A mátrixokat és a determinánsokat a tizennyolcadik és tizenkilencedik században fedezték fel. Fejlesztésük kezdetben geometriai objektumok transzformációjával és lineáris egyenletrendszerek megoldásával foglalkozott. Történelmileg a korai hangsúly a meghatározón volt. A modern lineáris algebrai feldolgozási módszerekben először a mátrixokat veszik figyelembe. Érdemes egy kicsit elgondolkodni ezen a kérdésen.
Válaszok erről a tudásterületről
A mátrixok elméletileg és gyakorlatilag is hasznos módot kínálnak számos probléma megoldására, például:
- lineáris egyenletrendszerek;
- szilárdtestek egyensúlya (a fizikában);
- gráfelmélet;
- Leontief gazdasági modellje;
- erdészet;
- számítógépes grafika és tomográfia;
- genetika;
- kriptográfia;
- elektromos hálózatok;
- fraktál.
Valójában a „bábukra” szánt mátrixalgebra egyszerűsített definícióval rendelkezik. A következőképpen fejeződik ki: ez egy olyan tudományos tudásterület, amelybena kérdéses értékeket tanulmányozzák, elemzik és teljesen feltárják. Az algebra ezen szakaszában a vizsgált mátrixokon végzett különféle műveleteket tanulmányozzuk.
Hogyan dolgozzunk mátrixokkal
Ezeket az értékeket akkor tekintjük egyenlőnek, ha méretük azonos, és az egyik elem minden eleme egyenlő a másik megfelelő elemével. Egy mátrixot bármilyen konstanssal meg lehet szorozni. Ezt skaláris szorzásnak nevezzük. Példa: 2=[1234]=[2⋅12⋅32⋅22⋅4]=[2468].
Az azonos méretű mátrixok bemenetekkel összeadhatók és kivonhatók, a kompatibilis méretek értékei pedig szorozhatók. Példa: adjunk hozzá két A-t és B-t: A=[21−10]B=[1423]. Ez azért lehetséges, mert A és B mátrixok két sorral és ugyanannyi oszloppal. Minden A-beli elemet hozzá kell adni a megfelelő B-beli elemhez: A+B=[2+11+2−1+40+3]=[3333]. A mátrixok kivonása ugyanúgy történik az algebrában.
A mátrixszorzás egy kicsit másképp működik. Sőt, sok eset és lehetőség, illetve megoldás lehet. Ha az Apq és Bmn mátrixot megszorozzuk, akkor az Ap×q+Bm×n=[AB]p×n szorzat. Az AB g-edik sorában és h-edik oszlopában lévő bejegyzés g A és h B megfelelő bejegyzéseinek szorzata. Csak akkor lehetséges két mátrix szorzata, ha az első oszlopok száma és a második sorai egyenlőek. Példa: teljesítse a figyelembe vett A és B feltételét: A=[1–130]B=[2–11214]. Ez azért lehetséges, mert az első mátrix 2 oszlopot, a második pedig 2 sort tartalmaz. AB=[1⋅2+3⋅−1−1⋅2+0⋅−11⋅1+3⋅2−1⋅1+0⋅21⋅1+3⋅4−1⋅1+0⋅4]=[−1−27−113−1].
Alapvető információk a mátrixokról
A szóban forgó értékek információkat, például változókat és konstansokat rendeznek, és sorokban és oszlopokban tárolják, amelyeket általában C-nek neveznek. A mátrix minden pozícióját elemnek nevezzük. Példa: C=[1234]. Két sorból és két oszlopból áll. A 4. elem a 2. sorban és a 2. oszlopban található. A mátrixot általában a méretei alapján nevezhetjük el, a Cmk nevűben m sor és k oszlop van.
Bővített mátrixok
A megfontolások hihetetlenül hasznos dolgok, amelyek számos alkalmazási területen felmerülnek. A mátrixok eredetileg lineáris egyenletrendszereken alapultak. Tekintettel az egyenlőtlenségek következő szerkezetére, a következő kiegészített mátrixot kell figyelembe venni:
2x + 3y – z=6
–x – y – z=9
x + y + 6z=0.
