A hallgató leggyakrabban az első évben találkozik másodrendű felületekkel. Eleinte egyszerűnek tűnhetnek a feladatok ebben a témában, de a felsőfokú matematika tanulásával és a tudományos oldallal való elmélyüléssel végre abbahagyhatja az eligazodást a történésekben. Ennek elkerülése érdekében nemcsak meg kell jegyezni, hanem meg kell érteni, hogyan kapjuk meg ezt vagy azt a felületet, hogyan befolyásolja az együtthatók megváltoztatása, és az eredeti koordináta-rendszerhez viszonyított elhelyezkedése, és hogyan lehet új rendszert találni. (olyan, amelyben a középpontja egybeesik az origó koordinátákkal, és a szimmetriatengely párhuzamos az egyik koordinátatengellyel). Kezdjük elölről.
Definíció
A GMT-t másodrendű felületnek nevezzük, amelynek koordinátái kielégítik a következő általános egyenletet:
F(x, y, z)=0.
Egyértelmű, hogy a felülethez tartozó minden pontnak három koordinátával kell rendelkeznie valamilyen kijelölt alapon. Bár bizonyos esetekben a pontok lokusza elfajulhat például síkká. Ez csak azt jelenti, hogy az egyik koordináta állandó és nullával egyenlő az elfogadható értékek teljes tartományában.
A fent említett egyenlőség teljes festett formája így néz ki:
A11x2+A22y2 +A33z2+2A12xy+2A23 yz+2A13xz+2A14x+2A24y+2A 34z+A44=0.
Anm – néhány állandó, x, y, z – valamely pont affin koordinátáinak megfelelő változók. Ebben az esetben az állandó tényezők legalább egyike nem lehet egyenlő nullával, vagyis egyetlen pont sem felel meg az egyenletnek.
A példák túlnyomó többségében sok numerikus tényező még mindig egyenlő nullával, és az egyenlet jelentősen leegyszerűsödik. A gyakorlatban nem nehéz eldönteni, hogy egy pont egy felülethez tartozik-e (elég behelyettesíteni a koordinátáit az egyenletbe, és ellenőrizni, hogy az azonosság megfigyelhető-e). Az ilyen munka kulcsfontosságú pontja az utóbbi kanonikus formába hozása.
A fent leírt egyenlet bármely (az alábbiakban felsorolt) 2. rendű felületet meghatároz. Az alábbiakban példákat veszünk figyelembe.
A 2. rendű felületek típusai
A másodrendű felületegyenletek csak az Anm együtthatók értékében térnek el. Általános nézet szerint az állandók bizonyos értékeihez különböző felületek nyerhetők, amelyek a következőképpen osztályozhatók:
- Cylinderek.
- Elliptikus típus.
- Hiperbolikus típus.
- Kúpos típus.
- Parabola típus.
- Repülők.
A felsorolt típusok mindegyikének van természetes és képzeletbeli formája: a képzeletbeli formában a valós pontok lokusza vagy egyszerűbb alakzattá degenerálódik, vagy teljesen hiányzik.
Cilinderek
Ez a legegyszerűbb típus, mivel egy viszonylag összetett görbe csak az alapnál fekszik, és útmutatóként működik. A generátorok egyenesek, amelyek merőlegesek arra a síkra, amelyben az alap található.
A grafikonon egy körhenger látható, egy elliptikus henger speciális esete. Az XY síkban a vetülete egy ellipszis (esetünkben egy kör) - vezetővonal, XZ-ben pedig egy téglalap - lesz, mivel a generátorok párhuzamosak a Z tengellyel. Ahhoz, hogy az általános egyenletből megkapjuk, szükséges hogy az együtthatók a következő értékeket kapják:
A szokásos x, y, z, x szimbólumok helyett sorozatszámmal szerepel – ez nem számít.
Valójában az 1/a2és a többi itt feltüntetett állandó ugyanaz az együttható, mint az általános egyenletben, de ezeket ebben a formában szokás írni - ez a kanonikus ábrázolás. Továbbá csak ilyen jelölést használunk.
Így definiálható a hiperbolikus henger. A séma ugyanaz – a hiperbola lesz az útmutató.
y2=2px
A parabolikus henger definíciója némileg eltérő: kanonikus formája egy p együtthatót, úgynevezett paramétert tartalmaz. Valójában az együttható egyenlő q=2p-vel, de szokás a bemutatott két tényezőre osztani.
Van egy másik típusú henger: a képzeletbeli. Egy ilyen hengerhez nem tartozik valódi pont. Ezt az egyenlet írja leelliptikus henger, de a mértékegység helyett -1.
