Sok ember számára a matematikai elemzés csak érthetetlen számok, ikonok és definíciók halmaza, amelyek távol állnak a valós élettől. A világ, amelyben létezünk, azonban numerikus mintákra épül, amelyek azonosítása nemcsak a körülöttünk lévő világ megismerését és összetett problémáinak megoldását segíti elő, hanem a mindennapi gyakorlati feladatok egyszerűsítését is. Mire gondol a matematikus, amikor azt mondja, hogy egy számsorozat konvergál? Ezt részletesebben kell megvitatni.
Mi az a végtelenül kicsi?
Képzeljünk el matrjoska babákat, amelyek egymásba illeszkednek. Méretük számok formájában, a legnagyobbal kezdődően és a legkisebbel végződve sorozatot alkot. Ha végtelen számú ilyen fényes figurát képzel el, akkor a kapott sor fantasztikusan hosszú lesz. Ez egy konvergens számsorozat. És inkább nullára megy, mivel minden egyes következő fészkelő baba mérete katasztrofálisan csökken, fokozatosan semmivé válik. Szóval könnyűmegmagyarázható: mi a végtelenül kicsi.
Hasonló példa lenne a távolba vezető út. A szemlélőtől eltávolodó autó vizuális méretei pedig fokozatosan zsugorodnak egy pontra emlékeztető formátlan folttá. Így a gép, mint egy tárgy, ismeretlen irányba távolodva végtelenül kicsivé válik. A megadott test paraméterei soha nem lesznek nullák a szó szó szerinti értelmében, hanem változatlanul erre az értékre hajlanak a végső határban. Ezért ez a sorozat ismét nullához konvergál.
Kiszámoljon mindent cseppenként
Képzeljünk el most egy világi helyzetet. Az orvos felírta a betegnek, hogy vegye be a gyógyszert, napi tíz csepptől kezdve, és minden következő napon adjon hozzá kettőt. Ezért az orvos azt javasolta, hogy folytassuk, amíg el nem fogy a 190 csepp térfogatú gyógyszeres injekciós üveg tartalma. A fentiekből következik, hogy az ilyenek száma napra ütemezve a következő számsorok lesz: 10, 12, 14 és így tovább.
Hogyan lehet megtudni a teljes tanfolyam elvégzésének idejét és a sorozat tagjainak számát? Itt persze primitív módon lehet cseppeket számolni. De a minta alapján sokkal egyszerűbb egy d=2 lépésű aritmetikai sorozat összegének képletét használni. Ezzel a módszerrel derítsük ki, hogy a számsor tagjainak száma 10. Ebben az esetben, a10=28. A pénisz száma a gyógyszerszedés napjainak számát jelöli, a 28 pedig a cseppek számát jelölihasználja az utolsó napon. Ez a sorozat konvergál? Nem, mert annak ellenére, hogy alulról 10-re, felülről 28-ra van korlátozva, az ilyen számsoroknak az előző példákkal ellentétben nincs határa.
Mi a különbség?
Most próbáljuk meg tisztázni: mikor lesz a számsor konvergens sorozat. Egy ilyen definíció, amint az a fentiekből következtethető, közvetlenül kapcsolódik a véges határ fogalmához, amelynek jelenléte felfedi a kérdés lényegét. Mi tehát az alapvető különbség a korábban megadott példák között? És miért nem tekinthető az utolsóban a 28-as szám az X =10 + 2(n-1) számsor határértékének?
A kérdés tisztázásához vegyünk egy másik, az alábbi képlettel megadott sorozatot, ahol n a természetes számok halmazához tartozik.
A tagok közössége közös törtek halmaza, melynek számlálója 1, a nevező pedig folyamatosan növekszik: 1, ½ …
Sőt, ennek a sorozatnak minden egyes képviselője egyre jobban megközelíti a 0-t a számegyenesen elfogl alt hely tekintetében, ami azt jelenti, hogy megjelenik egy olyan környék, ahol a pontok nulla körül csoportosulnak, ami a határ. És minél közelebb vannak hozzá, annál sűrűbbé válik a számegyenesen való koncentrációjuk. És a köztük lévő távolság katasztrofálisan csökken, és végtelenül kicsivé válik. Ez annak a jele, hogy a sorozat konvergál.
