Egy és több változó differenciálszámítási függvényei

2024 Szerző: Angel Austin | [email protected]. Utoljára módosítva: 2024-01-02 17:48

A kalkulus a számítások egyik ága, amely a deriváltokat, a differenciálokat és azok használatát tanulmányozza egy függvény tanulmányozásában.

Megjelenés története

A differenciálszámítás önálló tudományágként a 17. század második felében jelent meg Newton és Leibniz munkásságának köszönhetően, akik a differenciálszámításban megfogalmazták az alapvető rendelkezéseket, és észrevették az integráció és a differenciálódás összefüggését. Ettől a pillanattól kezdve a tudományág az integrálszámítással együtt fejlődött, így a matematikai elemzés alapját képezi. Ezeknek a számításoknak a megjelenése új modern korszakot nyitott a matematikai világban, és új tudományágak megjelenését idézte elő a tudományban. Kibővítette a matematikai tudomány természettudományi és technológiai alkalmazásának lehetőségét is.

Alapfogalmak

A differenciálszámítás a matematika alapfogalmain alapul. Ezek a következők: valós szám, folytonosság, függvény és határérték. Idővel modern megjelenést öltöttek az integrál- és differenciálszámításnak köszönhetően.

Létrehozási folyamat

A differenciálszámítás egy alkalmazott, majd egy tudományos módszer formájában való kialakítása egy filozófiai elmélet megjelenése előtt következett be, amelyet Kusai Miklós alkotott meg. Műveit evolúciós fejleménynek tekintik az ókori tudomány ítéletei alapján. Annak ellenére, hogy maga a filozófus nem volt matematikus, hozzájárulása a matematikai tudomány fejlődéséhez tagadhatatlan. Kuzansky volt az elsők között, aki eltávolodott attól, hogy az aritmetikát a legpontosabb tudományterületnek tekintse, megkérdőjelezve az akkori matematikát.

Az ókori matematikusok az egységet univerzális kritériumként használták, míg a filozófus a végtelent javasolta új mértékként a pontos szám helyett. Ebben a tekintetben a matematikai tudományban a pontosság reprezentációja fordított. A tudományos tudás szerinte racionálisra és intellektuálisra oszlik. A második a tudós szerint pontosabb, mivel az első csak hozzávetőleges eredményt ad.

Ötlet

A differenciálszámítás fő gondolata és koncepciója bizonyos pontok kis környezetében lévő függvényhez kapcsolódik. Ehhez létre kell hozni egy matematikai apparátust egy olyan függvény vizsgálatára, amelynek viselkedése a megállapított pontok kis környezetében közel áll egy polinom vagy egy lineáris függvény viselkedéséhez. Ez a derivált és a differenciál definícióján alapul.

A derivált fogalmának megjelenését számos természettudományi és matematikai probléma okozta,ami az azonos típusú határértékek meghatározásához vezetett.

Az egyik fő probléma, amelyet a középiskolától kezdve példaként hoznak fel, egy egyenes mentén mozgó pont sebességének meghatározása, és ennek a görbének érintővonalának megalkotása. A differenciál ehhez kapcsolódik, mivel lehetséges a függvény közelítése a lineáris függvény vizsgált pontjának kis környezetében.

Egy valós változó függvényének deriváltjának fogalmához képest a differenciálok meghatározása egyszerűen átmegy egy általános jellegű függvényre, különösen az egyik euklideszi tér képére a másikon.

