Mindannyian aritmetikai négyzetgyököt tanultunk az iskolában algebra órán. Előfordul, hogy ha a tudást nem frissítik fel, akkor gyorsan elfelejtik, ugyanez a gyökerekkel. Ez a cikk hasznos lesz azoknak a nyolcadik osztályosoknak, akik szeretnék felfrissíteni tudásukat ezen a területen, valamint más iskolásoknak, mert a 9., 10. és 11. osztályban gyökeresen dolgozunk.
A gyökér és fokozat története
Még az ókorban, különösen az ókori Egyiptomban, az embereknek diplomára volt szükségük ahhoz, hogy számműveleteket hajtsanak végre. Amikor még nem volt ilyen fogalom, az egyiptomiak húszszor írták le az azonos szám szorzatát. Ám hamarosan megoldást találtak a problémára – a jobb felső sarokba kezdték írni, hogy hányszor kell a számot önmagával szorozni, és ez a felvételi forma a mai napig fennmaradt.
És a négyzetgyök története körülbelül 500 évvel ezelőtt kezdődött. Különféleképpen jelölték, és csak a tizenhetedik században Rene Descartes vezetett be egy ilyen jelet, amelyet a mai napig használunk.
Mi az a négyzetgyök
Kezdjük azzal, hogy elmagyarázzuk, mi az a négyzetgyök. Valamely c szám négyzetgyöke egy nem negatív szám, amely négyzetre vetve egyenlő lesz c-vel. Ebben az esetben c nagyobb vagy egyenlő nullával.
Ahhoz, hogy egy szám a gyökér alá kerüljön, négyzetre tesszük, és fölé helyezzük a gyökérjelet:
32=9, 3=√9
Egy negatív szám négyzetgyökének értékét sem tudjuk megadni, mivel a négyzetben bármely szám pozitív, azaz:
c2 ≧ 0, ha √c negatív szám, akkor c2 < 0 - a szabállyal ellentétben.
A négyzetgyök gyors kiszámításához ismernie kell a számok négyzettáblázatát.
Tulajdonságok
Vegyük figyelembe a négyzetgyök algebrai tulajdonságait.
1) A szorzat négyzetgyökének kivonásához minden tényező gyökét ki kell venni. Vagyis a tényezők gyökereinek szorzataként írható fel:
√ac=√a × √c, például:
√36=√4 × √9
2
3) Egy szám négyzetgyökének felvételével kapott érték mindig egyenlő ennek a számnak a modulusával, mivel a modulus csak pozitív lehet:
√с2=∣с∣, ∣с∣ > 0.
4) Ahhoz, hogy bármilyen hatalom gyökérét emeljük, emelünk ráradikális kifejezés:
(√с)4=√с4, például:
(√2)6 =√26=√64=8
5) C számtani gyökének négyzete egyenlő ezzel a számmal:
(√s)2=s.
Irracionális számok gyökerei
Tegyük fel, hogy a tizenhat gyökere egyszerű, de hogyan vegyük a 7, 10, 11-hez hasonló számok gyökerét?
Azt a számot, amelynek gyöke végtelen, nem periodikus tört, irracionálisnak nevezzük. A gyökeret önerőből nem tudjuk kinyerni belőle. Csak összehasonlítani tudjuk más számokkal. Vegyük például az 5 gyökerét, és hasonlítsuk össze √4-gyel és √9-cel. Jól látható, hogy √4 < √5 < √9, majd 2 < √5 < 3. Ez azt jelenti, hogy az ötös gyökének értéke valahol kettő és három között van, de sok a tizedes tört közöttük, ill. mindegyik kiválasztása kétes módszer a gyökér megtalálására.
Ezt a műveletet számológépen is elvégezheti – ez a legegyszerűbb és leggyorsabb módja, de a 8. osztályban soha nem kell irracionális számokat kivonnia a számtani négyzetgyökből. Csak a kettő és a három gyökerének hozzávetőleges értékére kell emlékeznie:
√2 ≈ 1, 4, √3 ≈ 1, 7.
Példák
Most a négyzetgyök tulajdonságai alapján több példát is megoldunk:
1) √172 - 82
Emlékezzen a négyzetek különbségének képletére:
√(17-8) (17+8)=√9 ×25
Ismerjük a négyzetgyök tulajdonságát – a gyökér szorzatból való kinyeréséhez minden tényezőből ki kell vonni:
√9 × √25=3 × 5=15
2) √3 (2√3 + √12)=2 (√3)2 + √36
Alkalmazza a gyök egy másik tulajdonságát – egy szám számtani gyökének négyzete egyenlő ezzel a számmal:
2 × 3 + 6=12
Fontos! Amikor elkezdenek dolgozni és számtani négyzetgyököt tartalmazó példákat oldanak meg, a tanulók gyakran elkövetik a következő hibát:
√12 + 3=√12 + √3 – ezt nem teheted!
Nem tudjuk minden kifejezés gyökerét megragadni. Nincs ilyen szabály, de összekeverik az egyes tényezők gyökerének meghatározásával. Ha ez a bejegyzésünk lenne:
√12 × 3, akkor tisztességes lenne √12 × 3=√12 × √3.
És így csak ezt írhatjuk:
√12 + 3=√15