HasonlóÍgy az ábrán látható többszínű téglalapok a térben távolodva vizuálisan zsúfoltabbak, a hipotetikus határban elhanyagolhatóvá válnak.
Végtelenül nagy sorozatok
A konvergens sorozat definíciójának elemzése után térjünk át az ellenpéldákra. Sokukat az ember ősidők óta ismeri. A divergens sorozatok legegyszerűbb változatai a természetes és páros számok sorozata. Másképpen nevezik őket végtelenül nagynak, mivel folyamatosan növekvő tagjaik egyre inkább a pozitív végtelen felé közelednek.
Ilyenre példa lehet bármely olyan számtani és geometriai progresszió, amelynek lépése és nevezője nagyobb, mint nulla. Ezenkívül a numerikus sorozatokat divergens sorozatoknak tekintjük, amelyeknek egyáltalán nincs határa. Például X =(-2) -1.
Fibonacci sorozat
A korábban említett számsorok gyakorlati előnyei az emberiség számára tagadhatatlanok. De számtalan más nagyszerű példa is van. Az egyik a Fibonacci-szekvencia. Minden egyes eggyel kezdődő tagja az előzőek összege. Első két képviselője 1 és 1. A harmadik 1+1=2, a negyedik 1+2=3, az ötödik 2+3=5. Továbbá ugyanezen logika szerint a 8-as, 13-as, 21-es és így tovább következnek.
Ez a számsor korlátlanul növekszik, és nincs bennevégső határ. De van még egy csodálatos tulajdonsága. Az egyes előző számok aránya a következőhöz képest értékében egyre közelebb kerül a 0,618-hoz, itt érthető meg a különbség a konvergens és a divergens sorozat között, mert ha a kapott parciális osztásokból sorozatot készítünk, akkor a jelzett numerikus rendszer véges határértéke 0,618.
Fibonacci-arányok sorrendje
A fent jelzett számsorokat széles körben használják gyakorlati célokra a piacok technikai elemzéséhez. De ez nem korlátozódik a képességeire, amelyeket az egyiptomiak és a görögök ismertek, és az ókorban a gyakorlatba is tudták alkalmazni. Ezt bizonyítják az általuk épített piramisok és a Parthenon. Végül is a 0,618 az aranymetszet állandó együtthatója, amely a régi időkben jól ismert. E szabály szerint bármely tetszőleges szakasz felosztható úgy, hogy a részeinek aránya egybeessen a legnagyobb szakasz és a teljes hossz arányával.
Készítsünk egy sorozatot a jelzett relációkból, és próbáljuk meg elemezni ezt a sorozatot. A számsor a következő lesz: 1; 0,5; 0,67; 0,6; 0,625; 0,615; 0, 619 és így tovább. Így folytatva megbizonyosodhatunk arról, hogy a konvergens sorozat határa valóban 0,618 lesz, azonban ennek a szabályszerűségnek más tulajdonságait is meg kell jegyezni. Itt úgy tűnik, hogy a számok véletlenszerűen mennek, és egyáltalán nem növekvő vagy csökkenő sorrendben. Ez azt jelenti, hogy ez a konvergens sorozat nem monoton. Hogy miért van ez így, arról a továbbiakban még szó lesz.
Monotonitás és korlátozás
A számsorozat tagjai egyértelműen csökkenhetnek a szám növekedésével (ha x1>x2>x3>…>x >…) vagy növekvő (ha x1<x2163223<…<x <…). Ebben az esetben a sorozatot szigorúan monotonnak mondják. Más minták is megfigyelhetők, ahol a numerikus sorozatok nem csökkenőek és nem növekvőek (x1≧x2≧x 3≧ …≧x ≧… vagy x1≦x2≦x 3 ≦…≦x ≦…), akkor az egymás után konvergens is monoton, csak nem a szó szoros értelmében. Ezen opciók közül az elsőre jó példa a következő képlettel megadott számsor.
A sorozat számainak lefestése után láthatja, hogy az 1-hez korlátlanul közeledve egyetlen tagja sem lépi túl ezt az értéket. Ebben az esetben a konvergens sorozatot korlátosnak mondjuk. Ez megtörténik, ha van egy ilyen pozitív M szám, amely mindig nagyobb, mint a modulo sorozat bármely tagja. Ha egy számsorozatnak monotonitás jelei vannak, és van határa, és ezért konvergál, akkor szükségszerűen fel van ruházva ilyen tulajdonsággal. És ennek az ellenkezője nem kell, hogy igaz legyen. Ezt bizonyítja a konvergens sorozatra vonatkozó korlátossági tétel.
