A másodfokú egyenlet tulajdonságainak tanulmányozásakor megszorítást állítottunk be - nullánál kisebb diszkrimináns esetén nincs megoldás. Azonnal kikötötték, hogy valós számok halmazáról beszélünk. A matematikus érdeklődő elméje érdeklődni fog – mi a titka a valódi értékekről szóló záradékban?
A matematikusok idővel bevezették a komplex számok fogalmát, ahol a mínusz egy második gyökének feltételes értékét egységnek veszik.
Történelmi háttér
A matematikai elmélet szekvenciálisan fejlődik, az egyszerűtől a bonyolultig. Nézzük meg, hogyan keletkezett a „komplex szám” fogalma, és miért van rá szükség.
Ősidők óta a matematika alapja a szokásos elszámolás volt. A kutatók csak a természetes értékrendet ismerték. Az összeadás és a kivonás egyszerű volt. Ahogy a gazdasági viszonyok bonyolultabbá váltak, az azonos értékek összeadása helyett a szorzást kezdték alkalmazni. Van egy fordított műveletszorzás - osztás.
A természetes szám fogalma korlátozta az aritmetikai műveletek használatát. Lehetetlen az összes osztási feladatot megoldani az egész értékek halmazán. A törtekkel való munka először a racionális, majd az irracionális értékek fogalmához vezetett. Ha a racionálisnál meg lehet jelölni a pont pontos helyét az egyenesen, akkor az irracionálisnál lehetetlen ilyen pontot jelezni. Az intervallumot csak közelíteni tudja. A racionális és irracionális számok uniója egy valós halmazt alkotott, amely adott léptékű egyenesként ábrázolható. A vonal minden lépése egy természetes szám, köztük racionális és irracionális értékek.
Elkezdődött az elméleti matematika korszaka. A csillagászat, a mechanika, a fizika fejlődése egyre bonyolultabb egyenletek megoldását követelte meg. Általában megtaláltuk a másodfokú egyenlet gyökereit. Egy bonyolultabb köbös polinom megoldása során a tudósok ellentmondásba ütköztek. A negatívból származó kockagyök fogalmának van értelme, de a négyzetgyök esetében bizonytalanságot kapunk. Ráadásul a másodfokú egyenlet csak egy speciális esete a köbös egyenletnek.
1545-ben az olasz J. Cardano javasolta az imaginárius szám fogalmának bevezetését.
Ez a szám mínusz egy második gyöke. A komplex szám kifejezés végül csak háromszáz évvel később, a híres matematikus Gauss munkáiban alakult ki. Javasolta az algebra összes törvényének formális kiterjesztését az imaginárius számra. Az igazi vonal kiterjesztésre kerültrepülőgépek. A világ nagyobb.
Alapfogalmak
Emlékezzen fel számos olyan függvényt, amelyek korlátozzák a valós halmazt:
- y=arcsin(x), negatív és pozitív 1 között definiálva.
- y=ln(x), a decimális logaritmusnak van értelme pozitív argumentumokkal.
- négyzetgyök y=√x, csak x ≧ 0 esetén számítva.
Az i=√(-1) jelölése esetén egy ilyen fogalmat képzeletbeli számként vezetünk be, ezzel eltávolítunk minden korlátozást a fenti függvények definíciós tartományából. Az olyan kifejezéseknek, mint az y=arcsin(2), y=ln(-4), y=√(-5) van értelme a komplex számok valamely terében.
Az algebrai forma felírható z=x + i×y kifejezésként a valós x és y értékek halmazán, és i2 =-1.
Az új koncepció elhárítja az algebrai függvények használatára vonatkozó összes korlátozást, és a valós és képzeletbeli értékek koordinátáiban lévő egyenes grafikonjára hasonlít.
Komplex sík
A komplex számok geometriai formája vizuálisan lehetővé teszi számos tulajdonságuk ábrázolását. A Re(z) tengelyen a valós x értékeket jelöljük, az Im(z)-en - az y képzeletbeli értékeit, majd a síkon a z pont a szükséges komplex értéket jeleníti meg.
Definíciók:
- Re(z) - valós tengely.
- Im(z) - a képzeletbeli tengelyt jelenti.
- z - komplex szám feltételes pontja.
- A vektor nullától z-ig terjedő hosszának számértékét ún.modul.
- Valós és képzeletbeli tengelyek osztják negyedekre a síkot. A koordináták pozitív értékével - I negyed. Ha a valós tengely argumentuma kisebb, mint 0, és a képzeletbeli tengely nagyobb, mint 0 - II negyed. Ha a koordináták negatívak - III negyed. Az utolsó, negyedik negyedév sok pozitív valós értéket és negatív képzeletbeli értéket tartalmaz.
