A valószínűségszámítás valószínűségi változókkal működik. A valószínűségi változókra úgynevezett eloszlási törvények léteznek. Egy ilyen törvény a valószínűségi változóját abszolút teljességgel írja le. Ha azonban valós valószínűségi változókkal dolgozunk, gyakran nagyon nehéz azonnal megállapítani eloszlásuk törvényét, és a numerikus jellemzők egy bizonyos halmazára korlátozódnak. Például egy valószínűségi változó átlagának és szórásának kiszámítása gyakran nagyon hasznos.
Miért van rá szükség?
Ha a matematikai elvárás lényege közel van a mennyiség középértékéhez, akkor ebben az esetben a diszperzió azt mondja meg, hogy a mennyiségünk értékei hogyan oszlanak el e matematikai elvárás körül. Például, ha megmértük egy embercsoport IQ-ját, és a mérési eredményeket (mintát) szeretnénk megvizsgálni, akkor a matematikai elvárás az intelligenciahányados hozzávetőleges átlagos értékét mutatja erre az embercsoportra, és ha kiszámítjuk a minta varianciáját., megtudjuk, hogyan csoportosulnak az eredmények a matematikai elvárás köré: egy csomó a közelében (kis eltérés az IQ-ban), vagy egyenletesebben a teljes tartományban a minimumtól a maximális eredményig (nagy eltérés, és valahol a közepén - matematikai elvárás).
A variancia kiszámításához szükség van egy valószínűségi változó új jellemzőjére - az érték eltérésére a matematikai változótólvárok.
Eltérés
A variancia kiszámításának megértéséhez először meg kell értenie az eltérést. Definíciója a valószínűségi változó értéke és a matematikai elvárása közötti különbség. Durván szólva, annak megértéséhez, hogy egy érték hogyan "szóródik", meg kell nézni, hogyan oszlik el az eltérése. Vagyis az érték értékét helyettesítjük a szőnyegtől való eltérés értékével. elvárásoknak, és fedezze fel annak elosztási törvényét.
Egy diszkrét, azaz egyedi értékeket felvevő valószínűségi változó eloszlási törvényét táblázat formájában írjuk le, ahol az érték értéke korrelál az előfordulásának valószínűségével. Ekkor az eltérés-eloszlási törvényben a valószínűségi változót a képletével helyettesítjük, amelyben van egy érték (amely megtartotta a valószínűségét) és egy saját matt. várok.
Egy valószínűségi változó eltérésének eloszlási törvényének tulajdonságai
Felírtuk a valószínűségi változó eltérésének eloszlási törvényét. Ebből eddig csak olyan jellemzőt tudunk kivonni, mint a matematikai elvárás. A kényelem kedvéért jobb, ha egy numerikus példát veszünk.
Legyen valamilyen valószínűségi változó eloszlási törvénye: X - érték, p - valószínűség.
A képlet segítségével kiszámítjuk a matematikai elvárást és azonnal az eltérést.
Új eltérés-eloszlási táblázat rajzolása.
Az elvárást itt is kiszámoljuk.
Kiderült, hogy nulla. Egyetlen példa van, de ez mindig így lesz: ezt általános esetben nem nehéz bizonyítani. Az eltérés matematikai elvárásának képlete felbontható egy valószínűségi változó matematikai elvárásai és – bármennyire is ferdén hangzik – a szőnyeg matematikai elvárása közötti különbségre. elvárások (rekurzió azonban), amelyek megegyeznek, ezért különbségük nulla lesz.
Ez várható: az előjel eltérései lehetnek pozitívak és negatívak is, ezért átlagosan nullát kell adniuk.
Hogyan lehet kiszámítani egy diszkrét eset szórását. mennyiségek
Ha mat. az eltérési elvárást értelmetlen számolni, mást kell keresni. Egyszerűen felveheti az eltérések abszolút értékét (modulo); de a moduloknál nem ilyen egyszerű minden, ezért az eltéréseket négyzetre emeljük, majd kiszámoljuk a matematikai elvárásukat. Valójában ezt értik, amikor a szórás kiszámításáról beszélnek.
Azaz vesszük az eltéréseket, négyzetre emeljük, és elkészítjük a valószínűségi változóknak megfelelő eltérések és valószínűségek négyzetes táblázatát. Ez egy új elosztási törvény. A matematikai elvárás kiszámításához össze kell adni az eltérés és a valószínűség négyzetének szorzatát.
Könnyebb formula
A cikk azonban azzal kezdődött, hogy a kezdeti valószínűségi változó eloszlási törvénye gyakran ismeretlen. Tehát valami könnyebbre van szükség. Valójában van egy másik képlet, amely lehetővé teszi a minta variancia kiszámítását csak a szőnyeg használatával.várakozás:
Diszperzió – a szőnyeg közötti különbség. egy valószínűségi változó négyzetére, és fordítva, a matracának négyzetére. várok.
Erre van bizonyíték, de nincs értelme itt bemutatni, mivel nincs gyakorlati értéke (és csak a szórást kell kiszámítani).
Hogyan lehet kiszámítani egy valószínűségi változó varianciáját a variációs sorozatokban
A valós statisztikában lehetetlen minden valószínűségi változót tükrözni (mert durván szólva ezekből általában végtelen sok van). Ezért, ami bekerül a vizsgálatba, az az úgynevezett reprezentatív minta valamilyen általános populációból. És mivel egy ilyen általános sokaságból származó bármely valószínűségi változó numerikus jellemzőit a mintából számítjuk ki, ezeket mintának nevezzük: minta átlagának, illetve minta varianciájának. A szokásos módon (az eltérések négyzetével) kiszámolhatja.
Az ilyen diszperziót azonban elfogultnak nevezik. Az elfogulatlan varianciaképlet kicsit másképp néz ki. Általában ki kell számítani.
Kis kiegészítés
Egy további numerikus jellemző a diszperzióhoz kapcsolódik. Arra is szolgál, hogy kiértékelje, hogyan szóródik a valószínűségi változó a szőnyeg körül. elvárások. Nem sok különbség van a szórás és a szórás kiszámításában: az utóbbi az előbbi négyzetgyöke.