Az ilyen megfigyelések gyakorlati alkalmazása nagyon hasznos. Adjunk egy konkrét példát az X =sorozat tulajdonságainak vizsgálatávaln/n+1, és bizonyítsuk be a konvergenciáját. Könnyen kimutatható, hogy monoton, mivel (x +1 – x) pozitív szám bármely n értékre. A sorozat határértéke egyenlő az 1-gyel, ami azt jelenti, hogy a fenti, Weierstrass-tételnek is nevezett tétel minden feltétele teljesül. A konvergens sorozat korlátosságának tétele kimondja, hogy ha van határa, akkor mindenképpen korlátosnak bizonyul. Vegyük azonban a következő példát. Az X =(-1) számsort alulról -1, felülről 1 határolja. De ez a sorozat nem monoton, nincs benne határt, ezért nem konvergál. Vagyis a korlát léte és a konvergencia nem mindig következik a korlátozásból. Ahhoz, hogy ez működjön, az alsó és felső határnak egyeznie kell, mint a Fibonacci-arányok esetében.
Az Univerzum számai és törvényei
A konvergens és divergens sorozatok legegyszerűbb változatai talán az X =n és X =1/n numerikus sorozatok. Közülük az első egy természetes számsor. Mint már említettük, végtelenül nagy. A második konvergens sorozat korlátos, és tagjainak nagysága közel a végtelenül kicsi. E képletek mindegyike a sokrétű Univerzum egyik oldalát személyesíti meg, segítve az embert elképzelni és kiszámítani valami megismerhetetlent, amely a számok és jelek nyelvén a korlátozott érzékelés számára hozzáférhetetlen.
A világegyetem törvényei, amelyek az elhanyagolhatótól a hihetetlenül nagyig terjednek, szintén kifejezik a 0,618-as aranymetszést.úgy vélik, hogy ez a dolgok lényegének alapja, és a természet felhasználja részei kialakítására. A Fibonacci sorozat következő és előző tagjai közötti kapcsolatok, amelyeket már említettünk, még nem fejezik be ennek az egyedülálló sorozatnak a lenyűgöző tulajdonságait. Ha figyelembe vesszük az elõzõ tag és a következõ eggyel való osztásának hányadosát, akkor 0,5-ös sorozatot kapunk; 0,33; 0,4; 0,375; 0,384; 0,380; 0, 382 és így tovább. Érdekes, hogy ez a korlátozott sorozat konvergál, nem monoton, de az adott tagtól szélső szomszédos számok aránya mindig megközelítőleg 0,382, ami az építészetben, a műszaki elemzésben és más iparágakban is használható.
A Fibonacci sorozatnak vannak más érdekes együtthatói is, mindegyik különleges szerepet játszik a természetben, és az ember gyakorlati célokra is használja. A matematikusok biztosak abban, hogy az Univerzum egy bizonyos "arany spirál" szerint fejlődik, amely a jelzett együtthatókból alakul ki. Segítségükkel számos, a Földön és az űrben előforduló jelenség kiszámítható, az egyes baktériumok számának növekedésétől a távoli üstökösök mozgásáig. Mint kiderült, a DNS-kód hasonló törvényeknek engedelmeskedik.
Csökkenő geometriai progresszió
Van egy tétel, amely egy konvergens sorozat határértékének egyediségét állítja. Ez azt jelenti, hogy nem lehet két vagy több határértéke, ami kétségtelenül fontos a matematikai jellemzőinek megtalálásához.
Nézzünk néhányatesetek. Bármely számtani sorozat, amely egy aritmetikai sorozat tagjaiból áll, divergens, kivéve a nulla lépéses esetet. Ugyanez vonatkozik a geometriai progresszióra is, amelynek nevezője nagyobb, mint 1. Az ilyen numerikus sorozatok határai a végtelen „plusz” vagy „mínusz”. Ha a nevező kisebb, mint -1, akkor nincs korlát. Más lehetőségek is lehetségesek.
