A matematikában és a feldolgozásban az analitikus jel (röviden - C, AC) fogalma egy összetett függvény, amelynek nincsenek negatív frekvenciakomponensei. Ennek a jelenségnek a valós és képzeletbeli részei a Hilbert-transzformáció által egymáshoz kapcsolódó valós függvények. Az analitikus jel meglehetősen gyakori jelenség a kémiában, amelynek lényege hasonló ennek a fogalomnak a matematikai meghatározásához.
Előadások
Egy valós függvény analitikus ábrázolása egy analitikus jel, amely tartalmazza az eredeti függvényt és annak Hilbert-transzformációját. Ez az ábrázolás számos matematikai manipulációt megkönnyít. A fő gondolat az, hogy egy valós függvény Fourier-transzformációjának (vagy spektrumának) negatív frekvenciakomponensei redundánsak az ilyen spektrum hermitiszimmetriája miatt. Ezek a negatív frekvenciájú komponensek anélkül is eldobhatókinformációvesztés, feltéve, hogy ehelyett egy összetett funkcióval kíván foglalkozni. Ez könnyebben hozzáférhetővé tesz bizonyos jellemző attribútumokat, és megkönnyíti a modulációs és demodulációs technikák, például az SSB származtatását.
Negatív összetevők
Amíg a manipulált függvénynek nincsenek negatív frekvenciájú összetevői (azaz még mindig analitikus), a komplexből valóssá való visszakonvertálás egyszerűen a képzeletbeli rész elvetése. Az analitikus ábrázolás a vektor fogalmának általánosítása: míg egy vektor egy időben invariáns amplitúdóra, fázisra és frekvenciára korlátozódik, addig az analitikus jel kvalitatív elemzése lehetővé teszi az időben változó paraméterek használatát.
A pillanatnyi amplitúdót, a pillanatnyi fázist és a frekvenciát egyes alkalmazások használják a C helyi jellemzőinek mérésére és észlelésére. Az analitikus ábrázolás másik alkalmazása a modulált jelek demodulálására vonatkozik. A poláris koordináták kényelmesen elválasztják az AM és a fázis (vagy frekvencia) moduláció hatásait, és hatékonyan demodulálnak bizonyos típusokat.
Akkor egy egyszerű aluláteresztő szűrő valós együtthatókkal levághatja az érdekes részt. Egy másik indíték a maximális frekvencia csökkentése, ami csökkenti a nem-alias mintavétel minimális frekvenciáját. A frekvenciaeltolás nem ássa alá a reprezentáció matematikai hasznosságát. Így ebben az értelemben a lekonvertálás még mindig analitikus. A valódi ábrázolás helyreállítása azonbanmár nem a valódi összetevő egyszerű kinyerése. Felkonverzióra lehet szükség, és ha a jel mintavételezett (diszkrét idő), akkor interpolációra (felmintavételezésre) is szükség lehet az aliasing elkerülése érdekében.
Változók
A fogalom jól meghatározott egyváltozós jelenségekre, amelyek általában átmenetiek. Ez az ideiglenesség sok kezdő matematikust megzavar. Két vagy több változó esetén az analitikus C különböző módon definiálható, és az alábbiakban két megközelítést mutatunk be.
Ennek a jelenségnek a valós és képzeletbeli része egy vektorértékű monogén jel két elemének felel meg, amint az egy változós hasonló jelenségekre definiált. A monogén azonban egyszerű módon tetszőleges számú változóra kiterjeszthető, létrehozva egy (n + 1) dimenziós vektorfüggvényt n-változós jelek esetére.
Jelkonverzió
Valós jelet analitikussá alakíthat át egy képzeletbeli (Q) komponens hozzáadásával, amely a valós komponens Hilbert-transzformációja.
Mellesleg, ez nem újdonság a digitális feldolgozásban. Az egyoldalsávos (SSB) AM előállításának egyik hagyományos módja, a fázisozási módszer, amely magában foglalja a jelek létrehozását egy audiojel Hilbert-transzformációjának generálásával egy analóg ellenállás-kondenzátor hálózatban. Mivel csak pozitív frekvenciái vannak, könnyen átalakítható modulált RF jellé csak egy oldalsávval.
Definíciós képletek
Az analitikus jel kifejezés egy holomorf komplex függvény, amely a felső komplex félsík határán van definiálva. A felső félsík határa egybeesik a véletlenszerűvel, így C-t az fa leképezés adja: R → C. A múlt század közepe óta, amikor 1946-ban Gábor Dénes javasolta ennek a jelenségnek az alkalmazását az állandó amplitúdó és fázis vizsgálatára., a jel számos alkalmazásra talált. Ennek a jelenségnek a sajátosságát hangsúlyozták [Vak96], ahol kimutatták, hogy csak az analitikus jel kvalitatív elemzése felel meg az amplitúdó, fázis és frekvencia fizikai feltételeinek.