Származék

Hagyja, hogy a pont az Oy tengely irányába mozogjon addig az időig, amíg x-et veszünk, amelyet a pillanat egy bizonyos kezdetétől számítunk. Egy ilyen mozgás az y=f(x) függvénnyel írható le, amely a mozgatandó pont koordinátájának minden x időpillanatához van hozzárendelve. A mechanikában ezt a függvényt mozgástörvénynek nevezik. A mozgás fő jellemzője, különösen az egyenetlenség, a pillanatnyi sebesség. Amikor egy pont a mechanika törvénye szerint az Oy tengely mentén mozog, akkor egy véletlenszerű x időpontban felveszi az f (x) koordinátát. Az x + Δx időpontban, ahol Δx az idő növekedését jelöli, a koordinátája f(x + Δx) lesz. Így jön létre a Δy \u003d f (x + Δx) - f (x) képlet, amelyet a függvény növekményének nevezünk. Az x-től x-ig + Δx-ig terjedő időpont által megtett utat jelenti.

Ennek a megjelenése miattsebesség az időben, a derivált kerül bevezetésre. Egy tetszőleges függvényben a fix pont deriváltját határértéknek nevezzük (feltételezve, hogy létezik). Bizonyos szimbólumokkal jelölhető:

f’(x), y’, ý, df/dx, dy/dx, Df(x).

A derivált kiszámításának folyamatát differenciálásnak nevezzük.

Több változóból álló függvény differenciálszámítása

Ezt a számítási módszert több változós függvény vizsgálatakor használjuk. Két x és y változó jelenlétében az A pontban lévő x-re vonatkozó parciális deriváltot ennek a függvénynek az x-hez viszonyított deriváltjának nevezzük rögzített y-val.

A következő karakterekkel jelölhető:

f’(x)(x, y), u’(x), ∂u/∂x vagy ∂f(x, y)’/∂x.

Szükséges készségek

Integrációs és differenciálási készség szükséges a sikeres tanuláshoz és a diffúzok megoldásához. A differenciálegyenletek könnyebb megértése érdekében alaposan ismernie kell a derivált és a határozatlan integrál témakörét. Azt sem árt megtanulni, hogyan keressük meg egy implicit módon adott függvény deriváltját. Ez annak a ténynek köszönhető, hogy a tanulmányozás során gyakran kell integrálokat és differenciálást használni.

Differenciálegyenletek típusai

Az elsőrendű differenciálegyenletekkel kapcsolatos szinte minden tesztben 3 féle egyenlet található: homogén, elválasztható változókkal, lineáris inhomogén.

Az egyenleteknek ritkább változatai is léteznek: teljes differenciálokkal, Bernoulli-egyenletekkel és másokkal.

A döntés alapjai

Először is emlékeznie kell az iskolai kurzus algebrai egyenleteire. Változókat és számokat tartalmaznak. Egy közönséges egyenlet megoldásához meg kell találni egy adott feltételt kielégítő számkészletet. Általában az ilyen egyenleteknek egy gyöke van, és a helyesség ellenőrzéséhez csak ezt az értéket kellett az ismeretlennel helyettesíteni.

A differenciálegyenlet ehhez hasonló. Általában egy ilyen elsőrendű egyenlet a következőket tartalmazza:

• Független változó.
• Az első függvény deriváltja.
• Egy függvény vagy függő változó.

Egyes esetekben hiányozhat az ismeretlenek egyike, az x vagy az y, de ez nem annyira fontos, mivel a megoldáshoz és a differenciálhoz szükséges az első derivált jelenléte magasabb rendű deriváltok nélkül. számítás, hogy helyes legyen.

A differenciálegyenlet megoldása azt jelenti, hogy meg kell találni az adott kifejezésnek megfelelő összes függvény halmazát. Az ilyen függvénykészleteket gyakran a DE általános megoldásának nevezik.

Integrálszámítás

Az integrálszámítás a matematikai elemzés egyik része, amely az integrál fogalmát, tulajdonságait és számítási módszereit tanulmányozza.

Gyakran az integrál kiszámítása egy görbe vonalú alakzat területének kiszámításakor történik. Ez a terület azt a határt jelenti, amelyre egy adott ábrába írt sokszög területe az oldalának fokozatos növekedésével hajlik, miközben ezek az oldalak kisebbre tehetők, mint bármely korábban megadott tetszőlegeskis érték.

