Logaritmusok: példák és megoldások

2024 Szerző: Angel Austin | [email protected]. Utoljára módosítva: 2024-01-02 17:48

Mint tudod, a kifejezések hatványokkal való szorzásakor a kitevőik mindig összeadódnak (a^ba^c=a^{b+ c). Ezt a matematikai törvényt Arkhimédész vezette le, majd később, a 8. században Virasen matematikus elkészítette az egész mutatók táblázatát. Ők voltak azok, akik a logaritmusok további felfedezését szolgálták. Szinte mindenhol találunk példákat ennek a függvénynek a használatára, ahol a nehézkes szorzást egyszerű összeadásig kell egyszerűsíteni. Ha 10 percet tölt ennek a cikknek a elolvasásával, elmagyarázzuk Önnek, mik azok a logaritmusok, és hogyan kell velük dolgozni. Egyszerű és hozzáférhető nyelv.}

Definíció a matematikában

A logaritmus a következő formájú kifejezés: log_ab=c c" amelybe fel kell emelni az "a" bázist, hogy végre megkapjuk a " b". Elemezzük a logaritmust példákon keresztül, mondjuk van egy log_{28 kifejezés. Hogyan lehet megtalálni a választ? Nagyon egyszerű, olyan fokozatot kell találni, hogy 2-től a kívánt fokozatig 8-at kapjon. Gondolatban végzett számítások után megkapjuk a 3-as számot! És ez igaz, mert2 3 hatványára emelve a 8 választ adja.}

Logaritmusváltozatok

Sok tanuló és diák számára ez a téma bonyolultnak és érthetetlennek tűnik, de valójában a logaritmusok nem olyan ijesztőek, a lényeg az, hogy megértsük általános jelentésüket, és emlékezzünk tulajdonságaikra és néhány szabályra. Három különböző típusú logaritmikus kifejezés létezik:

1. Természetes logaritmus ln a, ahol az alap az Euler-szám (e=2, 7).
2. Tizedes logaritmus lg a, ahol az alap a 10.
3. Bármely b szám logaritmusa a>1 bázishoz.

Mindegyik szabványos módon van megoldva, beleértve az egyszerűsítést, a redukciót és az azt követő egy logaritmusra való redukciót logaritmikus tételek segítségével. A logaritmusok helyes értékének meghatározásához emlékezni kell a tulajdonságaikra és a műveletek sorrendjére a megoldás során.

Szabályok és néhány korlátozás

A matematikában több szabály-megszorítás létezik, amelyeket axiómaként fogadnak el, vagyis nem vitathatóak és igazak. Például lehetetlen a számokat nullával osztani, és a negatív számokból sem lehet páros gyökeret venni. A logaritmusoknak is megvannak a saját szabályai, amelyek betartásával könnyedén megtanulhatja, hogyan kell dolgozni még hosszú és terjedelmes logaritmikus kifejezésekkel is:

• "a" alapjának mindig nagyobbnak kell lennie nullánál, ugyanakkor nem egyenlő 1-gyel, különben a kifejezés értelmét veszti, mert az "1" és a "0" bármilyen mértékben mindig egyenlő az értékükkel;
• ha egy > 0, akkor ab>0,kiderül, hogy "c"-nek nagyobbnak kell lennie nullánál.

Hogyan kell logaritmusokat megoldani?

Például, ha azt a feladatot kapjuk, hogy megtaláljuk a választ a 10^x=100 egyenletre. Nagyon egyszerű, ilyen hatványt kell választani, a tízes számot emelve. kap 100-at. Ez természetesen Nos, másodfokú hatvány! 10^2=100.

