Leonhard Euler (1707-1783) - híres svájci és orosz matematikus, a Szentpétervári Tudományos Akadémia tagja, élete nagy részét Oroszországban élte le. A matematikai elemzésben, statisztikában, számítástechnikában és logikában a leghíresebb az Euler-kör (Euler-Venn diagram), amelyet a fogalmak és elemhalmazok hatókörének jelölésére használnak.
John Venn (1834-1923) – angol filozófus és logikus, az Euler-Venn diagram társszerzője.
Kompatibilis és inkompatibilis fogalmak
A logikában a fogalom alatt olyan gondolkodási formát értünk, amely a homogén objektumok osztályának lényeges jellemzőit tükrözi. Ezeket egy vagy egy szócsoport jelöli: „világtérkép”, „domináns kvint-szept akkord”, „hétfő” stb.
Abban az esetben, ha egy fogalom hatókörének elemei részben vagy egészben egy másik fogalom körébe tartoznak, akkor kompatibilis fogalmakról beszélünk. Ha azonban egy bizonyos fogalom hatókörének egyetlen eleme sem tartozik egy másik fogalom körébe, akkor összeférhetetlen fogalmaink vannak.
Viszont minden fogalomtípusnak megvan a maga lehetséges kapcsolatrendszere. A kompatibilis fogalmak a következők:
- kötetek azonossága (egyenértékűsége);
- átkelés (részleges meccs)kötetek;
- alárendeltség (alárendeltség).
Inkompatibilis:
- alárendeltség (koordináció);
- ellentétes (ellentmondás);
- ellentmondás (ellentmondás).
Sematikusan a logikai fogalmak közötti kapcsolatokat általában Euler-Venn körökkel jelöljük.
Egyenértékű relációk
Ebben az esetben a fogalmak ugyanazt a tárgyat jelentik. Ennek megfelelően e fogalmak térfogata teljesen megegyezik. Például:
A – Sigmund Freud;
B a pszichoanalízis megalapítója.
Vagy:
A egy négyzet;
B egy egyenlő oldalú téglalap;
C egy egyenlőszögű rombusz.
A kijelöléshez teljesen egybeeső Euler-köröket használunk.
Kereszteződés (részleges egyezés)
Ez a kategória olyan fogalmakat tartalmaz, amelyeknek közös elemei vannak, amelyek a keresztezéssel kapcsolatosak. Vagyis az egyik fogalom kötete részben benne van a másikéban:
A - tanár;
B a zene szerelmese.
Amint ebből a példából is látható, a fogalmak terjedelme részben egybeesik: a tanárok egy bizonyos csoportja kiderülhet, hogy zeneszerető, és fordítva - a zenekedvelők között lehetnek a tanári szakma képviselői. Hasonló hozzáállás lesz akkor is, ha A fogalom például „polgár”, B pedig „vezető”.
Alárendeltség (alárendeltség)
Sematikusan különböző léptékű Euler-körökként jelölve. Kapcsolatokfogalmak között ebben az esetben az a jellemző, hogy az alárendelt fogalom (kisebb volumenű) teljesen benne van az alárendeltben (nagyobb térfogatban). Ugyanakkor az alárendelt fogalom nem meríti ki teljesen az alárendeltet.
Például:
A - fa;
B - fenyő.
B fogalom alá lesz rendelve az A fogalomnak. Mivel a fenyő a fák közé tartozik, ebben a példában az A fogalom alárendeltté válik, "elnyeli" a B fogalom hatókörét.
Koordináció (koordináció)
A kapcsolat két vagy több olyan fogalmat jellemez, amelyek kizárják egymást, de egy bizonyos közös általános körbe tartoznak. Például:
A – klarinét;
B - gitár;
C - hegedű;
D egy hangszer.
Az A, B, C fogalmak nem metszik egymást egymáshoz képest, de mindegyik a hangszerek kategóriájába tartozik (a D fogalom).
Ellenben (ellenkezőleg)
A fogalmak közötti ellentétes kapcsolatok azt jelentik, hogy ezek a fogalmak ugyanabba a nemzetségbe tartoznak. Ugyanakkor az egyik fogalom bizonyos tulajdonságokkal (tulajdonságokkal) rendelkezik, míg a másik tagadja azokat, a természetben ellentétesekkel helyettesíti őket. Tehát antonimákkal van dolgunk. Például:
A egy törpe;
B egy óriás.
