A szimbolikus logika a tudomány azon ága, amely az érvelés helyes formáit tanulmányozza. Alapvető szerepet játszik a filozófiában, a matematikában és az informatikában. A filozófiához és a matematikához hasonlóan a logikának is ősi gyökerei vannak. A helyes érvelés természetéről szóló legkorábbi értekezések több mint 2000 évvel ezelőtt születtek. Az ókori Görögország leghíresebb filozófusai több mint 2300 évvel ezelőtt írtak a visszatartás természetéről. Az ókori kínai gondolkodók nagyjából ugyanebben az időben logikai paradoxonokról írtak. Noha gyökerei messzire nyúlnak vissza, a logika még mindig élénk tudományterület.
Matematikai szimbolikus logika
Meg kell tudni érteni és okoskodni is, ezért különös figyelmet fordítottak a logikus következtetésekre, amikor nem volt speciális eszköz az élet különböző területeinek elemzésére és diagnosztizálására. A modern szimbolikus logika Arisztotelész (Kr. e. 384-322), a nagy görög filozófus és minden idők egyik legbefolyásosabb gondolkodója munkásságából fakadt. További sikerek voltaka görög sztoikus filozófus, Chrysippus, aki kidolgozta annak az alapjait, amit ma propozicionális logikának nevezünk.
A matematikai vagy szimbolikus logika csak a 19. században kapott aktív fejlődést. Megjelentek Boole, de Morgan, Schroeder munkái, amelyekben a tudósok algebrazták Arisztotelész tanításait, és ezzel a propozíciós számítás alapját képezték. Ezt követte Frege és Preece munkája, amelyben bevezették a változók és kvantorok fogalmait, amelyeket a logikában kezdtek alkalmazni. Így alakult ki a predikátumok – az alanyra vonatkozó állítások – számítása.
A logika magában fogl alta a vitathatatlan tények bizonyítását, amikor az igazságnak nem volt közvetlen megerősítése. A logikai kifejezéseknek meg kellett volna győzniük a beszélgetőpartnert az igazságról.
A logikai képletek a matematikai bizonyítás elvén épültek fel. Így meggyőzték a beszélgetőpartnereket a pontosságról és a megbízhatóságról.
Azonban az érvek minden formáját szavakkal írták le. Nem léteztek olyan formális mechanizmusok, amelyek logikai levezetési számítást hoznának létre. Az emberek kételkedni kezdtek abban, hogy a tudós matematikai számítások mögé bújik-e, rejtve mögé sejtései abszurditását, mert mindenki más javára állíthatja fel érveit.
Az értelmesség születése: szilárd logika a matematikában, mint az igazság bizonyítéka
A 18. század vége felé a matematikai vagy szimbolikus logika tudományként jelent meg, amely magában fogl alta a következtetések helyességének vizsgálatát. Logikus végük és kapcsolatuk kellett volna. De hogyan kellett bizonyítanivagy indokolja a kutatási adatokat?
A nagy német filozófus és matematikus, Gottfried Leibniz volt az egyik első, aki felismerte a logikai érvek formalizálásának szükségességét. Leibniz álma volt: létrehozni egy univerzális formális tudománynyelvet, amely minden filozófiai vitát egyszerű számításra redukál, és ezen a nyelven dolgozza át az ilyen viták érvelését. A matematikai vagy szimbolikus logika képletek formájában jelent meg, amelyek a filozófiai kérdésekben megkönnyítették a feladatokat és a megoldásokat. Igen, és ez a tudományterület még jelentősebbé vált, mert akkor az értelmetlen filozófiai fecsegés lett az a mélypont, amelyre maga a matematika támaszkodik!
A mi korunkban a hagyományos logika szimbolikus arisztotelészi, ami egyszerű és szerény. A 19. században a tudomány a halmazok paradoxonával szembesült, ami következetlenségekhez vezetett Arisztotelész logikai sorozatainak igen híres megoldásaiban. Ezt a problémát meg kellett oldani, mert a tudományban még felületes hibák sem lehetnek.
Lewis Carroll formalitás – szimbolikus logika és transzformációs lépései
A formális logika most a kurzus része. Megjelenését azonban a szimbolikusnak, az eredetileg létrejöttnek köszönheti. A szimbolikus logika a logikai kifejezések szimbólumok és változók segítségével történő ábrázolásának módszere a hétköznapi nyelv helyett. Ez kiküszöböli az általános nyelveket, például az oroszt, kísérő kétértelműséget, és megkönnyíti a dolgokat.