Most ábrázoljuk ezt a kifejezést logaritmikusként. Azt kapjuk, hogy log_{10100=2. A logaritmusok megoldása során gyakorlatilag minden művelet konvergál ahhoz, hogy megtaláljuk azt a hatványt, amelyre a logaritmus alapját be kell írni, hogy egy adott számot kapjunk.}

Az ismeretlen fokozat értékének pontos meghatározásához meg kell tanulnia a fokozattáblázat kezelését. Így néz ki:

Amint látja, néhány kitevő intuitív módon kitalálható, ha rendelkezik technikai gondolkodásmóddal és ismeri a szorzótáblát. A nagyobb értékekhez azonban teljesítménytáblázatra lesz szükség. Azok is használhatják, akik egyáltalán nem értenek semmit a bonyolult matematikai témákhoz. A bal oldali oszlop számokat tartalmaz (a bázis), a felső számsor a c hatvány értéke, amelyre az a számot emeljük. A metszéspontban a cellák meghatározzák a választ adó számok értékeit (ac=b). Vegyük például a legelső 10-es számú cellát, és négyzetre emeljük, megkapjuk a 100-as értéket, amit a két cellánk metszéspontjában jelez. Minden olyan egyszerű és könnyű, hogy még a legigazibb humanista is megérti!

Egyenletek és egyenlőtlenségek

Kiderült, hogy mikorBizonyos feltételek mellett a kitevő a logaritmus. Ezért bármilyen matematikai numerikus kifejezés felírható logaritmikus egyenletként. Például a 3⁴=81 felírható 81 logaritmusaként a 3-as bázisra, ami négy (log₃81=4). Negatív fokokra ugyanazok a szabályok: 2^-5=1/32 logaritmusként írva log_{2 (1/32))=-5. A matematika egyik leglenyűgözőbb része a „logaritmusok” témája. Az egyenletek példáit és megoldásait egy kicsit alacsonyabban fogjuk figyelembe venni, közvetlenül tulajdonságaik tanulmányozása után. Most nézzük meg, hogyan néznek ki az egyenlőtlenségek, és hogyan lehet megkülönböztetni őket az egyenletektől.}

A következő kifejezést adjuk meg: log_{2(x-1) > 3 - ez logaritmikus egyenlőtlenség, mivel az ismeretlen "x" érték a logaritmus. A kifejezés két értéket is összehasonlít: a kívánt szám két bázis logaritmusa nagyobb, mint a három.}

A logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek közötti legfontosabb különbség az, hogy a logaritmusú egyenletek (példa - logaritmus₂x=√9) _{azt jelentik a válaszban egy vagy több konkrét számérték, míg egy egyenlőtlenség megoldása során mind az elfogadható értékek tartománya, mind ennek a függvénynek a töréspontjait meghatározzuk. Ennek eredményeként a válasz nem egyedi számok egyszerű halmaza, mint az egyenlet válaszában, hanem egy folytonos számsor vagy számhalmaz.}

Alaptételek a logaritmusokról

A logaritmus értékeinek meghatározásához szükséges primitív feladatok megoldása során előfordulhat, hogy nem ismeri a tulajdonságait. Amikor azonban logaritmikus egyenletekről vagy egyenlőtlenségekről van szó, mindenekelőtt világosan meg kell értenünk és a gyakorlatban alkalmazniuk kell a logaritmus összes alapvető tulajdonságát. Az egyenletpéldákkal később megismerkedünk, először elemezzük az egyes tulajdonságokat részletesebben.

1. Az alapazonosító így néz ki: alogaB=B. Csak akkor érvényes, ha a nagyobb, mint 0, nem egyenlő eggyel, és B nagyobb, mint nulla.
2. A szorzat logaritmusa a következő képlettel ábrázolható: log_d(s₁s_2)=logd_s1 _{+ log}d_s2. _{Ebben az esetben a kötelező feltétel: d, s}1 _{és s}2 _{> 0; a≠1. Ezt a logaritmusképletet példákkal és megoldással bizonyíthatod. Legyen log}a_s1 _=f1 _{és log}a_s 2_=f2_{, majd a}f1^=s1_{, a} f2^=s2. _{Azt kapjuk, hogy s}1_s2 _=af1^a f2^=af1+f2 ^{(foktulajdonságok), és további definíció szerint: log}a_(s1 _s2_)=f1_{+ f}2_=log a_{s1 + log}a_s2, _{amit bizonyítani kellett.}
3. A hányados logaritmusa így néz ki: log_a(s_1/s₂)=log _as₁- log_as_2.
4. A tétel képlet formájában a következő alakot ölti: log_a^qbⁿ =n/q log_ab.

Ezt a képletet "a logaritmus fokának tulajdonságának" nevezik. Hasonlít a közönséges fokok tulajdonságaira, és ez nem meglepő, mert minden matematika szabályos posztulátumokon nyugszik. Nézzük a bizonyítékot.