Így egy x és y koordinátaértékekkel rendelkező síkon mindig megjeleníthető egy komplex szám egy pontja. Az i karaktert azért vezetik be, hogy elválasztsák a valós részt a képzeletbelitől.
Tulajdonságok
- Ha a képzeletbeli argumentum értéke nulla, akkor csak egy számot (z=x) kapunk, amely a valós tengelyen található és a valós halmazhoz tartozik.
- Különleges eset, amikor a valós argumentum értéke nulla, a z=i×y kifejezés megfelel a pont helyének a képzeletbeli tengelyen.
- A z=x + i×y általános alakja az argumentumok nullától eltérő értékeire vonatkozik. Jelzi a komplex számot jellemző pont helyét az egyik negyedben.
Trigonometrikus jelölés
Idézzük fel a polárkoordináta-rendszert és a sin és cos trigonometrikus függvények definícióját. Nyilvánvaló, hogy ezen függvények segítségével a sík bármely pontjának elhelyezkedése leírható. Ehhez elegendő ismerni a sarki nyaláb hosszát és a valós tengelyhez viszonyított dőlésszögét.
Definíció. A ∣z ∣ alakú bejegyzést, megszorozva a cos(ϴ) trigonometrikus függvények és az i ×sin(ϴ) képzetes rész összegével, trigonometrikus komplex számnak nevezzük. Itt a jelölés a valós tengelyhez viszonyított dőlésszög
ϴ=arg(z) és r=∣z∣, sugárhossz.
A trigonometrikus függvények definíciójából és tulajdonságaiból egy nagyon fontos Moivre-képlet következik:
zn =r × (cos(n × ϴ) + i × sin(n × ϴ)).
Ezzel a képlettel kényelmesen megoldható számos trigonometrikus függvényt tartalmazó egyenletrendszer. Főleg, ha felmerül a hatalomra emelés problémája.
Modul és fázis
Egy összetett halmaz leírásának befejezéséhez két fontos meghatározást javasolunk.
A Pitagorasz-tétel ismeretében könnyű kiszámítani a nyaláb hosszát a polárkoordináta-rendszerben.
r=∣z∣=√(x2 + y2), a komplex tér ilyen jelölését "" modul" és a 0-tól a sík egy pontjának távolságát jellemzi.
Az összetett nyalábnak a ϴ valós egyeneshez viszonyított dőlésszögét általában fázisnak nevezik.
A definíció azt mutatja, hogy a valós és képzeletbeli részek leírása ciklikus függvényekkel történik. Nevezetesen:
- x=r × cos(ϴ);
- y=r × sin(ϴ);
Fordítva, a fázis az algebrai értékekhez kapcsolódik a következő képlettel:
ϴ=arctan(x / y) + µ, a µ korrekciót a geometriai függvények periodicitásának figyelembevétele érdekében vezetjük be.
Euler-képlet
A matematikusok gyakran használják az exponenciális formát. A komplex síkszámok kifejezésként vannak felírva
z=r × ei×ϴ , ami az Euler-képletből következik.
Ezt a rekordot széles körben használják fizikai mennyiségek gyakorlati kiszámítására. Prezentáció formája az űrlapbanAz exponenciális komplex számok különösen alkalmasak mérnöki számításokhoz, ahol szinuszos áramú áramkörök kiszámítása válik szükségessé, és ismerni kell az adott periódusú függvények integráljainak értékét. Maguk a számítások eszközül szolgálnak különféle gépek és mechanizmusok tervezésénél.
Műveletek meghatározása
Amint már említettük, az alapvető matematikai függvényekkel való munka összes algebrai törvénye vonatkozik a komplex számokra.
Összegművelet
Összetett értékek hozzáadásakor ezek valós és képzeletbeli részei is hozzáadódnak.
z=z1 + z2 ahol z1 és z2 - általános komplex számok. A kifejezést átalakítva, a zárójelek megnyitása és a jelölés egyszerűsítése után megkapjuk az x=(x1 + x2) valós argumentumot, az y képzeletbeli argumentumot.=(y 1 + y2).
A grafikonon úgy néz ki, mint két vektor összeadása a jól ismert paralelogramma-szabály szerint.
Kivonás művelet
Az összeadás speciális esetének tekintjük, amikor az egyik szám pozitív, a másik negatív, vagyis a tükörnegyedben található. Az algebrai jelölés úgy néz ki, mint a valós és a képzeletbeli részek közötti különbség.
z=z1 - z2, vagy az argumentumok értékeit figyelembe véve az összeadáshoz hasonlóan műveletet a valós értékekre x=(x1 - x2) és imaginárius y=(y1- y2).
Szorzás a komplex síkon
A polinomokkal való munka szabályait felhasználva levezetjük a képletetkomplex számok megoldásához.