Egy tetszőleges geometriai alakzat területének kiszámításának fő gondolata egy téglalap területének kiszámítása, vagyis annak bizonyítása, hogy területe egyenlő a hosszúság és a szélesség szorzatával. Ha a geometriáról van szó, minden konstrukció vonalzó és körző segítségével készül, és ekkor a hossz és a szélesség aránya racionális érték. A derékszögű háromszög területének kiszámításakor meghatározhatja, hogy ha ugyanazt a háromszöget mellé helyezi, akkor téglalap keletkezik. A paralelogrammában a terület kiszámítása hasonló, de kicsit bonyolultabb módszerrel történik, egy téglalapon és egy háromszögön keresztül. Sokszögeknél a területet a benne lévő háromszögek alapján számítják ki.

Egy tetszőleges görbe megtakarításának meghatározásakor ez a módszer nem működik. Ha egyetlen négyzetre osztja, akkor lesznek kitöltetlen helyek. Ebben az esetben két fedelet próbálunk használni, felül és alul téglalapokkal, ennek eredményeként ezek tartalmazzák a függvény grafikonját, és nem. Az ezekre a téglalapokra történő particionálás módja továbbra is fontos itt. Továbbá, ha egyre kisebb partíciókat veszünk, akkor a feletti és alatti területnek egy bizonyos értékhez kell konvergálnia.

Vissza kell térnie a téglalapokra osztás módszeréhez. Két népszerű módszer létezik.

Riemann formalizálta a Leibniz és Newton által létrehozott integrál definícióját egy részgráf területeként. Ebben az esetben olyan számokat vettünk figyelembe, amelyek bizonyos számú függőleges téglalapból állnak, és elosztással kapták megszegmens. Ha a partíció csökkenésével van egy határ, amelyre egy hasonló szám területe csökken, ezt a határértéket egy függvény Riemann-integráljának nevezzük egy adott intervallumon.

A második módszer a Lebesgue-integrál szerkesztése, amely abból áll, hogy a meghatározott terület integrandus részeire való felosztásának helyére, majd az ezekben a részekben kapott értékekből összeállítjuk az integrál összegét., az értéktartományt intervallumokra osztják, majd összegzik ezen integrálok előképeinek megfelelő mértékeivel.

Modern előnyök

A differenciál- és integrálszámítás tanulmányozásának egyik fő kézikönyvét Fikhtengolts írta: „A differenciál- és integrálszámítás tanfolyama”. Tankönyve alapvető útmutató a matematikai elemzés tanulmányozásához, amely számos kiadáson és más nyelvekre történő fordításon ment keresztül. Egyetemi hallgatók számára készült, és régóta használják számos oktatási intézményben az egyik fő tanulmányi segédanyagként. Elméleti adatokat és gyakorlati ismereteket ad. Először 1948-ban jelent meg.

Funkciókutatási algoritmus

A függvény vizsgálatához a differenciálszámítás módszereivel a már megadott algoritmust kell követni:

1. Keresse meg egy függvény hatókörét.
2. Keresse meg az adott egyenlet gyökereit.
3. Számítsa ki a szélsőségeket. Ehhez számítsa ki a deriváltot és azokat a pontokat, ahol nulla.
4. Helyettesítse be a kapott értéket az egyenletbe.

A differenciálegyenletek változatai

elsőrendű vezérlés (egyébként differenciálegyváltozós kalkulus) és típusai:

• Elválasztható egyenlet: f(y)dy=g(x)dx.
• A legegyszerűbb egyenletek vagy egy változó függvényének differenciálszámítása, amelynek képlete: y'=f(x).
• Lineáris inhomogén elsőrendű DE: y'+P(x)y=Q(x).
• Bernoulli differenciálegyenlet: y'+P(x)y=Q(x)ya.
• Egyenlet teljes különbséggel: P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0.