Tekintsük az X képlettel megadott számsorokat =(1/4) -1. Első pillantásra könnyen belátható, hogy ez a konvergens sorozat korlátos, mert szigorúan csökken, és semmilyen módon nem képes negatív értékeket felvenni.
Írjunk fel egy sor tagot.
Kiderül: 1; 0,25; 0,0625; 0,015625; 0, 00390625 és így tovább. Egészen egyszerű számítások elegendőek ahhoz, hogy megértsük, milyen gyorsan csökken ez a geometriai progresszió a 0<q<1 nevezőktől. Míg a kifejezések nevezője korlátlanul növekszik, maguk is végtelenül kicsivé válnak. Ez azt jelenti, hogy a számsor határértéke 0. Ez a példa ismét bemutatja a konvergens sorozat korlátozott jellegét.
Alapvető sorozatok
Augustin Louis Cauchy francia tudós számos matematikai elemzéssel kapcsolatos munkát tárt a világ elé. Olyan fogalmakat adott, mint a differenciál, az integrál, a határ és a folytonosság. Tanulmányozta a konvergens sorozatok alapvető tulajdonságait is. Hogy megértsük elképzelései lényegét,néhány fontos részletet össze kell foglalni.
A cikk legelején kiderült, hogy vannak olyan sorozatok, amelyeknél van egy olyan szomszédság, ahol a valós egyenesen egy bizonyos sorozat tagjait képviselő pontok egyre jobban felsorakoznak. sűrűn. Ugyanakkor a köztük lévő távolság csökken, ahogy a következő képviselő száma nő, és végtelenül kicsivé válik. Így kiderül, hogy egy adott környéken egy adott sorozat végtelen számú képviselője csoportosul, míg azon kívül véges sok van. Az ilyen sorozatokat alapvetőnek nevezzük.
A híres Cauchy-kritérium, amelyet egy francia matematikus alkotott meg, egyértelműen jelzi, hogy egy ilyen tulajdonság jelenléte elegendő a sorozat konvergenciájának bizonyításához. Ennek a fordítottja is igaz.
Megjegyzendő, hogy a francia matematikusnak ez a következtetése többnyire pusztán elméleti jelentőségű. Gyakorlati alkalmazása meglehetősen bonyolult kérdésnek tekinthető, ezért a sorozatok konvergenciájának tisztázása érdekében sokkal fontosabb a sorozatra vonatkozó véges határ meglétének bizonyítása. Ellenkező esetben eltérőnek minősül.
A feladatok megoldásánál figyelembe kell venni a konvergens sorozatok alapvető tulajdonságait is. Az alábbiakban láthatók.
Végtelen összegek
Az ókor olyan híres tudósai, mint Arkhimédész, Euklidész, Eudoxosz, végtelen számsorok összegét használták a görbék hosszának és a testek térfogatának kiszámításáhozés az ábrák területei. Különösen így lehetett megtudni a parabola szegmens területét. Ehhez egy q=1/4-es geometriai sorozat numerikus sorozatának összegét használtuk. Hasonló módon kerültek elő más tetszőleges alakok térfogatai és területei is. Ezt az opciót "kimerülési" módszernek nevezték. Az ötlet az volt, hogy a vizsgált, összetett alakú testet részekre bontották, amelyek könnyen mérhető paraméterekkel rendelkező figurák voltak. Emiatt nem volt nehéz kiszámolni a területeiket és térfogatukat, majd összeadták őket.
Mellesleg, a hasonló feladatok nagyon ismerősek a modern iskolások számára, és megtalálhatók az USE feladatokban. Az egyedülálló módszer, amelyet távoli ősök találtak, messze a legegyszerűbb megoldás. Még akkor is, ha csak két vagy három rész van, amelyekre a numerikus szám van felosztva, területük összeadása akkor is a számsor összege.
Sokkal később, mint az ókori görög tudósok, Leibniz és Newton bölcs elődeik tapasztalatai alapján megtanulták az integrálszámítás mintáit. A sorozatok tulajdonságainak ismerete segítette őket a differenciál- és algebrai egyenletek megoldásában. Jelenleg a sorozatelmélet, amelyet tehetséges tudósok sok generációjának erőfeszítései hoztak létre, lehetőséget ad számos matematikai és gyakorlati probléma megoldására. A numerikus sorozatok tanulmányozása pedig a kezdetektől fogva a matematikai elemzés által megoldott fő probléma.
