A mai világban egyre gyakrabban használunk különféle autókat és eszközöket. És nem csak akkor, ha szó szerint embertelen erőt kell alkalmazni: mozgatni a terhet, magasba emelni, hosszú és mély árkot ásni stb. Az autókat ma robotok szerelik össze, az ételt multicookerek készítik el, és az elemi számtani számítások számológépek végzik. Egyre gyakrabban halljuk a "Boole-algebra" kifejezést. Talán itt az ideje, hogy megértsük az ember szerepét a robotok létrehozásában és a gépek azon képességét, hogy nemcsak matematikai, hanem logikai problémákat is megoldanak.
Logika
Görögről lefordítva a logika egy rendezett gondolkodási rendszer, amely kapcsolatokat hoz létre adott feltételek között, és lehetővé teszi, hogy premisszákon és feltételezéseken alapuló következtetéseket vonjon le. Elég gyakran kérdezzük egymástól: "Logikus?" A kapott válasz megerősíti feltételezéseinket, vagy bírálja a gondolatmenetet. De a folyamat nem áll meg: folytatjuk az érvelést.
Néha a feltételek száma (bevezető) olyan nagy, és a köztük lévő kapcsolatok olyan bonyolultak és összetettek, hogy az emberi agy nem képes mindent egyszerre "megemészteni". Több mint egy hónapba telhet (hétre, évre), mire megértjük, mi történik. Dea modern élet nem ad ilyen időintervallumot a döntések meghozatalára. Mi pedig a számítógépek segítségét vesszük igénybe. És itt jelenik meg a logika algebra, saját törvényeivel és tulajdonságaival. Az összes kiindulási adat letöltésével lehetővé tesszük, hogy a számítógép felismerje az összes összefüggést, kiküszöbölje az ellentmondásokat és kielégítő megoldást találjon.
Matek és logika
A híres Gottfried Wilhelm Leibniz megfogalmazta a „matematikai logika” fogalmát, amelynek problémái csak a tudósok szűk köre számára voltak érthetőek. Ez az irány nem keltett különösebb érdeklődést, és a 19. század közepéig kevesen tudtak a matematikai logikáról.
A tudományos közösség iránti nagy érdeklődés vitát váltott ki, amelyben az angol George Boole bejelentette, hogy szándékában áll létrehozni egy olyan matematikai ágat, amelynek gyakorlatilag nincs gyakorlati alkalmazása. Ahogyan a történelemből emlékszünk, akkoriban az ipari termelés aktívan fejlődött, mindenféle segédgépet, szerszámgépet fejlesztettek, vagyis minden tudományos felfedezésnek gyakorlati fókusza volt.
A jövőre nézve tegyük fel, hogy a Boole-algebra a matematika leggyakrabban használt része a modern világban. Bull tehát elvesztette az érvelését.
George Buhl
A szerző személyisége külön figyelmet érdemel. Még ha figyelembe vesszük, hogy korábban az emberek előttünk nőttek fel, még mindig nem lehet nem megjegyezni, hogy J. Buhl 16 évesen egy falusi iskolában tanított, 20 évesen pedig saját iskolát nyitott Lincolnban. A matematikus öt idegen nyelven folyékonyan beszélt, szabadidejében pedig műveket olvasottNewton és Lagrange. És mindez egy egyszerű munkás fiáról szól!
1839-ben Boole először nyújtotta be tudományos közleményeit a Cambridge Mathematical Journal-nak. A tudós 24 éves. Boole munkája annyira érdekelte a Royal Society tagjait, hogy 1844-ben kitüntetést kapott a matematikai elemzés fejlesztéséhez való hozzájárulásáért. Számos további, a matematikai logika elemeit ismertető munka lehetővé tette a fiatal matematikus számára, hogy elfoglalja a Cork County College professzori posztját. Emlékezzünk vissza, hogy Buhlnak nem volt végzettsége.
Ötlet
Elvileg a Boole-algebra nagyon egyszerű. Vannak olyan állítások (logikai kifejezések), amelyeket a matematika szempontjából csak két szóval lehet meghatározni: „igaz” vagy „hamis”. Például tavasszal a fák virágoznak - igaz, nyáron havazik - hazugság. Ennek a matematikának az a szépsége, hogy nincs szigorú szükség csak számok használatára. Bármilyen egyértelmű jelentésű állítás alkalmas az ítéletek algebrájára.
Így a logika algebrája szó szerint mindenhol használható: az utasítások ütemezésében és írásában, az eseményekkel kapcsolatos egymásnak ellentmondó információk elemzésében és a műveletek sorrendjének meghatározásában. A legfontosabb annak megértése, hogy teljesen mindegy, hogyan határozzuk meg az állítás igazát vagy hamisságát. Ezeket a „hogyan” és „miért” kifejezéseket elvonatkoztatni kell. Csak a tényállítás számít: igaz-hamis.
Természetesen a programozáshoz fontosak a logikai algebra függvényei, melyeket a megfelelőjelek és szimbólumok. És ezek megtanulása egy új idegen nyelv elsajátítását jelenti. Semmi sem lehetetlen.
