A poliéderek már az ókorban is felkeltették a matematikusok és tudósok figyelmét. Az egyiptomiak építették a piramisokat. A görögök pedig a "szabályos poliédereket" tanulmányozták. Néha platóni szilárdtesteknek is nevezik őket. A "hagyományos poliéderek" lapos felületekből, egyenes élekből és csúcsokból állnak. De a fő kérdés mindig az volt, hogy ezeknek a különálló részeknek milyen szabályoknak kell megfelelniük, valamint milyen további globális feltételeknek kell teljesülniük ahhoz, hogy egy objektum poliédernek minősüljön. A kérdésre a választ a cikkben mutatjuk be.
Problémák a definícióban
Miből áll ez a szám? A poliéder egy zárt szilárd forma, amelynek lapos felületei és egyenes élei vannak. Ezért definíciójának első problémája pontosan az ábra oldalainak nevezhető. Nem minden síkban fekvő arc mindig poliéder jele. Vegyük például a „háromszög alakú hengert”. miből áll? Felületének egy része három párbanmetsző függőleges síkok nem tekinthetők sokszögnek. Ennek az az oka, hogy nincsenek csúcsai. Egy ilyen alakzat felülete három, egy pontban találkozó sugár alapján jön létre.
Még egy probléma – a repülőgépek. A "háromszög alakú henger" esetében ez a korlátlan részekben rejlik. Egy alakzatot konvexnek tekintünk, ha a halmaz bármely két pontját összekötő szakasz is benne van. Mutassuk be egyik fontos tulajdonságukat. Konvex halmazok esetében ez az, hogy a halmazban közös pontok halmaza megegyezik. Van egy másik fajta figura is. Ezek nem domború 2D poliéderek, amelyek vagy bevágásokkal vagy lyukakkal rendelkeznek.
Alakzatok, amelyek nem poliéderek
A pontok lapos halmaza eltérő lehet (például nem konvex), és nem felel meg a poliéder szokásos definíciójának. Még rajta keresztül is vonalszakaszok korlátozzák. A konvex poliéder vonalai konvex alakzatokból állnak. A definíciónak ez a megközelítése azonban kizárja a végtelenbe tartó figurát. Példa erre három olyan sugár, amelyek nem találkoznak ugyanabban a pontban. De ugyanakkor egy másik alak csúcsaihoz is kapcsolódnak. Hagyományosan egy poliédernél fontos volt, hogy sík felületekből álljon. Idővel azonban a fogalom bővült, ami jelentős javuláshoz vezetett a poliéderek eredeti „szűkebb” osztályának megértésében, valamint egy új, tágabb definíció megjelenéséhez.
Helyes
Vegyünk még egy definíciót. Szabályos poliéder az, amelyben minden lap egy kongruens szabályoskonvex sokszögek, és minden csúcs "ugyanaz". Ez azt jelenti, hogy minden csúcsnak ugyanannyi szabályos sokszöge van. Használja ezt a meghatározást. Így találhat öt szabályos poliédert.
Első lépések az Euler-tételhez a poliéderekre
A görögök tudtak a sokszögről, amelyet ma pentagramnak hívnak. Ezt a sokszöget szabályosnak nevezhetjük, mert minden oldala egyenlő hosszú. Van még egy fontos megjegyzés. A két egymást követő oldal közötti szög mindig azonos. Síkba rajzolva azonban nem határoz meg konvex halmazt, és a poliéder oldalai metszik egymást. Ez azonban nem mindig volt így. A matematikusok régóta fontolgatják a "nem konvex" szabályos poliéderek gondolatát. A pentagram egyike volt ezeknek. A "csillag sokszögek" is megengedettek voltak. Számos új példát fedeztek fel a "szabályos poliéderekre". Ma Kepler-Poinsot poliédereknek hívják. Később G. S. M. Coxeter és Branko Grünbaum kiterjesztette a szabályokat, és további "szabályos poliédereket" fedezett fel.
Poliéderes képlet
Ezen számadatok szisztematikus tanulmányozása viszonylag korán kezdődött a matematika történetében. Leonhard Euler volt az első, aki észrevette, hogy a csúcsaik, lapjaik és éleik számára vonatkozó képlet érvényes a konvex 3D poliéderekre.
Így néz ki:
V + F - E=2, ahol V a poliéder csúcsainak száma, F a poliéder éleinek száma, és E a lapok száma.
Leonhard Euler svájcimatematikus, akit minden idők egyik legnagyobb és legtermékenyebb tudósaként tartanak számon. Élete nagy részében vak volt, de a látás elvesztése okot adott neki, hogy még termelékenyebbé váljon. Számos képletet neveztek el róla, és azt, amelyet most néztünk meg, néha Euler-poliéder képletnek is nevezik.