Írja le az együtthatókat és a válaszértékeket, beleértve az összes mínuszjelet. Ha az elem negatív számmal rendelkezik, akkor ez "1" lesz. Vagyis adott egy (lineáris) egyenletrendszer, lehetséges hozzá egy mátrixot (zárójelben lévő számrácsot) társítani. Ez az, amelyik csak a lineáris rendszer együtthatóit tartalmazza. Ezt "kiterjesztett mátrixnak" nevezik. Az egyes egyenletek bal oldalának együtthatóit tartalmazó rácsot az egyes egyenletek jobb oldalának válaszaival „kitömték”.
Rekordok, vagyisa mátrix B értékei megfelelnek az eredeti rendszer x-, y- és z értékeinek. Ha megfelelően van elrendezve, akkor mindenekelőtt ellenőrizze. Néha át kell rendeznie a kifejezéseket, vagy helyőrzőként nullákat kell beszúrnia a vizsgált vagy tanulmányozott mátrixba.
A következő egyenletrendszer ismeretében azonnal felírhatjuk a hozzá tartozó kiterjesztett mátrixot:
x + y=0
y + z=3
z – x=2.
Először is mindenképp rendezze át a rendszert a következőképpen:
x + y=0
y + z=3
–x + z=2.
Ezután lehetséges a kapcsolódó mátrix felírása a következőképpen: [11000113-1012]. Kibővített alkotásakor minden olyan rekordnál érdemes nullát használni, ahol a lineáris egyenletrendszer megfelelő pontja üres.
Mátrixalgebra: A műveletek tulajdonságai
Ha csak együttható értékekből kell elemeket képezni, akkor a figyelembe vett érték így fog kinézni: [110011-101]. Ezt "együttható mátrixnak" hívják.
A következő kiterjesztett mátrixalgebrát figyelembe véve szükséges javítani és hozzá kell adni a hozzá tartozó lineáris rendszert. Ennek ellenére fontos megjegyezni, hogy a változóknak jól elrendezettnek és rendezettnek kell lenniük. És általában, ha három változó van, akkor ebben a sorrendben használja az x-et, y-t és z-t. Ezért a kapcsolódó lineáris rendszernek a következőnek kell lennie:
x + 3y=4
2y - z=5
3x + z=-2.
Matrix mérete
A szóban forgó tételekre gyakran hivatkoznak a teljesítményükön. A mátrix méretét az algebrában a következőképpen adjuk megmérések, mivel a helyiséget másképp lehet nevezni. A mért értékek sorok és oszlopok, nem szélesség és hosszúság. Például A mátrix:
[1234]
[2345]
[3456].
Mivel A-nak három sora és négy oszlopa van, az A mérete 3 × 4.
→
↓
A vonalak oldalra mennek. Az oszlopok fel-le mennek. A "sor" és az "oszlop" specifikációk, és nem cserélhetők fel. A mátrix méretét mindig a sorok számával, majd az oszlopok számával adjuk meg. Ezt az egyezményt követve a következő B:
[123]
[234] értéke 2 × 3. Ha egy mátrixnak ugyanannyi sora van, mint oszlopai, akkor "négyzetnek" nevezik. Például az együttható értékek fentről:
[110]
[011]
A
[-101] egy 3×3-as négyzetmátrix.
Matrix jelölés és formázás
Formázási megjegyzés: Ha például mátrixot kell írnia, fontos a zárójelek használata. A || abszolútérték-sávok nem használatosak, mert ebben az összefüggésben eltérő irányt mutatnak. A zárójeleket vagy a göndör kapcsos zárójeleket {} soha nem használjuk. Vagy valamilyen más csoportosítási szimbólum, vagy egyáltalán nem, mivel ezeknek a prezentációknak nincs értelme. Az algebrában a mátrix mindig szögletes zárójelben van. Csak helyes jelölést szabad használni, különben a válaszokat elrontottnak tekinthetjük.