Alapfogalmak és definíciók
Anélkül, hogy belemélyednénk, foglalkozzunk a terminológiával. Tehát a Boole-algebra feltételezi:
- nyilatkozatok;
- logikai műveletek;
- függvények és törvények.
Az állítások olyan megerősítő kifejezések, amelyek nem értelmezhetők félreérthetően. Számokként írják őket (5 > 3), vagy ismert szavakkal fogalmazzák meg (az elefánt a legnagyobb emlős). Ugyanakkor a „zsiráfnak nincs nyaka” kifejezésnek is van létjogosultsága, csak a Boole-algebra fogja „hamisként” meghatározni.
Minden állításnak egyértelműnek kell lennie, de lehetnek elemiek és összetettek is. Ez utóbbiak logikai konnektívumokat használnak. Vagyis az ítéletalgebrában az összetett állításokat elemi állítások logikai műveletekkel történő összeadásával képezzük.
Boole-algebrai műveletek
Már emlékszünk arra, hogy az ítéletek algebrájában a műveletek logikusak. Ahogyan a számalgebra aritmetikát használ a számok összeadására, kivonására vagy összehasonlítására, a matematikai logika elemei lehetővé teszik összetett állítások készítését, tagadását vagy a végeredmény kiszámítását.
A formalizálást és az egyszerűséget szolgáló logikai műveleteket az aritmetikából ismert képletek írják le. A Boole-algebra tulajdonságai lehetővé teszik egyenletek felírását és ismeretlenek kiszámítását. A logikai műveleteket általában igazságtáblázat segítségével írják fel. Az oszlopaihatározza meg a számítás elemeit és a rajtuk végrehajtandó műveletet, a vonalak pedig a számítás eredményét mutatják.
Alapvető logikai műveletek
A Boole-algebrában a leggyakoribb műveletek a negáció (NEM), valamint a logikai ÉS és a VAGY. Az ítéletalgebrában szinte minden cselekvés leírható így. Tanulmányozzuk mind a három műveletet részletesebben.
A tagadás (nem) csak egy elemre (operandusra) vonatkozik. Ezért a negációs műveletet unárisnak nevezzük. A "nem A" fogalmának írásához használja a következő szimbólumokat: ¬A, A¯¯¯ vagy !A. Táblázatos formában így néz ki:
A negációs függvényt a következő állítás jellemzi: ha A igaz, akkor B hamis. Például a Hold a Föld körül kering – igaz; A Föld a Hold körül kering – hamis.
Logikai szorzás és összeadás
A logikai ÉS-t konjunkciós műveletnek nevezzük. Mit jelent? Először is, hogy két operandusra alkalmazható, azaz és egy bináris művelet. Másodszor, hogy csak mindkét operandus (A és B) igazsága esetén igaz maga a kifejezés. A „Türelem és munka mindent felőröl” közmondás azt sugallja, hogy csak mindkét tényező segít az embernek megbirkózni a nehézségekkel.
Íráshoz használt szimbólumok: A∧B, A⋅B vagy A&&B.
A kötőszó hasonló a szorzáshoz az aritmetikában. Néha azt mondják, hogy - logikai szorzás. Ha a táblázat elemeit soronként megszorozzuk, akkor a logikai gondolkodáshoz hasonló eredményt kapunk.
A diszjunkció egy logikai VAGY művelet. Ehhez az igazság értéke kellha az állítások legalább egyike igaz (A vagy B). Így van írva: A∨B, A+B vagy A||B. A műveletek igazságtáblázatai a következők:
A diszjunkció olyan, mint az aritmetikai összeadás. A logikai összeadás műveletnek egyetlen korlátja van: 1+1=1. De ne felejtsük el, hogy digitális formátumban a matematikai logika 0-ra és 1-re korlátozódik (ahol az 1 igaz, a 0 hamis). Például a „múzeumban láthat egy remekművet, vagy találkozhat egy érdekes beszélgetőtárssal” kijelentés azt jelenti, hogy műalkotásokat láthat, vagy érdekes személlyel találkozhat. Ugyanakkor nincs kizárva annak lehetősége, hogy mindkét esemény egyidejűleg megtörténjen.
Funkciók és törvények
Tehát már tudjuk, milyen logikai műveleteket használ a Boole-algebra. A függvények leírják a matematikai logika elemeinek összes tulajdonságát, és lehetővé teszik a problémák összetett összetett feltételeinek egyszerűsítését. A legérthetőbb és legegyszerűbb tulajdonságnak a származtatott műveletek elutasítása tűnik. A származékok kizárólagos VAGY, implikáció és ekvivalencia. Mivel csak az alapműveleteket tanulmányoztuk, ezért csak azok tulajdonságait is figyelembe vesszük.
Az asszociativitás azt jelenti, hogy az olyan utasításokban, mint az "és A, és B és C" az operandusok sorrendje nem számít. A képlet így van írva:
(A∧B)∧V=A∧(B∧V)=A∧B∧V, (A∨B)∨C=A∨(B∨C)=A∨B∨C.
Amint látja, ez nem csak a konjunkcióra, hanem a diszjunkcióra is jellemző.