Az általános algebrai szabályokat követve z=z1×z2 írja le az egyes argumentumokat, és sorolja fel a hasonlókat. A valós és képzeletbeli rész így írható:
- x=x1 × x2 - y1 × y2,
- y=x1 × y2 + x2 × y 1.
Szebben néz ki, ha exponenciális komplex számokat használunk.
A kifejezés így néz ki: z=z1 × z2 =r1 × eiϴ1 × r2 × eiϴ2=r1 × r2 × ei(ϴ1+ϴ2).
Továbbá egyszerűbben, a modulok megszorozódnak és a fázisok összeadódnak.
Divízió
Ha az osztás műveletét a szorzás inverzének tekintjük, egy egyszerű kifejezést kapunk exponenciális jelöléssel. A z1 érték elosztása z2-val a moduljaik és a fáziskülönbség elosztásának eredménye. Formálisan a komplex számok exponenciális alakjának használatakor ez így néz ki:
z=z1 / z2 =r1 × e iϴ1 / r2 × ei ϴ2=r1 / r2× ei(ϴ1-ϴ 2).
Algebrai jelölés formájában a komplex sík számainak felosztásának művelete egy kicsit bonyolultabb:
z=z1 / z2.
Argumentumok leírásával és polinomiális transzformációk végrehajtásával könnyen lekérhető értékekx=x1 × x2 + y1 × y2, illetve y=x2 × y1 - x1 × y2 , azonban a leírt téren belül ennek a kifejezésnek van értelme, ha z2 ≠ 0.
A gyökér kibontása
A fentiek mindegyike alkalmazható bonyolultabb algebrai függvények definiálásakor - tetszőleges hatványra emelés és annak inverze - a gyökér kinyerése.
Az n hatványra emelés általános fogalmát használva a következő definíciót kapjuk:
zn =(r × eiϴ).
A közös tulajdonságok használatával írja át a következőképpen:
zn =rn × eiϴ.
Van egy egyszerű képlet a komplex szám hatványra emelésére.
A végzettség meghatározásából egy nagyon fontos következményt kapunk. A képzeletbeli egység páros hatványa mindig 1. A képzeletbeli egység bármely páratlan hatványa mindig -1.
Most tanulmányozzuk az inverz függvényt – a gyökér kinyerését.
A jelölés megkönnyítése érdekében vegyük n=2-t. A z komplex érték w négyzetgyökét a C komplex síkon a z=± kifejezésnek tekintjük, amely minden olyan valós argumentumra érvényes, amely nagyobb vagy egyenlő, mint nulla. w ≦ 0 esetén nincs megoldás.
Nézzük meg a legegyszerűbb másodfokú egyenletet: z2 =1. Komplex számképletekkel írja át az r2 × ei2ϴ =r2 × ei2ϴ=ei0. A rekordból látható, hogy r2 =1 és ϴ=0, ezért van egy egyedi megoldásunk, amely egyenlő 1-gyel. De ez ellentmond annak az elképzelésnek, hogy z=-1 a négyzetgyök definíciójára is illeszkedik.
Találjuk ki, mit nem veszünk figyelembe. Ha felidézzük a trigonometrikus jelölést, akkor visszaállítjuk az állítást - a ϴ fázis periodikus változásával a komplex szám nem változik. Jelölje p a periódus értékét, ekkor r2 × ei2ϴ =ei(0+p), ahonnan 2ϴ=0 + p, vagy ϴ=p / 2. Ezért ei0 =1 és eip/2 =-1. Megkaptuk a második megoldást, amely megfelel a négyzetgyök általános értelmezésének.
Tehát egy komplex szám tetszőleges gyökének megtalálásához az eljárást követjük.
- Írja be az exponenciális alakot w=∣w∣ × ei(arg (w) + pk), k egy tetszőleges egész szám.
- A kívánt szám Euler alakban is szerepel: z=r × eiϴ.
- Használja a gyökérkivonási függvény általános definícióját r ei ϴ =∣w∣ × ei(arg(w) + pk).
- A modulok és argumentumok egyenlőségének általános tulajdonságaiból írjuk ki, hogy rn =∣w∣ és nϴ=arg (w) + p×k.
- Egy komplex szám gyökének végső rekordját a következő képlet írja le: z=√∣w∣ × ei ( arg (w) + pk ) / .
- Megjegyzés. A ∣w∣ értéke definíció szerint,pozitív valós szám, így bármely fok gyökének van értelme.
Mező és ragozás
Befejezésül két olyan fontos definíciót adunk meg, amelyek a komplex számokkal kapcsolatos alkalmazott problémák megoldásához csekély jelentőséggel bírnak, de elengedhetetlenek a matematikai elmélet további fejlődéséhez.