Log_ab=t, kapunk a^t=b. Ha mindkét old alt az m hatványra emeli: a^tn=b^;

de mert a^tn=(a^q)^nt/q=b ^{, ezért log}aq _bn=(nt)/t, majd log^a_q b_n=n/q log^ab. Tétel bevált.

Példák problémákra és egyenlőtlenségekre

A logaritmusfeladatok leggyakoribb típusai az egyenletek és egyenlőtlenségek példái. Szinte minden feladatfüzetben megtalálhatóak, és a matematika vizsgakötelező részében is szerepelnek. Az egyetemre való felvételhez vagy a matematikai felvételi vizsgák letételéhez tudnia kell, hogyan kell helyesen megoldani az ilyen feladatokat.

Sajnos nincs egyetlen terv vagy séma a logaritmus ismeretlen értékének megoldására és meghatározására, de bizonyos szabályok alkalmazhatók minden matematikai egyenlőtlenségre vagy logaritmikus egyenletre. Először is meg kell találnia, hogy a kifejezés leegyszerűsíthető-e vagy általános formára redukálható-e. A hosszú logaritmikus kifejezéseket leegyszerűsítheti, ha helyesen használja a tulajdonságaikat. Hamarosan megismerjük őket.

A logaritmikus egyenletek megoldásakor,meg kell határozni, hogy milyen logaritmus áll előttünk: egy kifejezés egy példája tartalmazhat természetes logaritmust vagy decimális logaritmust.

Íme néhány példa a decimális logaritmusra: ln100, ln1026. Megoldásuk abban rejlik, hogy meg kell határoznia, hogy a 10-es bázis milyen mértékben lesz egyenlő 100-mal, illetve 1026-tal. A természetes logaritmusok megoldásához logaritmikus azonosságokat vagy azok tulajdonságait kell alkalmazni. Nézzünk példákat különféle típusú logaritmikus problémák megoldására.

A logaritmusképletek használata: példákkal és megoldásokkal

Tehát, nézzünk példákat a logaritmusokkal kapcsolatos fő tételek használatára.

1. A szorzat logaritmusának tulajdonsága olyan feladatokban használható, ahol a b szám nagy értékét egyszerűbb tényezőkre kell bontani. Például log₂4 + log₂128=log₂(4128)=napló_{2512. A válasz: 9.}
2. log₄8=log_2² 2³ =3/2 log_{22=1, 5 - amint látható, a logaritmus fokának negyedik tulajdonságát alkalmazva első ránézésre sikerült megoldanunk összetett és feloldhatatlan kifejezés. Mindössze annyit kell tennie, hogy be kell számítania az alapot, majd ki kell vennie a hatványt a logaritmus előjeléből.}

Feladatok a vizsgáról

A felvételi vizsgákon gyakran előfordul logaritmus, különösen sok logaritmikus probléma az egységes államvizsgán (államvizsga minden érettségiző számára). Általában ezek a feladatok nem csak az A részben vannak jelen (a legtöbba vizsga könnyű tesztrésze), de a C részben is (a legnehezebb és terjedelmesebb feladatok). A vizsgához a "Természetes logaritmusok" témakör pontos és tökéletes ismerete szükséges.

A példák és a problémamegoldások a vizsga hivatalos verzióiból származnak. Lássuk, hogyan oldják meg az ilyen feladatokat.

Adott log₂(2x-1)=4. Megoldás:

írja át a kifejezést, kicsit leegyszerűsítve log_2(2x-1)=22^{, a logaritmus definíciójával azt kapjuk, hogy 2x-1=2}4^{, tehát 2x=17; x=8, 5.}

Néhány irányelvet követve, amelyek betartásával könnyedén megoldhat minden olyan egyenletet, amely a logaritmus előjele alatt álló kifejezéseket tartalmazza.

• A legjobb az összes logaritmust ugyanarra az alapra redukálni, hogy a megoldás ne legyen nehézkes és zavaró.
• A logaritmus előjele alatti kifejezések pozitívnak vannak jelölve, így a logaritmus előjele alatt és annak alapjául szolgáló kifejezés kitevőjének szorzásakor a logaritmus alatt maradó kifejezésnek pozitívnak kell lennie.