A matematika az ókorból származik. Neki köszönhetően az építészet, az építőipar és a hadtudomány új fejlődési kört adott, a matematika segítségével elért eredmények a haladás mozgásához vezettek. A mai napig a matematika a fő tudomány, amely minden más ágban megtalálható.
A nevelés érdekében a gyerekek az első osztálytól kezdve fokozatosan beolvadnak ebbe a környezetbe. Nagyon fontos megérteni a matematikát, mivel ilyen vagy olyan mértékben minden emberben előfordul egész életében. Ez a cikk elemzi az egyik kulcselemet - a származékok megtalálását és alkalmazását. Nem mindenki tudja elképzelni, milyen széles körben használják ezt a fogalmat. Fontolja meg a származékok több mint 10 alkalmazását bizonyos területeken vagy tudományokban.
A derivált alkalmazása egy függvény vizsgálatára
A derivált egy ilyen határegy függvény növekményének és argumentuma növekményének aránya, ha az argumentum kitevője nullára hajlik. A derivált nélkülözhetetlen dolog egy függvény tanulmányozásában. Használható például az utóbbi növekedésének és csökkenésének, az extrémának, a konvexitásnak és a homorúságnak a meghatározására. A matematikai egyetemek 1. és 2. éves hallgatóinak kötelező tantervében szerepel a differenciálszámítás.
Hatókör és függvény nullák
A gráf bármely tanulmányozásának első szakasza a definíciós tartomány, ritkább esetben az érték megállapításával kezdődik. A definíciós tartomány az abszcissza tengely mentén van beállítva, vagyis ezek az OX tengelyen lévő számértékek. Gyakran a hatókör már be van állítva, de ha nem, akkor az x argumentum értékét kell kiértékelni. Tegyük fel, hogy ha az argumentum egyes értékeinél a függvénynek nincs értelme, akkor ez az argumentum ki van zárva a hatókörből.
A függvény nulláit egyszerű módon találjuk meg: az f(x) függvényt nullával kell egyenlővé tenni, és a kapott egyenletet egy x változóra vonatkozóan kell megoldani. Az egyenlet kapott gyökei a függvény nullái, vagyis ezekben az x-ekben a függvény 0.
Növelés és csökkentés
A deriváltnak a monotonitás függvényeinek tanulmányozására való felhasználása két szempontból is megfontolható. A monoton függvény olyan kategória, amelynek a származékának csak pozitív értékei vagy csak negatív értékei vannak. Egyszerűen fogalmazva, a függvény csak növekszik vagy csak csökken a teljes vizsgált intervallumban:
- Paraméter növelése. Funkcióf(x) növekszik, ha f`(x) deriváltja nagyobb, mint nulla.
- Csökkenő paraméter. Az f(x) függvény csökkenni fog, ha f`(x) deriváltja kisebb, mint nulla.
Érintő és lejtő
A derivált függvény tanulmányozására való alkalmazását az adott pontban a függvény grafikonjának érintője (szögbe irányított egyenes) is meghatározza. Érintő egy pontban (x0) - egy ponton átmenő egyenes, amely ahhoz a függvényhez tartozik, amelynek koordinátái (x0, f(x) 0 )) és f`(x0).
y=f(x0) + f`(x0)(x - x0) - a függvény grafikonja adott pontjának érintőjének egyenlete.
A derivált geometriai jelentése: az f(x) függvény deriváltja egyenlő az adott x pontban a függvény grafikonjának képzett érintőjének meredekségével. A szögegyüttható viszont egyenlő az OX tengely érintőjének (abszcissza) pozitív irányú dőlésszögének érintőjével. Ez a következmény alapvető fontosságú a derivált függvény grafikonjára történő alkalmazásához.
Extrém pontok
Ha egy származékot alkalmazunk egy tanulmányra, akkor meg kell találni a magas és mélypontokat.
A minimális és maximális pontok megtalálásához és meghatározásához:
- Keresse meg az f(x) függvény deriváltját.
- Állítsa be az eredményül kapott egyenletet nullára.
- Keresse meg az egyenlet gyökereit.
- Keresd meg a legmagasabb és mélypontokat.
A szélsőségek megtalálásáhozjellemzők:
- Keresse meg a minimális és maximális pontot a fenti módszerrel.
- Helyettesítse be ezeket a pontokat az eredeti egyenletbe, és számítsa ki ymax és ymin
A függvény maximális pontja az f(x) függvény legnagyobb értéke az intervallumon, más szóval xmax.
A függvény minimális pontja az f(x) függvény legkisebb értéke az intervallumon, más szóval xname
A szélsőpontok megegyeznek a függvény maximum- és minimumpontjával, valamint szélsőértékével (ymax. és yminimum) - a szélsőpontoknak megfelelő függvényértékek.
Konvexitás és homorúság
A konvexitást és a homorúságot a derivált ábrázolásával határozhatja meg:
- Az (a, b) intervallumon vizsgált f(x) függvény konkáv, ha a függvény ezen az intervallumon belül az összes érintője alatt helyezkedik el.
- Az (a, b) intervallumon vizsgált f(x) függvény konvex, ha a függvény ezen az intervallumon belül minden érintője felett helyezkedik el.
