Az aggregált halmazállapotú gázok tulajdonságainak vizsgálata a modern fizika egyik fontos területe. A gázokat mikroszkopikus léptékben tekintve megkaphatjuk a rendszer összes makroszkopikus paraméterét. Ez a cikk feltárja a gázok molekuláris kinetikai elméletének egy fontos kérdését: mi a molekulák Maxwell-eloszlása a sebességek tekintetében.
Történelmi háttér
A gáz mint mikroszkopikus mozgó részecskék rendszerének ötlete az ókori Görögországból származik. Több mint 1700 évbe telt, mire a tudomány kifejlesztette.
A gáz modern molekuláris-kinetikai elméletének (MKT) megalapítója Daniil Bernoullinak tekinthető. 1738-ban megjelentette a Hidrodinamika című munkáját. Ebben Bernoulli felvázolta az MKT máig alkalmazott elképzeléseit. Tehát a tudós úgy vélte, hogy a gázok olyan részecskékből állnak, amelyek minden irányban véletlenszerűen mozognak. Számos ütközésaz edényfalú részecskéket a gázokban lévő nyomás jelenléteként érzékelik. A részecskék sebessége szorosan összefügg a rendszer hőmérsékletével. A tudományos közösség nem fogadta el Bernoulli merész ötleteit, mert az energiamegmaradás törvénye még nem született meg.
Ezt követően sok tudós foglalkozott a gázok kinetikai modelljének felépítésével. Közülük meg kell említeni Rudolf Clausiust, aki 1857-ben egy egyszerű gázmodellt készített. Ebben a tudós különös figyelmet fordított a transzlációs, forgási és vibrációs szabadsági fokok molekulákban való jelenlétére.
1859-ben, Clausius munkásságát tanulmányozva, James Maxwell megfogalmazta az úgynevezett Maxwell-eloszlást a molekula sebességek között. Valójában Maxwell megerősítette az MKT elképzeléseit, matematikai apparátussal alátámasztva azokat. Ezt követően Ludwig Boltzmann (1871) általánosította a Maxwell-eloszlás következtetéseit. A molekulák általánosabb statisztikai eloszlását feltételezte a sebességek és energiák függvényében. Jelenleg Maxwell-Boltzmann eloszlásként ismert.
Ideális gáz. Az ILC alapvető posztulátumai
A Maxwell-eloszlási függvény megértéséhez világosan meg kell értenie azokat a rendszereket, amelyekre ez a függvény alkalmazható. Ideális gázról beszélünk. A fizikában ez a fogalom folyékony anyagként értendő, amely gyakorlatilag dimenzió nélküli, potenciális energiával nem rendelkező részecskékből áll. Ezek a részecskék nagy sebességgel mozognak, így viselkedésüket teljes mértékben a mozgási energia határozza meg. Ráadásul a részecskék közötti távolság túl nagy ahhozméretükhöz képest, így az utóbbiakat elhanyagoljuk.
Az ideális gázokat az MKT ismerteti. Fő posztulátumai a következők:
- a gázrendszerek hatalmas számú szabad részecskéből állnak;
- a részecskék véletlenszerűen, különböző sebességgel, különböző irányokba mozognak egyenes pályákon;
- a részecskék rugalmasan ütköznek az érfalakkal (a részecskék egymásnak ütközésének valószínűsége kis méretük miatt kicsi);
- A rendszer hőmérsékletét egyértelműen a részecskék átlagos kinetikus energiája határozza meg, amely időben megmarad, ha a rendszerben termodinamikai egyensúly jön létre.
Maxwell elosztási törvénye
Ha az embernek lenne olyan műszere, amellyel meg lehetne mérni egyetlen gázmolekula sebességét, akkor megfelelő kísérlet elvégzése után meglepődne. A kísérlet azt mutatná, hogy bármely gáznemű rendszer minden molekulája teljesen tetszőleges sebességgel mozog. Ebben az esetben a környezettel termikus egyensúlyban lévő rendszer keretein belül nagyon lassú és nagyon gyors molekulákat is detektálnának.
A gázmolekulák sebességeloszlásának Maxwell-törvénye egy olyan eszköz, amely lehetővé teszi annak meghatározását, hogy a vizsgált rendszerben mekkora valószínűséggel észlelhetőek a részecskék adott v sebességgel. A megfelelő függvény így néz ki:
f(v)=(m/(2pikT))3/24piv2 exp(-mv2/(2kT)).
Ebben a kifejezésben m -részecske (molekula) tömege, k - Boltzmann-állandó, T - abszolút hőmérséklet. Így, ha a részecskék kémiai természete (m értéke) ismert, akkor az f(v) függvényt az abszolút hőmérséklet egyértelműen meghatározza. Az f(v) függvényt valószínűségi sűrűségnek nevezzük. Ha ebből vesszük az integrált valamilyen sebességkorlátozásra (v; v+dv), akkor megkapjuk az Ni részecskék számát, amelyek sebessége a megadott intervallumban van. Ennek megfelelően, ha az f(v) valószínűségi sűrűség integrálját vesszük a 0-tól ∞-ig terjedő sebességhatárokhoz, akkor megkapjuk a rendszerben lévő N molekulák teljes számát.
Az f(v) valószínűségi sűrűség grafikus ábrázolása
A valószínűségi sűrűségfüggvénynek kissé összetett matematikai formája van, ezért nem könnyű ábrázolni viselkedését adott hőmérsékleten. Ez a probléma megoldható, ha kétdimenziós grafikonon ábrázolja. A Maxwell-eloszlási grafikon sematikus nézete az alábbi ábrán látható.