Másodrendű differenciálegyenletek és típusaik:

• Lineáris másodrendű homogén differenciálegyenlet állandó együttható értékekkel: y +py'+qy=0 p, q R-hez tartozik.
• Lineáris inhomogén másodrendű differenciálegyenlet állandó együtthatókkal: y +py'+qy=f(x).
• Lineáris homogén differenciálegyenlet: y +p(x)y'+q(x)y=0, és inhomogén másodrendű egyenlet: y+p(x)y'+q(x)y=f(x).

Magasabb rendű differenciálegyenletek és típusaik:

• Sorrendben redukálható differenciálegyenlet: F(x, y^(k), y^(k+1),.., y^(n)=0.
• Lineárisan magasabb rendű homogén egyenlet: y⁽ⁿ⁾+f_(n-1)y^{(n- 1)}+…+f₁y'+f₀y=0, és inhomogén: y⁽ⁿ⁾+f_(n-1)y^(n-1)+…+f_{1 y'+f}0_y=f(x).

A differenciálegyenlettel kapcsolatos probléma megoldásának lépései

A távirányító segítségével nem csak matematikai vagy fizikai kérdéseket oldanak meg, hanem különféle problémákat isbiológia, közgazdaságtan, szociológia stb. A témakörök sokfélesége ellenére az ilyen problémák megoldása során egyetlen logikai sorrendet kell betartani:

1. Távirányító összeállítása. Az egyik legnehezebb lépés, amely maximális precizitást igényel, hiszen minden hiba teljesen rossz eredményhez vezet. Minden, a folyamatot befolyásoló tényezőt figyelembe kell venni, és meg kell határozni a kezdeti feltételeket. Ezenkívül tényeken és logikus következtetéseken kell alapulnia.
2. A megfogalmazott egyenlet megoldása. Ez a folyamat egyszerűbb, mint az első lépés, mivel csak szigorú matematikai számításokat igényel.
3. Az eredmények elemzése és értékelése. A levezetett megoldást értékelni kell, hogy megállapítsuk az eredmény gyakorlati és elméleti értékét.

Példa a differenciálegyenletek alkalmazására az orvostudományban

A távirányító alkalmazása az orvostudomány területén epidemiológiai matematikai modell felépítése során történik. Ugyanakkor nem szabad megfeledkezni arról sem, hogy ezek az egyenletek az orvostudományhoz közel álló biológiában és kémiában is megtalálhatók, mert abban fontos szerepet kap a különféle biológiai populációk és az emberi szervezetben zajló kémiai folyamatok vizsgálata.

A járvány fenti példájában a fertőzés terjedését tekinthetjük egy elszigetelt társadalomban. A lakosokat három típusra osztják:

• Fertőzött, x(t) számú, egyénekből, a fertőzés hordozóiból áll, amelyek mindegyike fertőző (az inkubációs időszak rövid).
• A második típus tartalmazzafogékony egyedek, akik y(t) képesek megfertőződni fertőzött egyedekkel való érintkezés útján.
• A harmadik fajba azok a z(t) immunrendszerű egyedek tartoznak, amelyek immunisak vagy betegség miatt elh altak.

Az egyedszám állandó, a születések, a természetes halálozások és a vándorlás elszámolását nem vesszük figyelembe. Két hipotézis lesz a középpontjában.

Az előfordulás százalékos aránya egy adott időpontban x(t)y(t) (azon elmélet alapján, hogy az esetek száma arányos a betegek és a fogékony képviselők metszéspontjainak számával, amely az első a közelítés arányos lesz x(t)y(t)-vel), ezzel összefüggésben az esetek száma növekszik, a fogékonyak száma pedig csökken az ax(t)y(t) képlettel számolható ütemben. a > 0).

A immunissá vált vagy megh alt immunis személyek száma az esetek számával arányos ütemben növekszik, bx(t) (b > 0).

Ennek eredményeként mindhárom mutatót figyelembe véve készíthet egyenletrendszert, és ebből következtetéseket vonhat le.