Elliptikus típus
Egy ellipszoid nyújtható az egyik tengely mentén (amely mentén ez a fent jelzett a, b, c állandók értékétől függ; nyilvánvaló, hogy nagyobb együttható felel meg a nagyobb tengelynek).
Van egy képzeletbeli ellipszoid is - feltéve, hogy a koordináták összege szorozva az együtthatókkal -1:
Hiperboloidok
Ha az egyik konstansban mínusz jelenik meg, az ellipszoid egyenlet egy egylapos hiperboloid egyenletévé változik. Meg kell érteni, hogy ennek a mínusznak nem kell az x3 koordináta előtt elhelyezkednie! Csak azt határozza meg, hogy a tengelyek közül melyik lesz a hiperboloid forgástengelye (vagy vele párhuzamos, mivel amikor további kifejezések jelennek meg a négyzetben (például (x-2)2) az ábra középpontja eltolódik, ennek eredményeként a felület párhuzamosan mozog a koordinátatengelyekkel). Ez minden másodrendű felületre vonatkozik.
Emellett meg kell értenie, hogy az egyenletek kanonikus formában jelennek meg, és az állandók változtatásával megváltoztathatók (az előjel megőrzésével!); míg formájuk (hiperboloid, kúp és így tovább) változatlan marad.
Ezt az egyenletet már egy kétlapos hiperboloid adja.
Kúpos felület
Nincs mértékegység a kúpegyenletben – egyenlőség nullával.
Csak a határolt kúpos felületet nevezzük kúpnak. Az alábbi képen látható, hogy valójában két úgynevezett kúp lesz a diagramon.
Fontos megjegyzés: minden figyelembe vett kanonikus egyenletben az állandók alapértelmezés szerint pozitívak. Ellenkező esetben a jel befolyásolhatja a végső diagramot.
A koordinátasíkok a kúp szimmetriasíkjaivá válnak, a szimmetria középpontja az origóban található.
A képzeletbeli kúpegyenletben csak pluszok vannak; egyetlen valódi pontja van.
Paraboloidok
A térben másodrendű felületek különböző alakzatokat vehetnek fel, még hasonló egyenletekkel is. Például kétféle paraboloid létezik.
x2/a2+y2/b2=2z
Egy ellipszis alakú paraboloid, amikor a Z tengely merőleges a rajzra, ellipszissé lesz kivetítve.
x2/a2-y2/b2=2z
Hiperbolikus paraboloid: a ZY-vel párhuzamos síkú szakaszok parabolákat, az XY-val párhuzamos síkokkal rendelkező szakaszok pedig hiperbolákat.
metsző síkok
Vannak esetek, amikor a 2. rendű felületek síkká degenerálódnak. Ezeket a síkokat többféleképpen lehet elhelyezni.
Először vegyük figyelembe az egymást metsző síkokat:
x2/a2-y2/b2=0
A kanonikus egyenlet ezen módosítása mindössze két egymást metsző síkot eredményez (képzetes!); minden valós pont annak a koordinátának a tengelyén van, amely hiányzik az egyenletből (a kanonikusban a Z tengely).
Párhuzamos síkok
y2=a2
Ha csak egy koordináta van, a 2. rendű felületek párhuzamos síkpárokká degenerálódnak. Ne feledje, bármely más változó helyettesítheti Y; akkor a többi tengellyel párhuzamos síkokat kapunk.
y2=−a2
Ebben az esetben képzeletbelivé válnak.
Egybeeső síkok
y2=0
Egy ilyen egyszerű egyenlettel egy síkpár eggyé degenerálódik – egybeesik.
Ne feledje, hogy háromdimenziós bázis esetén a fenti egyenlet nem határozza meg az y=0 egyenest! Hiányzik belőle a másik két változó, de ez csak azt jelenti, hogy értékük állandó és egyenlő nullával.
Épület
A tanulók számára az egyik legnehezebb feladat a 2. rendű felületek megépítése. A görbe tengelyekhez viszonyított szögei és a középpont eltolása miatt még nehezebb az egyik koordinátarendszerből a másikba lépni. Ismételjük meg, hogyan lehet következetesen meghatározni a rajz jövőbeli nézetét egy analitikus segítségévelmódon.
A 2. rendű felület felépítéséhez a következőkre lesz szüksége:
- hozd kanonikus formába az egyenletet;
- határozza meg a vizsgált felület típusát;
- együtthatóértékek alapján építsünk.