Amint korábban említettük, a mátrixban lévő értékeket rekordoknak nevezzük. Bármilyen okból is, a kérdéses elemeket általában írjáknagybetűk, például A vagy B, és a bejegyzések a megfelelő kisbetűkkel vannak megadva, de alsó indexekkel. Az A mátrixban az értékeket általában "ai, j"-nek hívják, ahol i az A sora és j az A oszlopa. Például a3, 2=8. Az a1, 3 bejegyzése 3.
Kisebb, tíznél kevesebb sorral és oszloppal rendelkező mátrixoknál az alsó index vesszőjét néha elhagyják. Például az "a1, 3=3" felírható így: "a13=3". Nyilvánvalóan ez nem működik nagy mátrixok esetén, mivel az a213 homályos lesz.
Matrix típusok
Néha rekordkonfigurációjuk szerint osztályozzák. Például egy olyan mátrixot, amelyben minden nulla bejegyzés van az átlós felső-bal-alsó-jobb "átló" alatt, felső háromszögnek nevezzük. Többek között lehetnek más fajták és típusok is, de ezek nem túl hasznosak. Általában többnyire felső háromszög alakúnak tekintik. Azokat az értékeket, amelyeknek nem nulla kitevője csak vízszintesen van, átlós értékeknek nevezzük. A hasonló típusok nullától eltérő bejegyzésekkel rendelkeznek, amelyekben mindegyik 1, az ilyen válaszokat azonosnak nevezik (olyan okokból, amelyek világossá válnak, amikor megtanulják és megértik, hogyan kell szorozni a kérdéses értékeket). Számos hasonló kutatási mutató létezik. A 3 × 3 azonosságot I3 jelöli. Hasonlóképpen a 4 × 4 azonosság I4.
Mátrixalgebra és lineáris terek
Megjegyezzük, hogy a háromszög mátrixok négyzet alakúak. De az átlók háromszög alakúak. Erre tekintettel azoknégyzet. Az identitásokat pedig átlóknak, tehát háromszögeknek és négyzeteknek tekintik. Amikor egy mátrix leírására van szükség, az ember általában egyszerűen megadja a saját legspecifikusabb osztályozását, mivel ez magában foglalja az összes többit is. Osztályozza a következő kutatási lehetőségeket:3 × 3-ként lehetséges. De ez négyzetnek számít, és nincs benne semmi különös. A következő adatok besorolása: [0 8 -4] [1 0 2] [0 0 5], mint 3 × 3 felső háromszög, de nem átlós. Igaz, a vizsgált értékekben további nullák lehetnek a megjelölt és jelzett területen vagy felett. A vizsgált osztályozás további: [0 0 1] [1 0 0] [0 1 0], ahol átlóként van ábrázolva, és ráadásul a bejegyzések mindegyike 1. Ekkor ez egy 3 × 3 azonosság, I3.
Mivel az analóg mátrixok definíció szerint négyzet alakúak, csak egyetlen indexet kell használnia a méretük meghatározásához. Ahhoz, hogy két mátrix egyenlő legyen, ugyanazzal a paraméterrel kell rendelkezniük, és ugyanazokon a helyeken ugyanazokat a bejegyzéseket kell tartalmazniuk. Tegyük fel például, hogy két elemről van szó: A=[1 3 0] [-2 0 0] és B=[1 3] [-2 0]. Ezek az értékek nem lehetnek azonosak, mert eltérő méretűek.
Még ha A és B: A=[3 6] [2 5] [1 4] és B=[1 2 3] [4 5 6], még mindig nem ugyanaz Ugyanez. A-nak és B-nek is vanhat bejegyzés és ugyanazok a számok is, de ez nem elég mátrixokhoz. A 3×2. És B egy 2×3 mátrix. A 3×2 esetén nem 2×3. Nem számít, hogy A-nak és B-nek ugyanannyi adata van, vagy akár ugyanazok a számok, mint a rekordok. Ha A és B nem azonos méretű és alakú, de hasonló helyeken azonos értékekkel rendelkeznek, akkor nem egyenlők.
