrözhető: a2=a1+d. Most adjunk hozzá ismét d-t, így kapjuk: a3=a2+d. Ezt a matematikai műveletet folytatva egy egész számsort kaphat, amelyet aritmetikai sorozatnak nevezünk.
Amint a fentiekből kiderül, a sorozat n-edik elemének megtalálásához a következő képletet kell használni: a =a1+ (n -1)d. Valójában, ha a kifejezésbe n=1-et helyettesítünk, akkor a1=a1, ha n=2, akkor a képlet a következőt jelenti: a2=a1 + 1d, és így tovább.
Például, ha egy aritmetikai sorozat különbsége 5, és a1=1, akkor ez azt jelenti, hogy a kérdéses típusú számsor így néz ki: 1, 6, 11, 16, 21, … Mint látható, mindegyik tagja 5-tel nagyobb, mint az előző.
A számtani progresszió különbségének képletei
A figyelembe vett számsor fenti definíciójából az következik, hogy annak meghatározásához két számot kell ismerni: a1 és d. Ez utóbbit e progresszió különbségének nevezzük. Egyedülállóan meghatározza az egész sorozat viselkedését. Valóban, ha d pozitív, akkor a számsorok folyamatosan növekednek, ellenkezőleg, negatív d esetén a sorozatban lévő számok csak modulo módon nőnek, míg abszolút értékük csökken az n szám növekedésével.
Mi a különbség az aritmetikai progresszió között? Tekintsük az érték kiszámításához használt két fő képletet:
- d=an+1-a , ez a képlet közvetlenül következik a kérdéses számsor definíciójából.
- d=(-a1+a)/(n-1), ezt a kifejezést úgy kapjuk meg, hogy kifejezzük d-t a megadott képletből a cikk előző bekezdésében. Vegye figyelembe, hogy ez a kifejezés határozatlan (0/0) lesz, ha n=1. Ez annak a ténynek köszönhető, hogy a sorozat legalább 2 elemét ismerni kell a különbség meghatározásához.
Ez a két alapképlet a progressziókülönbség megtalálásával kapcsolatos bármely probléma megoldására szolgál. Van azonban egy másik képlet, amelyről szintén tudnia kell.
Első elemek összege
Az algebrai progresszió tetszőleges számú tagjának összegének meghatározására használható képletet a történelmi bizonyítékok szerint először a 18. századi matematika "hercege", Carl Gauss szerezte meg. Egy német tudós, amikor még egy falusi iskola általános osztályaiban járt, észrevette, hogy a természetes számok 1-től 100-ig történő összeadásához először az első és az utolsó elemet kell összeadni (a kapott érték egyenlő lesz az utolsó előtti és második, utolsó előtti és harmadik elem összegére stb.), majd ezt a számot meg kell szorozni ezen összegek számával, azaz 50-nel.
Az adott példán megadott eredményt tükröző képlet tetszőleges esetre általánosítható. Így fog kinézni: S =n/2(a +a1). Vegye figyelembe, hogy a megadott érték megtalálásához nem szükséges a d különbség ismerete,ha a progresszió két tagja ismert (a és a1).
1. példa. Határozza meg a különbséget az a1 és an
sorozat két tagjának ismeretében
Megmutatjuk, hogyan kell alkalmazni a cikkben fent említett képleteket. Mondjunk egy egyszerű példát: az aritmetikai progresszió különbsége ismeretlen, meg kell határozni, hogy mivel lesz egyenlő, ha a13=-5, 6 és a1 =-12, 1.
Mivel a numerikus sorozat két elemének értékét ismerjük, és ezek közül az egyik az első szám, a 2-es képlet segítségével meghatározhatjuk a d különbséget. A következőt kaptuk: d=(-1(-12, 1)+(-5, 6))/12=0. 54167. A kifejezésben az n=13 értéket használtuk, mivel az ezzel a sorszámmal rendelkező tag ismert.
A kapott különbség azt jelzi, hogy a progresszió növekszik, annak ellenére, hogy a probléma feltételében megadott elemek negatív értékűek. Látható, hogy a13>a1, bár |a13|<|a 1 |.
2. példa. A progresszió pozitív tagjai az 1
példában
Használjuk az előző példában kapott eredményt egy új probléma megoldására. A következőképpen fogalmazódik meg: milyen sorszámtól kezdenek pozitív értékeket felvenni az 1. példában szereplő progresszió elemei?
Amint látható, a progresszió, amelyben a1=-12, 1 és d=0. 54167 növekszik, tehát bizonyos számokból a számok csak pozitívat kezdenek felvenni értékeket. Ennek az n számnak a meghatározásához egy egyszerű egyenlőtlenséget kell megoldani, ami azmatematikailag a következőképpen írjuk le: a >0 vagy a megfelelő képlet segítségével írjuk át az egyenlőtlenséget: a1 + (n-1)d>0. Meg kell találni az ismeretlen n-t, fejezzük ki: n>-1a1/d + 1. Most már hátra van a különbség és az első tag ismert értékeinek helyettesítése. a sorozatról. A következőt kapjuk: n>-1(-12, 1) /0, 54167 + 1=23, 338 vagy n>23, 338. Mivel n csak egész értékeket vehet fel, a kapott egyenlőtlenségből az következik, hogy a sorozat bármely tagja 23-nál nagyobb szám pozitív lesz.
Ellenőrizze válaszát a fenti képlettel, hogy kiszámítsa ennek az aritmetikai sorozatnak a 23. és 24. elemét. Van: a23=-12, 1 + 220, 54167=-0, 18326 (negatív szám); a24=-12, 1 + 230. 54167=0, 3584 (pozitív érték). Így a kapott eredmény helyes: n=24-től kezdve a számsor minden tagja nagyobb lesz nullánál.
3. példa. Hány rönk fér bele?
Tudjunk meg egy érdekes problémát: a fakitermelés során úgy döntöttek, hogy a fűrészelt rönköket egymásra rakják az alábbi ábrán látható módon. Hány naplót lehet így egymásra rakni, ha tudjuk, hogy összesen 10 sor fér el?
A naplók ilyen módon történő halmozásánál egy érdekesség figyelhető meg: minden következő sor eggyel kevesebb naplót tartalmaz, mint az előző, vagyis van egy algebrai progresszió, melynek különbsége d=1. Feltéve, hogy az egyes sorban lévő naplók száma ennek a folyamatnak a tagja,és azt is figyelembe véve, hogy a1=1 (csak egy rönk fér el a legfelül), az a10 számot kapjuk. Van: a10=1 + 1(10-1)=10. Vagyis a 10. sorban, amely a földön fekszik, 10 rönk lesz.
Ennek a "piramis" konstrukciónak a teljes mennyiségét a Gauss-képlet segítségével kaphatjuk meg. A következőt kapjuk: S10=10/2(10+1)=55 napló.