Számos szimbolikus logikai rendszer létezik, például:
- Klasszikus propozíciós.
- Elsőrendű logika.
- Modal.
A Lewis Carroll által értelmezett szimbolikus logikának meg kell jelölnie az igaz és hamis állításokat a feltett kérdésben. Mindegyik tartalmazhat külön karaktereket, vagy kizárhatja bizonyos karakterek használatát. Íme néhány példa azokra az állításokra, amelyek lezárják a következtetések logikai láncát:
- Minden ember, aki azonos velem, létező lény.
- Minden hős, aki azonos Batmannel, létező lény.
- Tehát (mivel Batmant és engem soha nem láttak egy helyen), minden velem azonos ember ugyanolyan hős, mint Batmannel.
Ez nem érvényes formai szillogizmus, de megegyezik a következővel:
- Minden kutya emlős.
- Minden macska emlős.
- Ezért minden kutya macska.
Nyilvánvalónak kell lennie, hogy a fenti szimbolikus forma a logikában nem érvényes. A logikában azonban az igazságosságot ez a kifejezés határozza meg: ha az előfeltevés igaz lenne, akkor a következtetés igaz lenne. Ez nyilvánvalóan nem igaz. Ugyanez igaz lesz a hőspéldára is, amelynek ugyanaz az alakja. Az érvényesség csak azokra a deduktív érvekre vonatkozik, amelyek a következtetésüket bizonyossággal igazolják, mivel a deduktív érv nem lehet érvényes. Ezeket a "korrekciókat" a statisztikában is alkalmazzák, ha adathiba következik be, és a modern szimbolikus logika pl.az egyszerűsített adatok formalitása sok ilyen ügyben segít.
Indukció a modern logikában
Egy induktív érvelés csak arra való, hogy nagy valószínűséggel vagy cáfolással demonstrálja a következtetését. Az induktív érvek erősek vagy gyengék.
Induktív érvként a szuperhős Batman példája egyszerűen gyenge. Kétséges, hogy Batman létezik, így az egyik állítás már nagy valószínűséggel téves. Bár soha nem láttad őt ugyanott, ahol valaki mást, nevetséges ezt a kifejezést bizonyítéknak venni. A logika lényegének megértéséhez képzelje el:
- Soha nem láttak ugyanazon a helyen, ahol Guinea őslakosát.
- Valószínűtlen, hogy te és a guineai személy ugyanaz a személy vagy.
- Képzeld el, hogy te és egy afrikai még soha nem találkoztál ugyanott. Nem valószínű, hogy te és egy afrikai ugyanaz a személy vagy. De a guineai és az afrikai út keresztezte egymást, így nem lehetsz egyszerre a kettő. Az Ön afrikai vagy guineai származású bizonyítéka jelentősen csökkent.
Ebből a nézőpontból a szimbolikus logika maga a gondolat nem jelent a priori kapcsolatot a matematikával. A logika szimbólumként való felismeréséhez csak a szimbólumok széles körű használata szükséges a logikai műveletek ábrázolására.
Carroll logikai elmélete: Összefonódás vagy minimalizmus a matematikai filozófiában
Carroll megtanult néhány szokatlan módszertami arra kényszerítette, hogy megoldja a kollégái előtt álló meglehetősen nehéz problémákat. Ez megakadályozta abban, hogy jelentős előrelépést érjen el a munkája eredményeként kapott logikai jelölések és rendszerek bonyolultsága miatt. Carroll szimbolikus logikájának létjogosultsága az elimináció problémája. Hogyan lehet levonni a következtetést az adott kifejezések közötti kapcsolatra vonatkozó premisszák halmazából? A "közép kifejezések" kiiktatása.
A logikai központi problémának a megoldására találták ki a tizenkilencedik század közepén a szimbolikus, diagrammatikus, sőt mechanikus eszközöket. Carroll módszerei azonban az ilyen "logikai sorozatok" feldolgozására (ahogy ő nevezte őket) nem mindig adták meg a megfelelő megoldást. Később a filozófus két tanulmányt publikált hipotézisekkel kapcsolatban, amelyek a Mind folyóiratban is tükröződnek: The Logical Paradox (1894) és What the Tortoise Said to Achilles (1895).