Van egy pontosítás. Az Euler-képlet azonban csak bizonyos szabályokat követő poliédereknél működik. Abban a tényben rejlenek, hogy az űrlapon ne legyen lyuk. És elfogadhatatlan, hogy keresztbe tegye magát. A poliéder szintén nem állhat két egymáshoz kapcsolódó részből, például két, azonos csúcsú kockából. Euler 1750-ben Christian Goldbachnak írt levelében említette kutatásának eredményét. Később két tanulmányt publikált, amelyekben leírta, hogyan próbált bizonyítékot találni új felfedezésére. Valójában vannak olyan formák, amelyek eltérő választ adnak V + F - E-re. Az F + V - E=X összegre adott választ Euler-karakterisztikának nevezzük. Van egy másik aspektusa is. Egyes alakzatoknak akár negatív Euler-karakterisztikája is lehet
Grafikonelmélet
Néha azt állítják, hogy Descartes korábban származtatta Euler tételét. Bár ez a tudós olyan tényeket fedezett fel a háromdimenziós poliéderekről, amelyek lehetővé tennék számára a kívánt képlet levezetését, ezt a további lépést nem tette meg. Ma Euler a gráfelmélet "atyja". Ötleteivel oldotta meg a königsbergi híd problémáját. A tudós azonban nem kontextusban nézte a poliédertgráfelmélet. Euler egy poliéder egyszerűbb részekre bontásán alapuló képlet bizonyítását próbálta megadni. Ez a kísérlet elmarad a modern bizonyítási normáktól. Bár Euler nem adta meg az első helyes indoklást a képletéhez, nem lehet bizonyítani olyan sejtéseket, amelyek nem születtek meg. A későbbiekben alátámasztott eredmények azonban lehetővé teszik az Euler-tétel jelenkori alkalmazását is. Az első bizonyítékot Adrian Marie Legendre matematikus szerezte.
Euler-képlet bizonyítéka
Euler először fogalmazta meg a poliéder képletet a poliéderek tételeként. Ma gyakran az összekapcsolt gráfok általánosabb kontextusában kezelik. Például pontokból és az őket összekötő vonalszakaszokból álló szerkezetekként, amelyek ugyanabban a részben vannak. Augustin Louis Cauchy volt az első ember, aki megtalálta ezt a fontos kapcsolatot. Euler-tétel bizonyításaként szolgált. Lényegében azt vette észre, hogy egy konvex poliéder (vagy amit ma ilyennek neveznek) gráfja topológiailag homeomorf egy gömbhöz, van egy síkbeli összefüggő gráfja. Ami? Síkgráf az, amelyet úgy rajzoltunk meg a síkban, hogy élei csak egy csúcsban találkoznak vagy metszik egymást. Itt találták meg az összefüggést az Euler-tétel és a gráfok között.
Az eredmény fontosságának egyik jele, hogy David Epstein tizenhét különböző bizonyítékot tudott összegyűjteni. Az Euler-féle poliéderképlet sokféleképpen igazolható. Bizonyos értelemben a legkézenfekvőbb bizonyítások a matematikai indukciót alkalmazó módszerek. Az eredmény bizonyíthatórajzolja meg a gráf éleinek, lapjainak vagy csúcsainak száma mentén.
Rademacher és Toeplitz bizonyítéka
Különösen vonzó Rademacher és Toeplitz következő bizonyítéka, amely Von Staudt megközelítésén alapul. Az Euler-tétel igazolására tegyük fel, hogy G egy síkba ágyazott összefüggő gráf. Ha vannak sémái, akkor mindegyikből ki lehet zárni egy-egy élt úgy, hogy megmaradjon az a tulajdonság, hogy kapcsolatban marad. Egy az egyben megfeleltetés van az eltávolított részek között, hogy lezárás nélkül megyünk a kapcsolódó gráfhoz, és azok között, amelyek nem végtelen élek. Ez a kutatás az „orientálható felületek” úgynevezett Euler-karakterisztika szerinti osztályozásához vezetett.
Jordán görbe. Tétel
A fő tézis, amelyet közvetlenül vagy közvetve használunk az Euler-tétel poliéderképletének bizonyítására gráfokra, a Jordan-görbétől függ. Ez a gondolat az általánosításhoz kapcsolódik. Azt mondja, hogy bármely egyszerű zárt görbe három halmazra osztja a síkot: pontok rajta, belül és kívül. Ahogy az Euler-féle poliéderképlet iránti érdeklődés a 19. században kialakult, számos kísérlet történt általánosítására. Ez a kutatás megalapozta az algebrai topológia fejlődését, és összekapcsolta az algebrával és a számelmélettel.