Hasonló műveletek a vizsgált területen
A mátrixegyenlőségnek ez a tulajdonsága önálló kutatási feladatokká alakítható. Például két mátrixot adunk meg, és jelezzük, hogy egyenlők. Ebben az esetben ezt az egyenlőséget kell használnia a változók értékeinek feltárásához és válaszok megszerzéséhez.
A mátrixok példái és megoldásai az algebrában változhatnak, különösen, ha egyenlőségről van szó. Tekintettel arra, hogy a következő mátrixokat vesszük figyelembe, meg kell találni az x és y értékeket. Ahhoz, hogy A és B egyenlő legyen, azonos méretűnek és formájúnak kell lenniük. Valójában ilyenek, mert mindegyik 2 × 2 mátrix. És ugyanazoknak az értékeknek kell lenniük ugyanazokon a helyeken. Ekkor a1, 1 egyenlő b1, 1, a1, 2 kell b1, 2 és így tovább. De a1, 1=1 nyilvánvalóan nem egyenlő b1-gyel, 1=x. Ahhoz, hogy A azonos legyen B-vel, a bejegyzésnek a1, 1=b1, 1 értékkel kell rendelkeznie, tehát 1=x lehet. Hasonlóképpen az a2, 2=b2, 2, tehát 4=y indexek. Ekkor a megoldás: x=1, y=4. Tekintettel arra, hogy a következőA mátrixok egyenlőek, meg kell találnia x, y és z értékét. Ahhoz, hogy A=B legyen, az együtthatók minden bejegyzésének egyenlőnek kell lennie. Vagyis a1, 1=b1, 1, a1, 2=b1, 2, a2, 1=b2, 1 és így tovább. Különösen kötelező:
4=x
-2=y + 4
3=z / 3.
Amint a kiválasztott mátrixokból is látszik: 1, 1-, 2, 2- és 3, 1-elemmel. Ezt a három egyenletet megoldva megkapjuk a választ: x=4, y=-6 és z=9. A mátrixalgebra és a mátrixműveletek eltérnek a mindenki által megszokottól, de nem reprodukálhatók.
További információk ezen a területen
A lineáris mátrixalgebra hasonló egyenletkészletek és transzformációs tulajdonságaik tanulmányozása. Ez a tudásterület lehetővé teszi a térbeli forgások elemzését, a legkisebb négyzetek közelítését, a kapcsolódó differenciálegyenletek megoldását, a három adott ponton áthaladó kör meghatározását, valamint számos más matematikai, fizika és technológiai probléma megoldását. A mátrix lineáris algebrája valójában nem a használt szó technikai jelentése, azaz v vektortér f mező felett stb.
A mátrix és a determináns rendkívül hasznos lineáris algebrai eszközök. Az egyik központi feladat az Ax=b mátrixegyenlet megoldása x-re. Bár ez elméletileg megoldható az inverz x=A-1 b. Más módszerek, mint például a Gauss-elimináció, numerikusan megbízhatóbbak.
Amellett, hogy lineáris egyenlethalmazok tanulmányozásának leírására használják, a megadotta fenti kifejezést egy bizonyos típusú algebra leírására is használják. Konkrétabban, L egy F mező felett egy gyűrű szerkezetével rendelkezik, amely tartalmazza a belső összeadás és szorzás összes szokásos axiómáját, valamint az eloszlási törvényeket. Ezért több szerkezetet ad neki, mint egy gyűrű. A lineáris mátrixalgebra megengedi a skalárokkal való szorzás külső műveletét is, amelyek az alapul szolgáló F mező elemei. Például a V vektortérből önmagába egy F mezőn keresztüli összes figyelembe vett transzformáció halmaza F felett jön létre. A lineáris egy másik példája Az algebra az összes valós négyzetmátrix halmaza egy R valós szám mezőben.