Ezeket a dolgozatokat széles körben vitatták a tizenkilencedik és a huszadik század logikái (Pearce, Russell, Ryle, Prior, Quine stb.). Az első cikket gyakran az anyagi implikációs paradoxonok jó illusztrációjaként idézik, míg a második az úgynevezett következtetési paradoxonhoz vezet.
A szimbólumok egyszerűsége a logikában
A logika szimbolikus nyelve helyettesíti a hosszú, kétértelmű mondatokat. Kényelmes, mert oroszul ugyanazt mondhatja a különböző körülményekről, ami lehetővé teszi az összezavarodást, és a matematikában a szimbólumok helyettesítik az egyes jelentések azonosságát.
- Először is, a rövidség fontos a hatékonyság szempontjából. A szimbolikus logika nem nélkülözheti jeleket és megjelöléseket, különben csak filozófiai maradna, a valódi jelentéshez való jog nélkül.
- Másodszor, a szimbólumok megkönnyítik a logikai igazságok megértését és megfogalmazását. Az 1. és 2. tétel a logikai képletek "algebrai" manipulálására ösztönöz.
- Harmadszor, amikor a logika logikai igazságokat fejez ki, a szimbolikus megfogalmazás a logika szerkezetének tanulmányozására ösztönöz. Ez az előző ponthoz kapcsolódik. Így a szimbolikus logika alkalmas a logika matematikai tanulmányozására, amely a matematikai logika tárgyának egyik ága.
- Negyedszer, a válasz megismétlésekor a szimbólumok használata segít megelőzni a hétköznapi nyelv homályosságát (pl. többféle jelentése). Segít abban is, hogy a jelentés egyedi legyen.
Végül a logika szimbolikus nyelve lehetővé teszi a Frege által bevezetett predikátumszámítást. Az évek során magának a predikátumszámításnak a szimbolikus jelölését finomították és hatékonyabbá tették, mivel a jó jelölés fontos a matematikában és a logikában.
Arisztotelész antikvitás-ontológiája
A tudósok akkor kezdtek érdeklődni a gondolkodó munkája iránt, amikor elkezdték Slinin módszereit használni az értelmezéseikben. A könyv a klasszikus és a modális logika elméleteit mutatja be. A koncepció fontos része volt a kijelentés logikájának képletének CNF-re való redukálása a szimbolikus logikában. A rövidítés a változók konjunkcióját vagy diszjunkcióját jelenti.
Slinin Ya. A. azt javasolta, hogy az összetett tagadások, amelyek a képletek ismételt redukcióját igénylik, részformulává alakuljanak. Így néhány értéket minimálisra konvertált, és a problémákat rövidített változatban oldotta meg. A tagadásokkal való munka de Morgan formuláira redukálódott. A De Morgan nevét viselő törvények egy pár rokon tétel, amelyek lehetővé teszik az állítások és formulák alternatív és gyakran kényelmesebbé alakítását. A törvények a következők:
- Egy diszjunkció tagadása (vagy inkonzisztenciája) egyenlő az alternatívák tagadásának uniójával – p vagy q nem egyenlő p-vel és nem q-val vagy szimbolikusan ~ (p ⊦ q) ≡ ~p ~q.
- A kötőszó tagadása egyenlő az eredeti kötőszók tagadásának diszjunkciójával, azaz nem (p és q) nem egyenlő nem p-vel vagy nem q-val, vagy szimbolikusan ~ (p q) ≡ ~p ⊦ ~q.
Ezeknek a kezdeti adatoknak köszönhetően sok matematikus képleteket kezdett alkalmazni összetett logikai problémák megoldására. Sokan tudják, hogy van egy előadási kurzus, ahol a funkciók metszéspontját tanulmányozzák. És a mátrixértelmezés is logikai képletekre épül. Mi a logika lényege az algebrai összefüggésben? Ez egy szint lineáris függvény, amikor a számok tudományát és a filozófiát egy "léletlen" és nem jövedelmező érvelési területként helyezheti egy tálba. Bár E. Kant matematikus és filozófus lévén másként gondolta. Megjegyezte, hogy a filozófia semmi, amíg az ellenkezőjét be nem bizonyítják. És a bizonyítéknak tudományosan megalapozottnak kell lennie. Így történt, hogy a filozófia ennek köszönhetően kezdett jelentőséget kapnimegfeleltetés a számok és a számítások valódi természetével.