Alább látható az összes figyelembe vett típus:
A konszolidáció érdekében írjunk le részletesen egy példát az ilyen típusú feladatokra.
Példák
Tegyük fel, hogy van egy egyenlet:
3(x2-2x+1)+6y2+2z2+ 60 év+144=0
Vigyük a kanonikus formára. Emeljük ki a teljes négyzeteket, azaz a rendelkezésre álló tagokat úgy rendezzük el, hogy azok az összeg vagy a különbség négyzetének bővítése legyen. Például: ha (a+1)2=a2+2a+1, akkor a2+2a +1=(a+1)2. Elvégezzük a második műveletet. Ebben az esetben nem kell kinyitni a zárójeleket, mert ez csak bonyolítja a számításokat, hanem ki kell venni a közös 6-os tényezőt (zárójelben az Y teljes négyzetével):
3(x-1)2+6(y+5)2+2z2=6
A z változó ebben az esetben csak egyszer fordul elő – egyelőre hagyhatod.
Elemezzük az egyenletet ebben a szakaszban: minden ismeretlen előtt pluszjel szerepel; ha hattal osztva egy marad. Ezért van egy egyenletünk, amely egy ellipszoidot határoz meg.
Megjegyzendő, hogy a 144-et beszámították 150-6-ba, majd a -6 jobbra került. Miért kellett ezt így csinálni? Nyilvánvaló, hogy ebben a példában a legnagyobb osztó a -6, így a vele való osztás utánegyet hagyunk a jobb oldalon, pontosan 6-ot kell „halasztani” 144-ből (azt, hogy jobb oldalon kell lenni, egy szabad kifejezés jelenléte jelzi - egy ismeretlennel nem szorzott állandó).
Ossz el mindent hattal, és kapd meg az ellipszoid kanonikus egyenletét:
(x-1)2/2+(y+5)2/1+z2 /3=1
A felületek korábban használt 2. rendű osztályozásában egy speciális esetet veszünk figyelembe, amikor az ábra középpontja a koordináták origójában van. Ebben a példában ez eltolás.
Feltételezzük, hogy minden ismeretlent tartalmazó zárójel egy új változó. Vagyis: a=x-1, b=y+5, c=z. Az új koordinátákban az ellipszoid középpontja egybeesik a (0, 0, 0) ponttal, ezért a=b=c=0, innen: x=1, y=-5, z=0. A kezdeti koordinátákban az ábra közepe az (1, -5, 0) pontban található.
Az ellipszoidot két ellipszisből kapjuk: az első az XY síkban és a második az XZ síkban (vagy YZ - nem számít). Az együtthatók, amelyekkel a változók felosztásra kerülnek, a kanonikus egyenletben négyzetre kerülnek. Ezért a fenti példában helyesebb lenne a kettő, az egy és a három gyökével osztani.
Az első ellipszis Y tengellyel párhuzamos melléktengelye kettő. Az x tengellyel párhuzamos nagytengely a kettő két gyöke. A második ellipszis melléktengelye, párhuzamosan az Y tengellyel, ugyanaz marad - egyenlő kettővel. És a Z tengellyel párhuzamos nagytengely egyenlő a három két gyökével.
Az eredeti egyenletből a kanonikus formára konvertálva kapott adatok segítségével ellipszoidot rajzolhatunk.
Összegzés
Ez a cikk tárgyaljaa téma meglehetősen kiterjedt, de valójában, mint most látható, nem túl bonyolult. Fejlesztése valójában abban a pillanatban ér véget, amikor megjegyzi a felületek nevét és egyenleteit (és természetesen azt, hogy hogyan néznek ki). A fenti példában minden lépést részletesen tárgy altunk, de az egyenlet kanonikus formába hozása minimális felsőfokú matematikai ismeretet igényel, és nem okozhat nehézséget a tanulónak.
A jelenlegi egyenlőség jövőbeli ütemtervének elemzése már nehezebb feladat. A sikeres megoldáshoz azonban elegendő megérteni, hogyan épülnek fel a megfelelő másodrendű görbék - ellipszisek, parabolák és mások.
Degenerációs esetek – még egyszerűbb rész. Egyes változók hiánya miatt nemcsak a számítások egyszerűsödnek, mint korábban említettük, hanem maga a konstrukció is.
Amint magabiztosan meg tudja nevezni az összes felülettípust, variálja a konstansokat, a grafikont ilyen vagy olyan alakzattá alakítva - a téma elsajátítható.
Siker a tanulmányaihoz!