A konvexitást és a homorúságot elválasztó pontot a függvény inflexiós pontjának nevezzük.
Inflexiós pontok keresése:
- Második típusú kritikus pontok keresése (második származék).
- Az inflexiós pontok azok a kritikus pontok, amelyek két ellentétes előjelet választanak el egymástól.
- A függvényértékek kiszámítása a függvény inflexiós pontjain.
Részleges származékos termékek
Alkalmazásvannak ilyen típusú deriváltak olyan feladatokban, ahol egynél több ismeretlen változót használunk. Leggyakrabban függvénygráf, pontosabban térbeli felületek ábrázolásakor találkozunk ilyen deriváltokkal, ahol két tengely helyett három, tehát három mennyiség van (két változó és egy állandó).
A parciális deriváltak számításakor az alapvető szabály, hogy válasszunk egy változót, a többit pedig konstansként kezeljük. Ezért a parciális derivált kiszámításakor a konstans olyan, mintha számérték lenne (sok derivált táblában C=const jelöléssel szerepelnek). Egy ilyen derivált jelentése a z=f(x, y) függvény változási sebessége az OX és OY tengelyek mentén, vagyis a megszerkesztett felület bemélyedéseinek, kidudorodásának meredekségét jellemzi.
Származék a fizikában
A derivált használata a fizikában elterjedt és fontos. Fizikai jelentés: az út időbeli deriváltja a sebesség, a gyorsulás pedig a sebesség deriváltja az idő függvényében. A fizikai jelentésből sok ág vonható a fizika különböző ágaihoz, miközben a származék jelentését teljesen megőrizzük.
A derivált segítségével a következő értékeket találjuk:
- Sebesség a kinematikában, ahol a megtett távolság deriváltját számítják ki. Ha megtaláljuk az út második deriváltját vagy a sebesség első deriváltját, akkor megtaláljuk a test gyorsulását. Ezenkívül meg lehet találni egy anyagi pont pillanatnyi sebességét, de ehhez ismerni kell a ∆t és ∆r növekményt.
- Az elektrodinamikában:a váltakozó áram pillanatnyi erősségének, valamint az elektromágneses indukció EMF-jének kiszámítása. A derivált kiszámításával megtalálhatja a maximális teljesítményt. Az elektromos töltés mennyiségének deriváltja a vezetőben lévő áramerősség.
Kémia és biológia származéka
Kémia: A származékot a kémiai reakció sebességének meghatározására használják. A derivált kémiai jelentése: függvény p=p(t), ebben az esetben p az anyag mennyisége, amely t idő alatt kémiai reakcióba lép. ∆t - időnövekedés, ∆p - anyagmennyiség növekedése. A ∆p és ∆t arányának azon határát, amelynél a ∆t nullára hajlik, a kémiai reakció sebességének nevezzük. Egy kémiai reakció átlagos értéke a ∆p/∆t arány. A sebesség meghatározásánál pontosan ismerni kell az összes szükséges paramétert, feltételt, ismerni kell az anyag és az áramlási közeg aggregált állapotát. Ez egy meglehetősen nagy szempont a kémiában, amelyet széles körben használnak különféle iparágakban és emberi tevékenységekben.
Biológia: a származék fogalmát az átlagos szaporodási sebesség kiszámítására használják. Biológiai jelentése: van egy y=x(t) függvényünk. ∆t - időnövekedés. Ekkor néhány transzformáció segítségével megkapjuk az y`=P(t)=x`(t) függvényt - a t időbeli populáció élettevékenységét (átlagos szaporodási ráta). A derivált ilyen használata lehetővé teszi a statisztikák vezetését, a szaporodási sebesség nyomon követését és így tovább.
Földrajz és közgazdaságtan származéka
A derivált lehetővé teszi a geográfusok számára, hogy döntsenekolyan feladatok, mint a populáció keresése, a szeizmográfiai értékek kiszámítása, a nukleáris geofizikai indikátorok radioaktivitásának kiszámítása, az interpoláció számítása.
A közgazdaságtanban a számítások fontos része a differenciálszámítás és a derivált számítása. Ez mindenekelőtt lehetővé teszi a szükséges gazdasági értékek határainak meghatározását. Például a legmagasabb és legalacsonyabb munkatermelékenység, költségek, haszon. Alapvetően ezeket az értékeket függvénygrafikonokból számítják ki, ahol szélsőségeket találnak, meghatározzák a függvény monotonitását a kívánt területen.
Következtetés
Ennek a differenciálszámításnak a szerepe – amint azt a cikk is megjegyezte – különféle tudományos struktúrákban játszik szerepet. A derivált függvények használata a tudomány és a termelés gyakorlati részének fontos eleme. Nem hiába tanítottak bennünket a középiskolában és az egyetemen összetett grafikonok készítésére, függvények felfedezésére és azokon való munkára. Mint látható, deriváltak és differenciálszámítások nélkül lehetetlen lenne kiszámítani a létfontosságú mutatókat és mennyiségeket. Az emberiség megtanulta különféle folyamatok modellezését és feltárását, összetett matematikai problémák megoldását. Valójában a matematika minden tudomány királynője, mert ez a tudomány minden más természeti és műszaki tudományág alapja.