A logika alkalmazása a tudományban és a valóság anyagi világában
A filozófusok általában nem alkalmazzák a logikai érvelés tudományát csak néhány ambiciózus, diploma megszerzése utáni projektre (általában magas fokú specializációval, például társadalomtudományi, pszichológiai vagy etikai kategorizációval). Paradox, hogy a filozófiai tudomány "szülte meg" az igazság és a hazugság kiszámításának módszerét, de maguk a filozófusok nem alkalmazzák. Tehát kinek hoznak létre és alakítanak át ilyen egyértelmű matematikai szillogizmusokat?
- A programozók és mérnökök szimbolikus logikát alkalmaztak (amely nem is annyira különbözik az eredetitől) a számítógépes programok, sőt a tervezési táblák megvalósításához.
- A számítógépek esetében a logika eléggé összetetté vált ahhoz, hogy számos függvényhívást kezeljen, valamint a matematikát előmozdítsa és matematikai problémákat oldjon meg. Ennek nagy része a matematikai problémamegoldás és a valószínűségszámítás ismeretén alapul, kombinálva az elimináció, kiterjesztés és redukálhatóság logikai szabályaival.
- A számítógépes nyelveket nem lehet könnyen megérteni, hogy a matematikai ismeretek keretein belül logikusan működjenek, és még speciális funkciókat is ellátjanak. A számítógépes nyelv nagy része valószínűleg szabadalmaztatott, vagy csak a számítógépek értik. A programozók manapság gyakran hagyják, hogy a számítógépek logikai feladatokat hajtsanak végre és oldjanak meg.
Az ilyen előfeltételek teljesítése során sok tudós nem a tudomány kedvéért, hanem a fejlett anyag létrehozását feltételezi.a média és a technológia könnyű használhatósága. Talán hamarosan a logika beszivárog a közgazdaságtan, az üzleti élet, sőt a "kétarcú" kvantum szférájába is, amely atomként és hullámként is viselkedik.
Kvantumlogika a matematikai elemzés modern gyakorlatában
A kvantumlogikát (QL) egy propozíciós struktúra felépítésére tett kísérletként fejlesztették ki, amely lehetővé tenné érdekes események leírását a kvantummechanikában (QM). A QL felváltotta a logikai szerkezetet, ami nem volt elég az atomi birodalom reprezentálásához, bár alkalmas a klasszikus fizika diskurzusára.
A klasszikus rendszerekre vonatkozó propozíciós nyelv matematikai struktúrája hatványok halmaza, részben a befogadó halmaz által rendezett, és az egyesülést és a diszjunkciót képviselő műveletpárral.
Ez az algebra összhangban van mind a klasszikus, mind a relativisztikus jelenségek diskurzusával, de összeegyeztethetetlen egy olyan elmélettel, amely tiltja például egyidejű igazságértékek megadását. A QL alapító atyáinak javaslata arra irányult, hogy a klasszikus logika Boole-féle struktúráját egy gyengébb szerkezetre cseréljék, amely gyengítené a konjunkció és a diszjunkció eloszlási tulajdonságait.
A kialakult szimbolikus behatolás gyengítése: valóban szükség van-e az igazságra a matematikában, mint egzakt tudományban
A kvantumlogika fejlesztése során nemcsak a hagyományos, hanem a modern kutatás több olyan területére is kezdett hivatkozni, amelyek a mechanikát logikai szempontból próbálták megérteni. Többszöröskvantummegközelítések a kvantummechanika szakirodalmában tárgy alt különféle stratégiák és problémák bemutatására. Amikor csak lehetséges, a szükségtelen képleteket ki kell hagyni a fogalmak intuitív megértése érdekében a kapcsolódó matematika megszerzése vagy bevezetése előtt.
A kvantummechanika értelmezésének örök kérdése, hogy rendelkezésre állnak-e alapvetően klasszikus magyarázatok a kvantummechanikai jelenségekre. A kvantumlogika nagy szerepet játszott ennek a vitának a kialakításában és finomításában, különösen lehetővé téve számunkra, hogy meglehetősen pontosak legyünk abban, hogy mit értünk klasszikus magyarázat alatt. Most már pontosan megállapítható, hogy mely elméletek tekinthetők megbízhatónak, és melyek a matematikai ítéletek logikus következtetései.