Moebius csoport
Hamar kiderült, hogy egyes felületeket csak lokálisan lehet következetesen "orientálni", globálisan nem. A jól ismert Möbius-csoport illusztrálja eztfelületek. Valamivel korábban fedezte fel Johann Listing. Ez a fogalom magában foglalja a gráf nemzetségének fogalmát: a legkevesebb leíró g. Hozzá kell adni a gömb felületéhez, a kiterjesztett felületre pedig úgy lehet beágyazni, hogy az élek csak a csúcsokban találkozzanak. Kiderült, hogy az euklideszi térben bármely tájolható felület bizonyos számú fogantyúval rendelkező gömbnek tekinthető.
Euler-diagram
A tudós újabb felfedezést tett, amelyet ma is használnak. Ez az úgynevezett Euler-diagram a körök grafikus ábrázolása, amelyet általában halmazok vagy csoportok közötti kapcsolatok illusztrálására használnak. A diagramok általában olyan színeket tartalmaznak, amelyek olyan területeken keverednek, ahol a körök átfedik egymást. A készleteket pontosan körök vagy oválisok ábrázolják, bár más figurák is használhatók hozzájuk. A zárványt ellipszisek átfedése, az úgynevezett Euler-körök jelentik.
Halmazokat és részhalmazokat jelentenek. A kivétel a nem átfedő körök. Az Euler-diagramok szorosan kapcsolódnak más grafikus ábrázoláshoz. Gyakran össze vannak zavarodva. Ezt a grafikus ábrázolást Venn-diagramoknak nevezik. A szóban forgó készletektől függően mindkét változat ugyanúgy nézhet ki. A Venn-diagramokon azonban az egymást átfedő körök nem feltétlenül a halmazok közötti közösséget jelzik, hanem csak egy lehetséges logikai kapcsolatot, ha a címkéik nemmetsző kör. Mindkét lehetőséget a halmazelmélet oktatására alkalmazták az 1960-as évek új matematikai irányzatának részeként.
Fermat és Euler tételei
Euler észrevehető nyomot hagyott a matematikai tudományban. Az algebrai számelméletet a róla elnevezett tétel gazdagította. Ez egy másik fontos felfedezés következménye is. Ez az úgynevezett általános algebrai Lagrange-tétel. Euler nevéhez fűződik Fermat kis tétele is. Azt mondja, hogy ha p prímszám, a pedig p-vel nem osztható egész szám, akkor:
ap-1 - 1 osztható p.
Néha ugyanannak a felfedezésnek más neve is van, leggyakrabban a külföldi szakirodalomban. Úgy hangzik, mint Fermat karácsonyi tétele. A helyzet az, hogy a felfedezés egy tudós levelének köszönhetően vált ismertté, amelyet 1640. december 25-én küldött. De magával a kijelentéssel már korábban is találkoztunk. Egy másik Albert Girard nevű tudós használta. Fermat csak az elméletét próbálta bizonyítani. A szerző egy másik levélben utal arra, hogy a végtelen leszállás módszere ihlette meg. De semmiféle bizonyítékkal nem szolgált. Később Eider is ehhez a módszerhez fordult. És utána - sok más híres tudós, köztük Lagrange, Gauss és Minkosky.
Az identitás jellemzői
Fermat kis tételét a számelméletből származó tétel speciális esetének is nevezik Euler miatt. Ebben az elméletben az Euler-azonosságfüggvény pozitív egész számokat számol egy adott n egész számig. Tökéletesek a tekintetbenn. Az Euler-tétel a számelméletben a görög φ betűvel íródott, és úgy néz ki, mint φ(n). Formálisabban definiálható az 1 ≦ k ≦ n tartományba eső k egész számok számaként, amelyekre a gcd(n, k) legnagyobb közös osztója 1. A φ(n) jelölést Euler phi függvényének is nevezhetjük. Az ilyen alakú k egész számokat néha összesítőnek nevezik. A számelmélet középpontjában az Euler-azonosságfüggvény multiplikatív, ami azt jelenti, hogy ha két m és n szám másodprím, akkor φ(mn)=φ(m)φ(n). Kulcsszerepet játszik az RSA titkosítási rendszer meghatározásában is.
Az Euler-függvényt 1763-ban vezették be. Ekkor azonban a matematikus nem választott neki konkrét szimbólumot. Egy 1784-es publikációjában Euler részletesebben tanulmányozta ezt a függvényt, és a görög π betűt választotta ábrázolására. James Sylvester alkotta meg az „összesen” kifejezést erre a funkcióra. Ezért ezt Euler-összegnek is nevezik. Az 1-nél nagyobb n pozitív egész szám teljes φ(n)-e az n-nél kisebb pozitív egészek száma, amelyek n-ig viszonylag prímek. φ(1) 1-ként van definiálva. Az Euler-függvény vagy a phi(φ) függvény nagyon fontos számelmélet egy függvény, amely mélyen kapcsolódik a prímszámokhoz és az úgynevezett egész számok rendjéhez.