Euler-kör a fogalmak közötti ellentétes összefüggésekkelhárom részre oszlik, amelyek közül az első az A fogalomnak, a második a B fogalomnak, a harmadik pedig az összes többi lehetséges fogalomnak felel meg.
ellentmondás (ellentmondás)
Ebben az esetben mindkét fogalom ugyanannak a nemzetségnek a faja. Az előző példához hasonlóan az egyik fogalom bizonyos tulajdonságokat (tulajdonságokat) jelez, míg a másik tagadja azokat. Az ellentétek viszonyával ellentétben azonban a második, ellentétes fogalom nem helyettesíti a tagadott tulajdonságokat más, alternatív tulajdonságokkal. Például:
A nehéz feladat;
A
B egy könnyű feladat (nem-A).
Az ilyen jellegű fogalmak mennyiségét kifejezve az Euler-kör két részre oszlik – a harmadik, köztes láncszem ebben az esetben nem létezik. Így a fogalmak egyben antonimák is. Ugyanakkor az egyik (A) pozitívvá válik (valamelyik tulajdonság megerősítése), a második (B vagy nem A) pedig negatívvá válik (a megfelelő tulajdonság tagadása): „fehér papír” - „nem fehér papír”, „ nemzeti történelem” – „külföldi történelem” stb.
Így a fogalmak térfogatának egymáshoz viszonyított aránya kulcsfontosságú jellemző, amely meghatározza az Euler-köröket.
A halmazok közötti kapcsolatok
Különbséget kell tenni az elemek és halmazok fogalmai között is, amelyek térfogatát Euler-körök jelenítik meg. A halmaz fogalmát a matematikai tudományból kölcsönözték, és meglehetősen tág jelentése van. A logikai és matematikai példák bizonyos objektumok halmazaként jelenítik meg. A tárgyak magukelemei ennek a készletnek. "A sok sok egyben gondolkodik" (Georg Kantor, a halmazelmélet alapítója).
A halmazokat nagybetűkkel jelöljük: A, B, C, D… stb., a halmazok elemeit kisbetűkkel jelöljük: a, b, c, d… stb. Egy halmazra példák lehetnek azok a diákok, akik egy osztályteremben vannak, könyvek egy bizonyos polcon (vagy például egy bizonyos könyvtár összes könyve), napló oldalai, bogyók egy erdei tisztáson stb.
Ha egy adott halmaz egyetlen elemet sem tartalmaz, akkor üresnek nevezzük és Ø jellel jelöljük. Például a párhuzamos egyenesek metszéspontjainak halmaza, az x2=-5.
egyenlet megoldásainak halmaza
Problémamegoldás
Az Euler-köröket aktívan használják számos probléma megoldására. A logikai példák egyértelműen bemutatják a logikai műveletek és a halmazelmélet közötti kapcsolatot. Ebben az esetben a fogalmak igazságtáblázatait használjuk. Például az A-val jelölt kör az igazság régióját jelöli. Tehát a körön kívüli terület hamis. A diagram területének meghatározásához egy logikai művelethez árnyékolni kell az Euler-kört meghatározó területeket, amelyekben az A és B elemek értékei igazak lesznek.
Az Euler-körök használata széles körű gyakorlati alkalmazásra talált a különböző iparágakban. Például egy szakmai választással járó helyzetben. Ha az alany aggodalmát fejezi ki a jövőbeli szakma választása miatt, akkor a következő kritériumok vezérelhetik:
W – mit szeretek csinálni?
D – mit csinálok?
P– hogyan kereshetek jó pénzt?
Rajzoljuk ezt diagramként: Euler-körök (példák a logikában - metszéspont reláció):
Az eredmény azok a szakmák lesznek, amelyek mindhárom kör metszéspontjában lesznek.
Az Euler-Venn körök külön helyet foglalnak el a matematikában (halmazelmélet) a kombinációk és tulajdonságok számításakor. Az elemhalmaz Euler-körei az univerzális halmazt (U) jelölő téglalap képébe záródnak. A körök helyett más zárt figurák is használhatók, de ennek a lényege nem változik. Az ábrák metszik egymást, a feladat feltételeinek megfelelően (legáltalánosabb esetben). Ezenkívül ezeket a számokat ennek megfelelően kell felcímkézni. A vizsgált halmazok elemei lehetnek a diagram különböző szegmenseiben elhelyezkedő pontok. Ez alapján árnyékolhat bizonyos területeket, ezzel kijelölve az újonnan kialakított halmazokat.
Ezekkel a halmazokkal alapvető matematikai műveletek hajthatók végre: összeadás (elemhalmazok összege), kivonás (különbség), szorzás (szorzat). Ezenkívül az Euler-Venn diagramoknak köszönhetően lehetőség nyílik a halmazok összehasonlítására a bennük lévő elemek számával, nem számolva.