Látjuk, hogy nulláról indul, mivel a molekulák v sebességének nem lehet negatív értéke. A grafikon valahol a nagy sebességek tartományában ér véget, és simán nullára esik (f(∞)->0). A következő tulajdonság is szembetűnő: a sima ív aszimmetrikus, kis sebességeknél élesebben csökken.
Az f(v) valószínűségi sűrűségfüggvény viselkedésének egyik fontos jellemzője, hogy egy kifejezett maximum van rajta. A függvény fizikai jelentése szerint ez a maximum a gázban lévő molekulák sebességének legvalószínűbb értékének felel meg.rendszer.
Fontos sebességek az f(v) függvényhez
Az f(v) valószínűségi sűrűségfüggvény és grafikus ábrázolása lehetővé teszi a sebesség három fontos típusának meghatározását.
Az első kézenfekvő és fentebb említett sebesség a legvalószínűbb sebesség v1. A grafikonon értéke az f(v) függvény maximumának felel meg. Ez a sebesség és a hozzá közel álló értékek tartalmazzák a rendszer legtöbb részecskéjét. Nem nehéz kiszámolni, ehhez elég az f(v) függvény sebességére vonatkozó első deriváltot felvenni és nullával egyenlővé tenni. Ezen matematikai műveletek eredményeként a végeredményt kapjuk:
v1=√(2RT/M).
Itt R az univerzális gázállandó, M a molekulák moláris tömege.
A második típusú sebesség az összes N részecske átlagos értéke. Jelöljük v2. Kiszámítható a vf(v) függvény minden sebességre történő integrálásával. A feljegyzett integráció eredménye a következő képlet lesz:
v2=√(8RT/(piM)).
Mivel az arány 8/pi>2, az átlagsebesség mindig valamivel magasabb, mint a legvalószínűbb.
Minden olyan ember, aki egy kicsit is ismeri a fizikát, megérti, hogy a molekulák v2 átlagos sebességének nagy jelentősége van egy gázrendszerben. Ez azonban téves feltételezés. Sokkal fontosabb az RMS sebesség. Jelöljükv3.
A definíció szerint a négyzetes középsebesség az összes részecske egyedi sebességének négyzetének összege, osztva e részecskék számával, és négyzetgyöknek vesszük. A Maxwell-eloszlásra akkor számítható ki, ha a v2f(v) függvény minden sebességére definiáljuk az integrált. Az átlagos másodfokú sebesség képlete a következő formában lesz:
v3=√(3RT/M).
Az egyenlőség azt mutatja, hogy ez a sebesség nagyobb, mint v2 és v1 bármely gázrendszernél.
Így a Maxwell-eloszlási grafikonon szereplő összes sebességtípus vagy a szélsőértéken, vagy attól jobbra található.
A v3 fontossága
Fentebb megjegyeztük, hogy a négyzetes átlagsebesség fontosabb a gázrendszer fizikai folyamatainak és tulajdonságainak megértéséhez, mint az egyszerű átlagos sebesség v2. Ez igaz, mivel egy ideális gáz mozgási energiája pontosan a v3-tól függ, és nem a v2-tól.
Ha egy monatomikus ideális gázt tekintünk, akkor a következő kifejezés igaz rá:
mv32/2=3/2kT.
Itt az egyenlet minden része egy m tömegű részecske mozgási energiáját jelenti. Miért tartalmazza a kifejezés pontosan a v3 értéket, és nem a v2 átlagsebességet? Nagyon egyszerű: az egyes részecskék kinetikus energiájának meghatározásakor négyzetbe adjuk a v egyedi sebességét, majd az összes sebességetösszeadjuk és elosztjuk az N részecskék számával. Vagyis maga a kinetikus energia meghatározására szolgáló eljárás az átlagos négyzetsebesség értékéhez vezet.
F(v) függvény függése a hőmérséklettől
A fentiekben megállapítottuk, hogy a molekulasebességek valószínűségi sűrűsége egyértelműen a hőmérséklettől függ. Hogyan fog megváltozni a függvény, ha T növeljük vagy csökkentjük? Az alábbi táblázat segít megválaszolni ezt a kérdést.
Látható, hogy a zárt rendszer felfűtése a csúcs elkenődéséhez és a nagyobb sebesség felé tolódásához vezet. A hőmérséklet emelkedése minden típusú sebesség növekedéséhez és mindegyik valószínűségi sűrűségének csökkenéséhez vezet. A csúcsérték csökken az N részecskék számának megőrzése miatt zárt rendszerben.
Ezután megoldunk néhány problémát, hogy a kapott elméleti anyagot konszolidáljuk.
Probléma a levegőben lévő nitrogénmolekulákkal
Ki kell számítani a v1, v2 és v3 sebességeket levegőnitrogénhez 300 K hőmérsékleten (körülbelül 27 oC).
A nitrogén moláris tömege N2 28 g/mol. A fenti képletekkel a következőt kapjuk:
v1=√(2RT/M)=√(28, 314300/0, 028)=422 m/s;
v2=√(8RT/(piM))=√(88, 314300/(3, 140, 028))=476 m/s;
v3=√(3RT/M)=√(38, 314300/0, 028)=517 m/s.
Oxigéntartály probléma
A hengerben lévő oxigén egy bizonyos hőmérsékleten volt T1. Ezután a léggömböt egy hidegebb helyiségbe helyezték. Hogyan fog megváltozni az oxigénmolekulák Maxwell sebességeloszlási diagramja, amikor a rendszer termodinamikai egyensúlyba kerül?
Emlékezve az elméletre, a probléma kérdésére így válaszolhatunk: a molekulák minden típusú sebességének értéke csökken, az f(v) függvény csúcsa balra tolódik, egyre keskenyebbé váljon.