Legutóbbi eredmények
Az elmúlt néhány évtizedben érdeklődés mutatkozott a jelek számos dimenzióban történő vizsgálata iránt, amelyet a kép-/videofeldolgozástól a többdimenziós oszcillációs folyamatokig a fizika területén felmerülő problémák motiváltak, mint például a szeizmikus, elektromágneses és gravitációs hullámok. Általánosan elfogadott, hogy az analitikus C (kvalitatív elemzés) több dimenzióra történő helyes általánosításához olyan algebrai konstrukcióra kell támaszkodni, amely kényelmes módon kiterjeszti a közönséges komplex számokat. Az ilyen konstrukciókat általában hiperkomplex számoknak [SKE] nevezik.
Végül létre kell hozni egy hiperkomplex analitikus jelet fh: Rd → S, ahol valamilyen általános hiperkomplex algebrai rendszer van ábrázolva, amely természetesen kiterjeszti az összes szükséges tulajdonságot, hogy pillanatnyi amplitúdót kapjon ésfázis.
Tanulmány
Számos tanulmány foglalkozik a hiperkomplex számrendszer helyes megválasztásával, a hiperkomplex Fourier-transzformáció definíciójával, valamint a pillanatnyi amplitúdó és fázis tanulmányozására szolgáló tört Hilbert-transzformációk meghatározásával. Ennek a munkának a nagy része különféle terek tulajdonságain alapult, mint például a Cd, a kvaterniók, a Clearon-algebrák és a Cayley-Dixon konstrukciók.
Ezután csak néhányat sorolunk fel azon munkák közül, amelyek a jelek sokféle dimenziójának tanulmányozásával foglalkoznak. Tudomásunk szerint a többváltozós módszerrel kapcsolatos első munkák az 1990-es évek elején születtek. Ezek közé tartozik Ell munkája [Ell92] a hiperkomplex transzformációkról; Bulow munkája az analitikai reakció (analitikai jel) módszerének általánosításáról számos mérésre [BS01], valamint Felsberg és Sommer munkája a monogén jelekkel kapcsolatban.
További kilátások
A hiperkomplex jel várhatóan kiterjeszti az 1D esetben meglévő összes hasznos tulajdonságunkat. Mindenekelőtt a pillanatnyi amplitúdót és fázist kinyerni és általánosítani kell a mérésekre. Másodszor, egy komplex analitikus jel Fourier-spektruma csak pozitív frekvenciákon tartható fenn, ezért azt várjuk, hogy a hiperkomplex Fourier-transzformációnak megvan a maga hiperértékes spektruma, amely csak a hiperkomplex tér valamely pozitív negyedében marad fenn. Mert nagyon fontos.
Harmadszor, egy összetett fogalom konjugált részeiAz analitikus jelek a Hilbert-transzformációhoz kapcsolódnak, és arra számíthatunk, hogy a hiperkomplex térben lévő konjugált komponenseknek is kapcsolódniuk kell a Hilbert-transzformációk valamilyen kombinációjához. És végül, valóban, a hiperkomplex jelet úgy kell definiálni, mint egy hiperkomplex térben valamilyen forma határán meghatározott hiperkomplex változó valamilyen hiperkomplex holomorf függvényének kiterjesztését.
Ezeket a problémákat egymás utáni sorrendben kezeljük. Mindenekelőtt a Fourier-integrál képletével kezdjük, és megmutatjuk, hogy a Hilbert-transzformáció 1-D-re kapcsolódik a módosított Fourier-integrál formulához. Ez a tény lehetővé teszi számunkra, hogy meghatározzuk a pillanatnyi amplitúdót, fázist és frekvenciát anélkül, hogy hiperkomplex számrendszerekre és holomorf függvényekre hivatkoznánk.
Integrálok módosítása
Továbbra is kiterjesztjük a módosított Fourier-integrál képletet több dimenzióra, és meghatározzuk az összes szükséges fáziseltolásos komponenst, amelyet pillanatnyi amplitúdóba és fázisba gyűjthetünk. Másodszor, rátérünk arra a kérdésre, hogy létezik-e több hiperkomplex változó holomorf függvénye. Miután [Sch93] kiderül, hogy az elliptikus (e2i=−1) generátorok halmaza által generált kommutatív és asszociatív hiperkomplex algebra alkalmas tér egy hiperkomplex analitikus jel életére, az ilyen hiperkomplex algebrát Schäfers térnek nevezzük és jelöljük. aztSd.
Ezért az analitikus jelek hiperkomplexét holomorf függvényként definiáljuk a polilemez / a sík felső fele határán valamilyen hiperkomplex térben, amelyet általános Schaefer-térnek nevezünk, és Sd-vel jelöljük. Ezután megfigyeljük a Cauchy-integrálformula érvényességét az Sd → Sd függvényekre, amelyeket egy polilemez belsejében lévő hiperfelületen számítanak ki Sd-ben, és származtatjuk a megfelelő tört Hilbert-transzformációkat, amelyek a hiperkomplex konjugált komponensekre vonatkoznak. Végül kiderül, hogy a Fourier-transzformáció Schäfers-térben lévő értékekkel csak nem negatív frekvenciákon támogatott. Ennek a cikknek köszönhetően megtanulta, mi az analitikus jel.
