A minket körülvevő világ állandó mozgásban van. Ennek ellenére vannak olyan rendszerek, amelyek viszonylagos nyugalmi és egyensúlyi állapotban lehetnek. Az egyik a kar. Ebben a cikkben megvizsgáljuk, mi ez a fizika szempontjából, és megoldunk néhány problémát a kar egyensúlyi állapotával kapcsolatban.
Mi az a kar?
A fizikában a kar egy egyszerű szerkezet, amely egy súlytalan gerendából (deszkából) és egy támaszból áll. A támasz helye nem rögzített, így közelebb is elhelyezhető a gerenda valamelyik végéhez.
Egyszerű mechanizmusként a kar arra szolgál, hogy az erőt pályává alakítsa, és fordítva. Annak ellenére, hogy az erő és az út teljesen különböző fizikai mennyiségek, a munkaképlet alapján összefüggnek egymással. Bármilyen teher felemeléséhez némi munkát kell végeznie. Ezt kétféleképpen lehet megtenni: nagy erővel és kis távolságra mozgatva a terhelést, vagy csekély erővel cselekedni, ugyanakkor növelni a mozgási távolságot. Valójában erre való a tőkeáttétel. Röviden, ez a mechanizmus lehetővé teszi, hogy nyerjen az úton és veszítsen erőben, vagy fordítva, nyerjen erőben, de veszítsen az úton.
A kart ható erők
Ez a cikk a kar egyensúlyi feltételeivel foglalkozik. Bármilyen egyensúly a statikában (a fizika nyugalmi testeket vizsgáló ága) feltételezi az erők jelenlétét vagy hiányát. Ha a kart szabad formájúnak tekintjük (súlytalan gerenda és támasz), akkor semmilyen erő nem hat rá, és egyensúlyban lesz.
Ha bármilyen típusú karral történik a munka, mindig három erő hat rá. Soroljuk fel őket:
- Rakomány tömege. Mivel a kérdéses mechanizmus terhek emelésére szolgál, nyilvánvaló, hogy a súlyukat le kell győzni.
- Külső reakcióerő. Ez az az erő, amelyet egy személy vagy más gép fej ki a kargerendára ható terhelés ellensúlyozására.
- A támogatás reakciója. Ennek az erőnek az iránya mindig merőleges a kar gerenda síkjára. A támasz reakcióereje felfelé irányul.
A kar egyensúlyi feltétele nem annyira a megjelölt ható erőket, mint inkább az általuk létrehozott erők pillanatait veszi figyelembe.
Mi az erőnyomaték
A fizikában az erőnyomatékot vagy a nyomatékot olyan értéknek nevezzük, amely egyenlő egy külső erő vállszorzatával. Az erő válla az erő alkalmazási pontja és a forgástengely közötti távolság. Ez utóbbi jelenléte fontos az erőnyomaték kiszámításánál. Forgástengely jelenléte nélkül nincs értelme az erőnyomatékról beszélni. A fenti definíció ismeretében a következő kifejezést írhatjuk az M nyomatékra:
M=Fd
Az igazság kedvéért megjegyezzük, hogy az erőnyomaték valójában egy vektormennyiség, azonban a cikk témájának megértéséhez elegendő tudni, hogyan számítják ki az erőnyomaték modulusát.
A fenti képlet mellett nem szabad elfelejteni, hogy ha az F erő a rendszert úgy forgatja, hogy az az óramutató járásával ellentétes irányban kezd el mozogni, akkor a létrejövő pillanatot pozitívnak tekintjük. Ezzel szemben, ha a rendszert az óra irányába forgatják, az negatív nyomatékot jelez.
A kar egyensúlyi állapotának képlete
Az alábbi ábrán egy tipikus kart látható, melynek jobb és bal vállának értékei is meg vannak jelölve. A külső erőt F jelöléssel, az emelendő súlyt pedig R jelöléssel.
A statikában a rendszer pihenéséhez két feltételnek kell teljesülnie:
- A rendszerre ható külső erők összegének egyenlőnek kell lennie nullával.
- Az említett erők bármely tengely körüli nyomatékának összege nullának kell lennie.
E feltételek közül az első a rendszer transzlációs mozgásának hiányát jelenti. A kar számára nyilvánvaló, mivel a támasztéka szilárdan a padlón vagy a talajon van. Ezért a kar egyensúlyi állapotának ellenőrzése csak a következő kifejezés érvényességének ellenőrzését jelenti:
∑i=1Mi=0
A mi esetünkbencsak három erő hat, írja át ezt a képletet a következőképpen:
RdR- FdF+ N0=0
A pillanatnyi támogatás reakcióereje nem hoz létre. Írjuk át az utolsó kifejezést a következőképpen:
RdR=FdF
Ez a kar egyensúlyi feltétele (a középiskolák 7. osztályában tanulják fizika tantárgyból). A képlet azt mutatja, hogy ha az F erő értéke nagyobb, mint az R terhelés súlya, akkor a vállnak dF kisebbnek kell lennie, mint a dR vállnak.. Ez utóbbi azt jelenti, hogy kis távolságra nagy erőt kifejtve nagy távolságra tudjuk mozgatni a terhet. A fordított helyzet is igaz, amikor F<R és ennek megfelelően dF>dR. Ebben az esetben az erősítés érvényesül.
Elefánt és hangya probléma
Sokan ismerik Arkhimédész híres mondását, amely arról szól, hogy egy kar segítségével az egész földgolyót meg lehet mozgatni. Ennek a félkövér kijelentésnek van fizikai értelme, tekintettel a fent leírt kar-egyensúlyi képletre. Hagyjuk békén Arkhimédészt és a Földet, és oldjunk meg egy kicsit más problémát, ami nem kevésbé érdekes.
Az elefánt és a hangya a kar különböző karjaira került. Tegyük fel, hogy az elefánt tömegközéppontja egy méterrel van a támasztól. Milyen messze kell lennie a hangyának a támasztól, hogy egyensúlyba hozza az elefántot?
A probléma kérdésének megválaszolásához lapozzuk át a vizsgált állatok tömegére vonatkozó táblázatos adatokat. Vegyük egy hangya tömegét 5 mg-nak (510-6kg), egy elefánt tömegét 5000 kg-nak tekintjük. A kar egyensúlyi képletével a következőt kapjuk:
50001=510-6x=>
x=5000/(510-6)=109m.
A hangya valóban képes egyensúlyba hozni az elefántot, de ehhez 1 millió kilométeres távolságra kell elhelyezkednie a kartámasztól, ami a Föld és a Nap távolságának 1/150-ének felel meg!
Probléma a tartó végénél
Ahogy fentebb megjegyeztük, a karnál a gerenda alatti támasz bárhol elhelyezhető. Tegyük fel, hogy a gerenda egyik végének közelében található. Egy ilyen karnak egyetlen karja van, az alábbi ábrán látható.
Tegyük fel, hogy a teher (piros nyíl) tömege 50 kg, és pontosan a kar közepén helyezkedik el. Mekkora F külső erőt (kék nyíl) kell kifejteni a kar végére, hogy kiegyensúlyozza ezt a súlyt?
Jelöljük a kar hosszát d-vel. Ekkor az egyensúlyi feltételt a következő formában írhatjuk fel:
Fd=Rd/2=>
F=mg/2=509, 81/2=245, 25 N
Így az alkalmazott erő nagyságának a terhelés súlyának felének kell lennie.
Ezt a típusú kart olyan találmányokban használják, mint például a kézi talicskában vagy a diótörőben.