Közgazdasági példa

A differenciálszámítást gyakran használják a közgazdasági elemzésben. A gazdasági elemzés fő feladata a gazdaságból származó mennyiségek tanulmányozása, amelyek függvény formájában vannak felírva. Ezt olyan problémák megoldásánál alkalmazzák, mint a bevételek azonnali változása az adóemelés után, az illetékek bevezetése, a vállalati bevételek változása a termelési költségek változása esetén, milyen arányban cserélhetők ki a nyugdíjas munkavállalók új berendezésekre. Az ilyen problémák megoldásához szükségesa bemeneti változókból építsünk fel egy kapcsolódási függvényt, amelyeket azután a differenciálszámítással tanulmányozunk.

A gazdasági szférában gyakran meg kell találni a legoptimálisabb mutatókat: maximális munkatermelékenység, legmagasabb jövedelem, legalacsonyabb költségek stb. Minden ilyen indikátor egy vagy több argumentum függvénye. Például a termelést a munka- és tőkeinputok függvényeként tekinthetjük. Ebben a tekintetben a megfelelő érték megtalálása lecsökkenthető egy függvény maximumának vagy minimumának meghatározására egy vagy több változóból.

Az ilyen jellegű problémák a gazdasági téren szélsőséges problémák osztályát hozzák létre, amelyek megoldása differenciálszámítást igényel. Ha egy gazdasági mutatót egy másik mutató függvényében kell minimalizálni vagy maximalizálni, akkor a maximum pontján a függvény növekedésének az argumentumokhoz viszonyított aránya nulla lesz, ha az argumentum növekménye nullára hajlik. Ellenkező esetben, amikor egy ilyen arány valamilyen pozitív vagy negatív értékre hajlik, a megadott pont nem megfelelő, mert az argumentum növelésével vagy csökkentésével a függő értéket a kívánt irányba módosíthatja. A differenciálszámítás terminológiájában ez azt jelenti, hogy egy függvény maximumának szükséges feltétele a deriváltjának nulla értéke.

A közgazdaságtanban gyakran gondot okoz egy több változós függvény szélsőértékének megtalálása, mivel a gazdasági mutatók sok tényezőből állnak. Jók az ilyen kérdések.több változó függvényelméletében tanultam, differenciálszámítási módszereket alkalmazva. Az ilyen problémák nemcsak a maximalizált és minimalizált funkciókat, hanem a korlátozásokat is magukban foglalják. Az ilyen kérdések a matematikai programozáshoz kapcsolódnak, és speciálisan kifejlesztett, szintén erre a tudományágra épülő módszerek segítségével oldják meg őket.

A közgazdaságtanban alkalmazott differenciálszámítási módszerek között fontos rész a marginális elemzés. A közgazdasági szférában ez a kifejezés a változó mutatók és eredmények tanulmányozására szolgáló módszerek összességét jelenti a termelés, a fogyasztás volumenének megváltoztatásakor, ezek határmutatóinak elemzése alapján. A korlátozó mutató a több változós derivált vagy parciális derivált.

A több változó differenciálszámítása fontos téma a matematikai elemzés területén. A részletes tanulmányozáshoz különféle felsőoktatási tankönyveket használhat. Az egyik leghíresebbet Fikhtengolts hozta létre - "A differenciál- és integrálszámítás tanfolyama". Ahogy a neve is sugallja, az integrálokkal való munkavégzés készségei jelentős jelentőséggel bírnak a differenciálegyenletek megoldásában. Ha egy változó függvényének differenciálszámítása megtörténik, a megoldás egyszerűbbé válik. Bár meg kell jegyezni, ugyanazok az alapvető szabályok vonatkoznak rá. Ahhoz, hogy egy függvényt a gyakorlatban differenciálszámítással tanulmányozhassunk, elegendő a már meglévő algoritmust követni, ami a középiskolában adott, és újak bevezetésekor csak kissé bonyolult.változók.