Az összeadás és szorzás kifejezéseiről azt mondjuk, hogy mezőt képeznek, ha kielégítik a z komplex sík bármely elemére vonatkozó axiómákat:
- A komplex összeg nem változik az összetett kifejezések helyének változásával.
- Az állítás igaz - egy komplex kifejezésben két szám tetszőleges összege helyettesíthető az értékükkel.
- Van egy 0 semleges érték, amelyre z + 0=0 + z=z igaz.
- Bármely z-nek van egy ellentéte - z, amihez hozzáadva nullát kapunk.
- A komplex tényezők helyének megváltoztatásakor a komplex szorzat nem változik.
- Bármely két szám szorzata helyettesíthető az értékükkel.
- Van egy semleges érték 1, amivel a szorzás nem változtatja meg a komplex számot.
- Minden z ≠ 0 esetén van z-1 inverze, amely megszoroz 1-gyel.
- Két szám összegének harmadával való szorzása megegyezik azzal a művelettel, amikor mindegyiket megszorozzuk ezzel a számmal, és összeadjuk az eredményeket.
- 0 ≠ 1.
A z1 =x + i×y és z2 =x - i×y számokat konjugáltnak nevezzük.
Tétel. A ragozásra a következő állítás igaz:
- Az összeg konjugációja egyenlő a konjugált elemek összegével.
- A termék konjugátuma azragozások szorzata.
- A ragozás megegyezik magával a számmal.
Az általános algebrában az ilyen tulajdonságokat mezőautomorfizmusoknak nevezik.
Példák
A komplex számok megadott szabályait és képleteit követve könnyen kezelhető velük.
Vegyük a legegyszerűbb példákat.
1. feladat. A 3y +5 x i=15 - 7i egyenlet segítségével határozza meg az x-et és az y-t.
Döntés. Idézzük fel a komplex egyenlőségek definícióját, akkor 3y=15, 5x=-7. Ezért x=-7 / 5, y=5.
2. feladat. Számítsa ki a 2 + i28 és 1 + i135.
értékeket
Döntés. Nyilvánvaló, hogy 28 páros szám, a komplex szám definíciójából a hatványban i28 =1, ami azt jelenti, hogy a 2 + i kifejezés 28 =3. A második érték, i135 =-1, majd 1 + i135 =0.
3. feladat Számítsa ki a 2 + 5i és a 4 + 3i értékek szorzatát.
Döntés. A komplex számok szorzásának általános tulajdonságaiból azt kapjuk, hogy (2 + 5i)X(4 + 3i)=8 - 15 + i(6 + 20). Az új érték -7 + 26i lesz.
4. feladat Számítsa ki a z3 =-i.
egyenlet gyökereit
Döntés. Számos módja van a komplex számok megtalálásának. Tekintsünk egyet a lehetségesek közül. Definíció szerint ∣ - i∣=1, az -i fázisa -p / 4. Az eredeti egyenlet átírható a következőre: r3ei3ϴ =e-p/4+pk, ahonnan z=e-p / 12 + pk/3, bármely k. egész számra
A megoldáskészlet alakja (e-ip/12,eip/4, ei2 p/3).
Miért van szükségünk komplex számokra
A történelem számos példát ismer arra, amikor a tudósok egy elméleten dolgozva nem is gondolnak eredményeik gyakorlati alkalmazására. A matematika mindenekelőtt az elme játéka, az ok-okozati összefüggések szigorú betartása. Szinte minden matematikai konstrukciót integrál- és differenciálegyenletek megoldására redukálunk, ezeket pedig bizonyos közelítéssel a polinomok gyökeinek megkeresésével oldjuk meg. Itt találkozunk először a képzeletbeli számok paradoxonával.
A természettudósok, akik teljesen gyakorlati problémákat oldanak meg, különféle egyenletek megoldásához folyamodnak, matematikai paradoxonokat fedeznek fel. E paradoxonok értelmezése teljesen elképesztő felfedezésekhez vezet. Ilyen például az elektromágneses hullámok kettős természete. A komplex számok döntő szerepet játszanak tulajdonságaik megértésében.
Ez pedig gyakorlati alkalmazásra talált az optikában, a rádióelektronikában, az energetikában és sok más technológiai területen. Egy másik példa, sokkal nehezebben érthető fizikai jelenségek. Az antianyagot egy toll hegyén jósolták meg. És csak sok évvel később kezdődnek a kísérletek a fizikai szintézisre.
Ne gondold, hogy csak a fizikában vannak ilyen helyzetek. Nem kevésbé érdekes felfedezések születnek a vadon élő állatokban, a makromolekulák szintézisében, a mesterséges intelligencia tanulmányozása során. És mindez annak köszönhetőtudatunk bővítése, távolodva a természeti értékek egyszerű összeadásától és kivonásától.