A kommutativitás kimondja, hogy az eredménya konjunkció vagy a diszjunkció nem attól függ, hogy melyik elemet vették először figyelembe:
A∧B=B∧A; A∨B=B∨A.
Az eloszlás lehetővé teszi a zárójelek kiterjesztését összetett logikai kifejezésekben. A szabályok hasonlóak a zárójelek nyitásához a szorzásnál és az összeadásnál az algebrában:
A∧(B∨C)=A∧B∨A∧B; A∨B∧B=(A∨B)∧(A∨B).
Az egyik és a nulla tulajdonságai, amelyek az egyik operandus lehet, szintén hasonlóak az algebrai nullával vagy eggyel való szorzáshoz és az eggyel való összeadáshoz:
A∧0=0, A∧1=A; A∨0=A, A∨1=1.
Az IDempotencia azt mondja nekünk, hogy ha egy művelet eredménye két egyenlő operandushoz hasonló, akkor „eldobhatjuk” azokat az extra operandusokat, amelyek megnehezítik az érvelést. Mind a konjunkció, mind a diszjunkció idempotens műveletek.
B∧B=B; B∨B=B.
Az abszorpció lehetővé teszi az egyenletek egyszerűsítését is. Az abszorpció azt állítja, hogy ha egy másik, azonos elemű műveletet alkalmazunk egy kifejezésre egy operandussal, az eredmény az abszorpciós művelet operandusa.
A∧B∨B=B; (A∨B)∧B=B.
Műveletek sorrendje
A műveletek sorrendje nem kis jelentőségű. Valójában, ami az algebrát illeti, a logikai algebra által használt függvényeknek van prioritása. A képletek egyszerűsítése csak a műveletek jelentőségének figyelembevételével lehetséges. A legjelentősebbtől a legkisebbig rangsorolva a következő sorrendet kapjuk:
1. Megtagadás.
2. Kötőszó.
3. Diszjunkció, exkluzívVAGY.
4. Implikáció, ekvivalencia.
Amint látja, csak a tagadás és a kötőszó nem egyenlő elsőbbséggel. És a diszjunkció és az XOR prioritása egyenlő, valamint az implikáció és az ekvivalencia prioritása.
Kikövetkeztetési és ekvivalenciafüggvények
Mint már említettük, az alapvető logikai műveletek mellett a matematikai logika és az algoritmusok elmélete derivatívákat is használ. A leggyakrabban használt az implikáció és az ekvivalencia.
Az implikáció vagy logikai következmény egy olyan kijelentés, amelyben az egyik cselekvés feltétel, a másik pedig a megvalósítás következménye. Más szóval, ez egy mondat "ha … akkor." "Ha szeretsz lovagolni, imádj szánkót cipelni." Vagyis a síeléshez meg kell húzni a szánkót a dombon. Ha nincs kedved lemenni a hegyről, akkor nem kell cipelni a szánkót. Így van írva: A→B vagy A⇒B.
Az egyenértékűség feltételezi, hogy az eredményül kapott művelet csak akkor következik be, ha mindkét operandus igaz. Például az éjszaka akkor válik nappallá, amikor (és csak akkor), amikor a nap felkel a horizonton. A matematikai logika nyelvén ezt az állítást a következőképpen írjuk: A≡B, A⇔B, A==B.
A Boole-algebra egyéb törvényei
Az ítéletek algebrája fejlődik, és sok érdeklődő tudós új törvényeket fogalmazott meg. O. de Morgan skót matematikus posztulátumait tartják a leghíresebbnek. Észrevette és meghatározta az olyan tulajdonságokat, mint a közeli tagadás, a komplementer és a kettős tagadás.
A tagadás bezárása azt jelenti, hogy a zárójel előtt nincs tagadás:nem (A vagy B)=nem A vagy NEM B.
Amikor egy operandust negáltunk, függetlenül az értékétől, komplementerről beszélünk:
B∧¬B=0; B∨¬B=1.
És végül a kettős tagadás kompenzálja önmagát. Azok. vagy a tagadás eltűnik az operandus előtt, vagy csak egy marad.
Tesztek megoldása
A matematikai logika magában foglalja az adott egyenletek egyszerűsítését. Csakúgy, mint az algebrában, először a lehető legegyszerűbbé kell tennie a feltételt (meg kell szabadulnia az összetett bemenetektől és a velük végzett műveletektől), majd elkezdheti keresni a helyes választ.
Mit lehet tenni az egyszerűsítés érdekében? Konvertálja az összes származtatott műveletet egyszerűvé. Ezután nyissa ki az összes zárójelet (vagy fordítva, vegye ki a zárójelekből, hogy lerövidítse ezt az elemet). A következő lépés a Boole-algebra tulajdonságainak gyakorlati alkalmazása (abszorpció, nulla és egy tulajdonságai stb.).
Végül az egyenletnek az ismeretlenek minimális számából kell állnia, egyszerű műveletekkel kombinálva. A megoldás legegyszerűbb módja nagyszámú közeli negatív elérése. Ekkor a válasz úgy tűnik fel, mintha magától.
